专题04 轴对称问题的三种考法（教师版）

专题04 轴对称问题的三种考法 类型一、函数中的最值问题(和最小，差最大问题) 例1．如图1，在平面直角坐标系 中，直线B 与 轴交于点、与 轴交于点B，且∠B＝ 45°，(－6，0)，直线B 与直线B 关于 轴对称 (1)求△B 的面积； (2)如图2，D 为延长线上一动点，以BD 为直角边，D 为直角顶点，作等腰直角△BDE，求 证：B⊥E； (3)如图3，点E 是 轴正半轴上一点，且∠E＝30°，F 平分∠E，点M 是射线F 上一动点， 点是线段上一动点，判断是否存在这样的点M，，使M＋M 的值最小？若存在，请写出其 最小值，并加以说明 【答】(1)36；(2)证明见解析；(3)3，理由见解析 【详解】解：(1)由已知条件得： =12，B=6，∴ (2)过E 作EF x ⊥轴于点F，延长E 交y 轴于点, ∵△BDE 是等腰直角三角形， DE=DB, BDE=90°, ∴ ∠ ∴ ∵ ∴ ∴ EF ∵ 轴， ∴ DF=B=,EF=D ∴ F=EF ∴ ∴ BE ∴∠ ＝90° (3)由已知条件可在线段上任取一点,再在E 作关于F 的对称点 ,当点运动时， 最短为 点到直线E 的距离,即点到直线E 的垂线段的长， ∵ ，=6，∴M+=3 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系 中，点 为坐标原点，点 在 轴上，点 ， ， ， ． (1)如图①，若点 为 的中点，求 的长； (2)如图②，若点 在 轴上，且 ，求 的度数； (3)如图③，设 平分 交 轴于点 ，点 是射线 上一动点，点 是射线 上 一动点， 的最大值为 ，判断是否存在这样点 ， ，使 的值最小？若存在， 请在答题卷上作出点 ， ，并直接写出作法和 的最小值；若不存在，请说明理由． 【答】(1)6；(2)15°；(3)存在，图见解析，3 【详解】解：(1) ， , ， 又∵点 为 的中点，∴ ； (2) ， ，∴ , 是等腰直角三角形， ， 过点 作 轴于点 ， ∵ ,∴ 是等腰直角三角形， ∵ ,∴ ， ∵ ,∴ , ∵ , , ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，即 ，∵ , ； (3)存在点 ， ；作点关于BF 的对称点D， 过点 作 轴于点 ，并与射线 交于点 ，连接 , 则BF 垂直平分D，∴ , ,∴ , 当D，，M 在一条直线上时，m 最小，最小值为D 的长度， ∵ ,∴ ,∴ 为B 的中点， ∵ ,∴ ,∴ ,∴ ．故 的 最小值为． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2 )，以B 为一边作等边△B(点在x 轴正半轴 上)． (1)若点是y 轴上任意一点，连接，在直线上方以为一边作等边△D． ①如图1，当点D 落在第二象限时，连接BD，求证：B BD ⊥ ； ②若△BD 是等腰三角形，求点的坐标； (2)如图2，若FB 是边上的中线，点M 是FB 一动点，点是B 一动点，且M+M 的值最小，请 在图2 中画出点M、的位置，并求出M+M 的最小值． 【答】(1)①见解析；②点的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；(2)2 【详解】解：(1)①证明：∵△B 和△D 是等边三角形， B ∴＝＝B，＝D，∠B＝∠D＝60°， BD ∴∠ ＝∠，在△BD 和△中， ，∴△BD (SS) ≌△ ， BD ∴∠ ＝∠＝90°，∴B BD ⊥ ； ②解：存在两种情况： 当点D 落在第二象限时，如图1 所示： 作BM⊥于M， B(2 ∵ ，2 )，∴M＝2，BM＝2 ， B ∵△是等边三角形，∴＝2M＝4， 同①得：△BD (SS) ≌△ ， BD ∴ ＝，∠BD＝∠＝90°， 若△BD 是等腰三角形，则BD＝B， ∴＝B＝＝4，∴(0，﹣4)； 当点D 落在第一象限时，如图1 1 ﹣所示：作BM⊥于M， B(2 ∵ ，2 )，∴M＝2，BM＝2 ，∵△B 是等边三角形，∴＝2M＝4， 同①得：△BD (SS) ≌△ ，∴BD＝，∠BD＝∠＝90°， 若△BD 是等腰三角形，则BD＝B，∴＝B＝＝4，∴(0，4)； 综上所述，若△BD 是等腰三角形，点的坐标为(0，﹣4)或(0，4)； (2)解：作' B ⊥于'，作M B ⊥于，如图2 所示： B ∵△是等边三角形，' B ⊥，FB 是边上的中线，∴'＝ B＝2，BF⊥，BF 平分∠B， ' B ∵⊥，M B ⊥，∴M＝M'， ' ∴和关于BF 对称，此时M+M 的值最小，∴M+M＝M+M'＝， ∵＝ ＝ ＝2 ，∴M+M＝2 ； 即M+M 的最小值为2 ． 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系 中，点 为坐标原点，点 在 轴上，点 ， ， ， ． (1)如图①，若点 为 的中点，求 的长； (2)如图②，若点 在 轴上，且 ，求 的度数； (3)如图③，设 平分 交 轴于点 ，点 是射线 上一动点，点 是射线 上 一动点， 的最大值为 ，判断是否存在这样点 ， ，使 的值最小？若存在， 请在答题卷上作出点 ， ，并直接写出作法和 的最小值；若不存在，请说明理由． 【答】(1)6；(2)15°；(3)存在，图见解析，3 【详解】解：(1) ， , ， 又∵点 为 的中点，∴ ； (2) ， ，∴ , 是等腰直角三角形， ， 过点 作 轴于点 ， ∵ ,∴ 是等腰直角三角形， ∵ ,∴ ， ∵ ,∴ , ∵ , , ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，即 ， ∵ , ； (3)存在点 ， ；作点关于BF 的对称点D， 过点 作 轴于点 ，并与射线 交于点 ， 连接 , 则BF 垂直平分D，∴ , , ∴ , 当D，，M 在一条直线上时， m 最小，最小值为D 的长度，∵ ,∴ ,∴ 为B 的中点， ∵ ,∴ ,∴ ,∴ ． 故 的最小值为． 类型二、几何图形中的最短路径问题 例．已知点 在 内． (1)如图1，点 关于射线 的对称点是 ，点 关于射线 的对称点是 ，连接 、 、 ①若 ，则 ______； ②若 ，连接 ，请说明当 为多少度时， ； (2)如图2，若 ， 、 分别是射线 、 上的任意一点，当 的周长 最小时，求 的度数． 【答】(1)①100°；②当 时， ；(2) ． 【详解】(1)①∵点P 关于射线M 的对称点是G，点P 关于射线的对称点是， ∴G=P，M⊥GP，∴M 平分∠PG，同理可得平分∠P， ∴∠G=2∠M=2×50°=100°，故答为：100°； ② ， ， 、 、 三点其线， ， ，当 时， ； (2)如图所示：分别作点 关于 、 的对称点 、 ， 连接 ， 、 、 ， 交 、 于点 、 ，则 ， ， 此时 周长的最小值等于 的长 由轴对称性质可得， ， ， ， ， ， 由轴对称性质可得 ， ． 【变式训练1】如图，将边长为 的正三角形纸片 按如下顺序进行两次折叠，展开后， 得折痕 (如图①)，点 为其交点 (1)探求 与 的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若 分别为 上的动点 ①当 的长度取得最小值时，求 的长度； ②如图③，若点 在线段 上， ，则 的最小值= 【答】(1)=2D，理由见解析；(2)① ；② ． 【详解】(1)=2D，理由：∵△B 是等边三角形， B= B= BD=30° ∴∠ ∠ ∠ ，∴=B， BD=D ∵ ，∴D B ⊥，∴∠BD=90°，∴B=2D，∴=2D； (2)如图②，作点D 关于BE 的对称点D′，过D′作D B ′⊥于交BE 于P， 则此时P+PD 的长度取得最小值， BE ∵ 垂直平分DD′，∴BD=BD′，∵∠B=60°，∴△BDD′是等边三角形，∴B= BD= ， PB=30° ∵∠ ，∴ ， PB= ∴ ； (3)如图③，作Q 关于B 的对称点Q′，作D 关于BE 的对称点D′， 连接Q D ′ ′，即为Q+P+PD 的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠Q B= QB=30° ′ ∠ ，∠QBQ =60° ′ ， BQQ ∴ ′ △ 为等边三角形，△BDD′为等边三角形， D BQ =90° ∴∠′ ′ ， ∴在Rt D BQ △′ ′中， D Q = ′ ′ ． Q+P+PD ∴ 的最小值= ， 【变式训练2】如图，等边 (三边相等，三个内角都是 的三角形)的边长为 ， 动点 和动点 同时出发，分别以每秒 的速度由 向 和由 向 运动，其中一个动 点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为， ， 和 交于点 ． (1)在运动过程中， 与 始终相等吗？请说明理由； (2)连接 ，求为何值时， ； (3)若 于点 ，点 为 上的点，且使 最短．当 时， 的 最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由． 【答】(1)D 与BE 始终相等；(2)5；(3)7 【详解】解：(1)由已知可得D=t，E=t，∴D=E， ∵△B 是等边三角形∴∠=∠B=60°，B=，∴△D≌△EB(SS)， ∴BE=D，∴D 与BE 始终相等； (2)∵DE∥B，∴D=E， ∵B==10，∴t=10-t，∴t=5； (3)∵BM⊥，∴BM 平分∠B， 作D 点关于BM 的对称点D'交B 于点D'，连接D'E，交BM 于点P， ∵DP=D'P，∴DP+PE=D'P+PE=D'E， ∵t=7，∴E=BD=BD =3 ′ ，D=E=7， ∴D =7 ′ ，又∠=60°，∴△D′E 为等边三角形，∴D'E=D =7 ′ ， ∴PD+PE 的最小值为7． 【变式训练3】如图1，已知直线的同侧有两个点 、 ，在直线上找一点 ，使 点到 、 两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的 对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很 多问题 (1)如图2，在平面直角坐标系内，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，动点 在 轴 上，求 的最小值； (2)如图3，在锐角三角形 中， ， ， 的角平分线交 于点 ， 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值为______ (3)如图4， ， ， ，点 ， 分别是射线 ， 上的动点，则 的最小值为__________ 【答】(1)5；(2) ；(3)13 【详解】解：(1)作点 关于x 轴的对称点 ，连接 ， 的最小值即为 的长， 构造以 为斜边的直角三角形 ， 在 中，由勾股定理得 ，即 ，所以 的 最小值为5 (2)作 于点，交D 与点 ，过点 作 于点 ，则 的最小值 为 ， 平分 ， ， ， ， 在 中， ， ， 由勾股定理得 ， ， 所以 的最小值为 (3)作点关于B 的对称点 ，作点D 关于的对称点 ， 连接 分别交、B 于点 ，连 接 ，则 的最小值为 的长 由对称可得垂直平分 ，B 垂直平分 ， 在 中由勾股定理得 所以 的最小值为13 【变式训练4】已知：如图， B 中，B＝，∠＝45°，E 是上的一点，∠BE＝ ∠B，过点作 D⊥B 于D，交BE 于点P． (1)直接写出图中除 B 外的所有等腰三角形； (2)求证：BD＝ P； (3)点、G 分别为、B 边上的动点，当 DG 周长取取小值时，求∠DG 的度数． 【答】(1)△D，△PE，△BE 都是等腰三角形，理由见解析；(2)见解析；(3)45° 【解析】(1)解：△D，△PE，△BE 都是等腰三角形，理由如下： ∵B=，∠=45°，∴∠B = ∠B = (180°-45°)=675°， ∵∠BE＝ ∠B，∴∠BE = 225°，∴∠BE=45°， ∴∠BE=180°-∠BE-∠B=675°，∴∠BE=∠B， ∴B=BE，即△BE 为等腰三角形， ∵D⊥B，∴∠D = ∠DB = 90°，∴∠D = 90°– = 45° ∠ = ∴∠∠D=45°，∴D= D，∴△D 是等腰三角形， ∵∠PE = ∠BPD = 90°–∠BE=675°，∠BE=180°-∠BE-∠B=675°，∠EP =675°， ∴∠PE = ∠EB = 675°，∴P=E，∴△PE 是等腰三角形， 综上所述，除 B 外的所有等腰三角形有△D，△PE，△BE； (2)证明：如图，在线段D 上取点，使D=DB，连接， ∵D=DB，D⊥B，∴B=，∴∠B=∠B=675°， ∵∠BE=∠B=675°，∴∠B=∠B=∠BE=∠B， ∵B=B，∴△B≌△BE，∴B=E， ∵E=P，∴B=P，∴ ； (3)解：如图，作点D 关于直线B 的对称点M，作点D 关于的对称点F，连接FM 交B 于点 G，交于点，此时△DG 的周长最小， ∵∠B=675°，D⊥B，∴∠BD=90°-∠B=225°， ∵DM⊥B，∴∠DM=90°-∠BD=90°-225°=675°， ∵D=D，DF⊥，∴∠DF= ∠D=45°， ∴∠MDF=45°+675°=1125°，∴∠M+∠F=180°-1125°=675°， ∵GD=GM，F=D，∴∠M=∠GDM，∠F=∠DF， ∵∠DG=∠M+∠GDM=2∠M，∠DG=∠F+∠DF=2∠F， ∴∠DG+∠DG=2(∠M+∠F)=135°，∴∠GD=180°-(∠DG+∠DG)=45°． 类型三、最短路径问题的实际应用 例1 如图1，直线 表示一条河的两岸，且 现在要在这条河上建一座桥，桥的长度 等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄 经桥过河到村庄 现在由小明、小红两位同学在图 2 设计两种： 小明：作 ，交 于点 ，点 ．在 处建桥．路径是 ． 小红：作 ，交 于点 ，点 ；把 平移至BE，连E，交 于 ，作 于 ．在 处建桥．路径是 ． (1)在图2 中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由． (2)假设新桥就按小红的设计在 处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10 点某小船从 旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方 向与桥保持垂直船在静水每小时14 千米，水流每小时2 千米，第二天早上6 点时小明发现 船在两桥之间(未到两桥)且离旧桥40 千米处行驶求这两桥之间的距离． 【答】(1)小红设计的路径更短一些，原因见解析；(2)两桥之间的距离为 千米或 千米 或 千米； 【详解】解：(1)小红设计的路径更短一些；理由如下： 连接E，∵ ，且 ，∴ 为平行四边形，可得 ， 小红走的路线是： ， 小明走的路线是： ， ∵在三角形 中， ，, 所以小明的路线比小红的要长， 即：小红设计的路径更短一些； (2)设小船一共走了次完整的来回，两桥之间距离为千米， 由题可得顺流所需时间为 ，逆流所需要的时间是 ， 所以一个完整来回所需时间为 ，次完整的来回所需时间为： ； ∵小船早上 点出发，第二天早上点发现， ∴小船行驶了 小时； ①若小明发现小船时，船是从旧桥到新桥的， 则依题意可得： ， 化简可得： ， ∵为整数，且 ， ∴ ， 即：两桥之间的距离为 千米； ②若小明发现小船时，船是从新桥到旧桥的， 则依题意可得： ， 化简可得： ， ∵为整数，且 ， ∴ ，或 ； 即：两桥之间的距离为 千米或 千米； 综上可得：两桥之间的距离为 千米或 千米或 千米； 【变式训练1】(1)如图1， ， 是直线同旁的两个定点，请在直线上确定一点P，使得 最小； (2)如图2，已知 ，P 是 内一点， ．请在 上找一点 ， 上找 一点 ，使得 的周长最小，画出图形并求出这个最小值． 【答】(1)画图见详解；(2)画图见详解， 【详解】解：(1)过点 作 ，并在 上截取 ，连接 交于点 ，由“两 点之间线段最短”可知此时 最小． 故点 即为所求，如图： (2)作出点 关于 、 的对称点 、 ，连接 、 ．此时 的周长最小，如 图： 根据对称性可得出： ， ， ∵ ∴ ∴ ∴ 的周长最小值为 ． 【变式训练2】阅读下列材料，解决提出的问题： 最短路径问题:如图(1)，点，B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在直线l 上找到一个点，使 得点到点，点B 的距离和最短？我们只需连接B，与直线l 相交于一点，可知这个交点即为 所求． 如图(2)，如果点，B 分别是直线l 同侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点、 点B 的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B 关于的对称点B，这时对于直 线l 上的任一点，都保持B＝B，从而把问题(2)变为问题(1)．因此，线段B 与直线l 的交点 的位置即为所求． 为了说明点的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点′，连接′，B′，B′′．因为B′≤′ + B ′ ′，∴+B＜'+′B，即+B 最小． 任务： 数学思考 (1)材料中划线部分的依据是 ． (2)材料中解决图(2)所示问题体现的数学思想是 ．(填字母代号即可) ．转化思想 B．分类讨论思想 ．整体思想 迁移应用 (3)如图，在Rt△B 中，∠＝90°，∠B＝15°，点P 为边上的动点，点D 为B 边上的动点，若B ＝8m，则BP+DP 的最小值为 m． 【答】(1)两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；(2)；(3)4 【详解】(1)材料中划线部分的依据是两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边； 故答为两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边； (2)材料中解决图(2)所示问题体现的数学思想是转化的思想，故答为． (3)如图(3)中，作点B 关于点的对称点B′，连接B′．作B B ⊥′于． 作点D 关于的对称点D′，则PD＝PD′， PB+PD ∴ ＝PB+PD′， 根据垂线段最短可知，当点D′与重合，B，P，D′共线时，PB+PD 的最小值＝线段B 的长， B ∵＝B′，⊥BB′， B ∴＝B′， B ∴∠＝∠B′＝15°， B ∴∠＝30°， 在Rt△B 中，∵B＝8m，∠B＝30°， B ∴＝ B＝4m， PB+PD ∴ 的最小值为4m．故答为4．