专题04 轴对称问题的三种考法（学生版）

专题04 轴对称问题的三种考法 类型一、函数中的最值问题(和最小，差最大问题) 例1．如图1，在平面直角坐标系 中，直线B 与 轴交于点、与 轴交于点B，且∠B＝ 45°，(－6，0)，直线B 与直线B 关于 轴对称 (1)求△B 的面积； (2)如图2，D 为延长线上一动点，以BD 为直角边，D 为直角顶点，作等腰直角△BDE，求 证：B⊥E； (3)如图3，点E 是 轴正半轴上一点，且∠E＝30°，F 平分∠E，点M 是射线F 上一动点， 点是线段上一动点，判断是否存在这样的点M，，使M＋M 的值最小？若存在，请写出其 最小值，并加以说明 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系 中，点 为坐标原点，点 在 轴上，点 ， ， ， ． (1)如图①，若点 为 的中点，求 的长； (2)如图②，若点 在 轴上，且 ，求 的度数； (3)如图③，设 平分 交 轴于点 ，点 是射线 上一动点，点 是射线 上 一动点， 的最大值为 ，判断是否存在这样点 ， ，使 的值最小？若存在， 请在答题卷上作出点 ， ，并直接写出作法和 的最小值；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2 )，以B 为一边作等边△B(点在x 轴正半轴 上)． (1)若点是y 轴上任意一点，连接，在直线上方以为一边作等边△D． ①如图1，当点D 落在第二象限时，连接BD，求证：B BD ⊥ ； ②若△BD 是等腰三角形，求点的坐标； (2)如图2，若FB 是边上的中线，点M 是FB 一动点，点是B 一动点，且M+M 的值最小，请 在图2 中画出点M、的位置，并求出M+M 的最小值． 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系 中，点 为坐标原点，点 在 轴上，点 ， ， ， ． (1)如图①，若点 为 的中点，求 的长； (2)如图②，若点 在 轴上，且 ，求 的度数； (3)如图③，设 平分 交 轴于点 ，点 是射线 上一动点，点 是射线 上 一动点， 的最大值为 ，判断是否存在这样点 ， ，使 的值最小？若存在， 请在答题卷上作出点 ， ，并直接写出作法和 的最小值；若不存在，请说明理由． 类型二、几何图形中的最短路径问题 例．已知点 在 内． (1)如图1，点 关于射线 的对称点是 ，点 关于射线 的对称点是 ，连接 、 、 ①若 ，则 ______； ②若 ，连接 ，请说明当 为多少度时， ； (2)如图2，若 ， 、 分别是射线 、 上的任意一点，当 的周长 最小时，求 的度数． 【变式训练1】如图，将边长为 的正三角形纸片 按如下顺序进行两次折叠，展开后， 得折痕 (如图①)，点 为其交点 (1)探求 与 的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若 分别为 上的动点 ①当 的长度取得最小值时，求 的长度； ②如图③，若点 在线段 上， ，则 的最小值= 【变式训练2】如图，等边 (三边相等，三个内角都是 的三角形)的边长为 ， 动点 和动点 同时出发，分别以每秒 的速度由 向 和由 向 运动，其中一个动 点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为， ， 和 交于点 ． (1)在运动过程中， 与 始终相等吗？请说明理由； (2)连接 ，求为何值时， ； (3)若 于点 ，点 为 上的点，且使 最短．当 时， 的 最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由． 【变式训练3】如图1，已知直线的同侧有两个点 、 ，在直线上找一点 ，使 点到 、 两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的 对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很 多问题 (1)如图2，在平面直角坐标系内，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，动点 在 轴 上，求 的最小值； (2)如图3，在锐角三角形 中， ， ， 的角平分线交 于点 ， 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值为______ (3)如图4， ， ， ，点 ， 分别是射线 ， 上的动点，则 的最小值为__________ 【变式训练4】已知：如图， B 中，B＝，∠＝45°，E 是上的一点，∠BE＝ ∠B，过点作 D⊥B 于D，交BE 于点P． (1)直接写出图中除 B 外的所有等腰三角形； (2)求证：BD＝ P； (3)点、G 分别为、B 边上的动点，当 DG 周长取取小值时，求∠DG 的度数． 类型三、最短路径问题的实际应用 例1 如图1，直线 表示一条河的两岸，且 现在要在这条河上建一座桥，桥的长度 等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄 经桥过河到村庄 现在由小明、小红两位同学在图 2 设计两种： 小明：作 ，交 于点 ，点 ．在 处建桥．路径是 ． 小红：作 ，交 于点 ，点 ；把 平移至BE，连E，交 于 ，作 于 ．在 处建桥．路径是 ． (1)在图2 中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由． (2)假设新桥就按小红的设计在 处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10 点某小船从 旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方 向与桥保持垂直船在静水每小时14 千米，水流每小时2 千米，第二天早上6 点时小明发现 船在两桥之间(未到两桥)且离旧桥40 千米处行驶求这两桥之间的距离． 【变式训练1】(1)如图1， ， 是直线同旁的两个定点，请在直线上确定一点P，使得 最小； (2)如图2，已知 ，P 是 内一点， ．请在 上找一点 ， 上找 一点 ，使得 的周长最小，画出图形并求出这个最小值． 【变式训练2】阅读下列材料，解决提出的问题： 最短路径问题:如图(1)，点，B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在直线l 上找到一个点，使 得点到点，点B 的距离和最短？我们只需连接B，与直线l 相交于一点，可知这个交点即为 所求． 如图(2)，如果点，B 分别是直线l 同侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点、 点B 的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B 关于的对称点B，这时对于直 线l 上的任一点，都保持B＝B，从而把问题(2)变为问题(1)．因此，线段B 与直线l 的交点 的位置即为所求． 为了说明点的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点′，连接′，B′，B′′．因为B′≤′ + B ′ ′，∴+B＜'+′B，即+B 最小． 任务： 数学思考：(1)材料中划线部分的依据是 ． (2)材料中解决图(2)所示问题体现的数学思想是 ．(填字母代号即可) ．转化思想 B．分类讨论思想 ．整体思想 迁移应用 (3)如图，在Rt△B 中，∠＝90°，∠B＝15°，点P 为边上的动点，点D 为B 边上的动点，若B ＝8m，则BP+DP 的最小值为 m．