专题10 几何图形旋转压轴题的三种考法（原卷版）

专题10 几何图形旋转压轴题的三种考法 类型一、旋转最值问题 例．如图，点E 是边长为4 的正方形 内部一点， ，将 按逆时针方 向旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值为（ ） ． B． ． D． 【变式训练1】．如图，在矩形 中， ，连接 ， 将线段 绕着点顺时针旋转 得到 ，则线段 的最小值为 ． 【变式训练2】．如图， 是边长为6 的等边三角形，点E 为高 上的动点．连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值 是 ． 【变式训练3】．如图，平行四边形 中， ，E 是边 上 一点，且 是边 上的一个动点，将线段 绕点E 逆时针旋转 ，得到 ， 连接 ，则 的最小值是 ． 类型二、三角形中的旋转问题 例．如图，在 中， ，将 绕点旋转一定的角度得到 ， 点D 恰好落在边 上． (1)求证： 平分 ； (2)连接 ，若 ， ，求 的长． 【变式训练1】（1）如图1，过等边 的顶点作 的垂线l，点P 为l 上点（不与点 重合），连接 ，将线段 绕点逆时针方向旋转60°得到线段 ，连接 ． ①求证： ； ②连接 并延长交直线 于点D．若 ， ，求 的长； （2）如图2，在 中， ，将边 绕点顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，若 ， ，求 长． 【变式训练2】．如图1，有等边 和等边 ，将 绕点 顺时针旋转，得到 图2 所示的图形． (1)求证： ； (2)如图3，若 ， ，且旋转角为 时，求 的度数； (3)如图4，连接 ，并延长 交 于点 ，若 旋转至某一位置时，恰有 ， ，求 的值． 【变式训练3】．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识 相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究： 如图， 和 均为等腰直角三角形， ，点D 为 中点， 绕点D 旋转，连接 、 ． 观察猜想：（1）在 旋转过程中， 与 的数量关系为______； 实践发现：（2）当点M、在 内且、M、三点共线时，如图，求证： ； 解决问题：（3）若 中， ，在 旋转过程中，当 且、M、三点 共线时，直接写出 的长． 类型三、四边形中的旋转问题 例．如图，在矩形 中， ， ，将矩形 绕点逆时针旋转至矩形 ，旋转角为 ，当点， 和 三点共线时， 的长为（ ）． ． B． ． D． 【变式训练1】．在平面内，旋转变换指某一个图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一 定的角度而得到新位置图形的一种变换． 活动一，如图①，在直角三角形 中， 为斜边 上的一点， ， ，且四 边形 是正方形，在求阴影部分面积时，小明运用图形旋转的方法，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 （如图②所示），小明立刻就得到了答，请你写出阴影部分 的面积． 活动二：如图③，在四边形 中， ， ， ， ， 过点 作 于点 ，小明仍运用图形旋转的方法，将 绕点 逆时针旋转 ， 得到 （如图④所示），则： （1）四边形 是怎样的特殊四边形？答：______； （2） 的长是______． 活动三：如图⑤，在四边形 中， ， ， 为 中点，连接 、 ．若 ， ，求 的长． 【变式训练2】．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的， 下面是一个例，请补充完整．原题：如图1，点E、F 分别在正方形 的边 上， ，连接 ，试猜想 之间的数量关系 图1 图2 图3 (1)思路梳理： 把 绕点逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，由 ，得， ，即点F、D、G 共线，易证 _________，故 之间的数 量关系为_________． (2)类比引申： 如图2，点E、F 分别在正方形 的边 的延长线上， ．连接 ， 试猜想 之间的数量关系为_________，并给出证明． (3)联想拓展： 如图3，在 中， ，点D、E 均在边 上，且 ．若 ，直接写出 和 的长． 【变式训练3】．综合与实践： 问题情景：如图1、正方形 与正方形 的边 ， 在一条直线上， 正方形 以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只有 点重合，其它顶点均不重合，连接 ， ． (1)操作发现：当正方形 旋转至如图2 所示的位置时，求证： ； (2)操作发现：如图3，当点E 在 延长线上时，连接 ，求 的度数； (3)问题解决：如图4， 如果 ， ， ，请直接写出点G 到 的距离． 课后训练 1．如图，在 中，点 在 上，连接 ， ，点 在 上，连接 ， ，若 ， 的面积为 ，则 的长为 ． 2．如图，等腰直角 中， ， ，点 是边 上一点，将 绕点 顺时针旋转 到点 ，则 长的最小值是 ． 3．如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接 ，线段 以 为 中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为 ． 4．如图，在四边形 中， ， ，将边 绕点 顺时针旋转 后， 点 恰好落在边 上的点 处，已知 ，则 的长度为 ． 5．在 中， ， ，点D，E 是边 ， 的中点，连接 ， ，点M，分别是 和 的中点，连接 ． (1)如图1， 与 的数量关系是_________； (2)如图2，将 绕点顺时针旋转，连接 ，请写出 和 的数量关系，并就图2 的情形说明理由； (3)在 的旋转过程中，当B，D，E 三点共线时，求线段 的长．