24 瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题

瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题 【专题说明】 动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中， （1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。 （2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最 值。 【知识精讲】 所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形 成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形 时，从动点轨迹必然也是． 【精典例题】 1、如图，在反比例函数 的图像上有一个动点，连接并延长交图像的另一支于点B，在第 一象限内有一点，满足=B，当点运动时，点始终在函数 的图像上运动，若t∠B=2，则k 的值为（ ） ．2 B．4 ．6 D．8 【分析】∠=90°且:=1:2，显然点的轨迹也是一条双曲线，分别作M、垂直x 轴，垂足分别为 M、，连接，易证△M∽△，∴=2M，=2M，∴·=4M·M，故k=4×2=8． 【思考】若将条件“t∠B=2”改为“△B 是等边三角形”，k 会是多少？ 【模型】一、借助直角三角形斜边上的中线 1、如图，在△B 中，∠=90°，=4，B=2，点、分别在x 轴、y 轴上，当点在x 轴上运动时，点随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ） ．6 B． ． D． 【答】D 【解析】 解：如图，取的中点D，连接D、BD， 则D=D= = ×4=2， 由勾股定理得，BD= =2 ， 当、D、B 三点共线时点B 到原点的距离最大， 所以，点B 到原点的最大距离是2+2 ． 故答为2+2 ． 【模型】二、借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 1、如图，已知等边三角形B 边长为2 ，两顶点、B 分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、轴的正半轴 上滑动，点在第四象限，连接，则线段长的最小值是（ ） ． 1 B．3 ．3 D． 【答】B 【详解】 解：如图所示：过点作E⊥B 于点E，连接E， △ ∵B 是等边三角形， E=×s60°= ∴ ，E=BE， ∠B=90° ∵ ， ∴E B ， E-E≥ ∴ ， ∴当点，，E 在一条直线上，此时最短， 故的最小值为：＝E﹣E＝3 故选B． 2、如图，∠M=90°，矩形BD 的顶点、B 分别在边M、上，当B 在边上运动时，随之在M 上运动，矩 形BD 的形状保持不变，其中B=4，B=2 运动过程中点D 到点的最大距离是______． 【答】 +2 【详解】 如图，取B 的中点E，连接E、DE、D， D≤E+DE ∵ ， ∴当、D、E 三点共线时，点D 到点的距离最大， 此时，∵B=4，B=2， E=E= ∴ B=2， DE= = ， D ∴ 的最大值为： +2， 故答为 +2 3、如图，在 中， ， ， ，以线段 为边向外作等边 ， 点 是线段 的中点，连结 并延长交线段 于点 (1)求证：四边形 为平行四边形； (2)求平行四边形 的面积； (3)如图，分别作射线 ， ，如图中 的两个顶点 ， 分别在射线 ， 上滑动，在 这个变化的过程中，求出线段 的最大长度 【答】(1)证明见解析；(2) ；(3) 【详解】 (1)在 中， ， ， ， 在等边 中， ， ， 为 的中点， ， 又 ， ， 在 中， ， 为 的中点， ， ， ， ， ， 又 ， ， 又 ， ， ， 又 ， ，即 ， 四边形 是平行四边形； (2)在 中， ， ， ， ∴ ， ； (3)取 的中点 ，连结 ， ， ， 的最大长度 4、如图，在 中， ，将 绕顶点 逆时针旋转得到 是 的中点， 是 的中点，连接 ，若 ，则线段 的最大值为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【详解】 连接， ∵将 绕顶点 逆时针旋转得到 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ 是 的中点， ∴ ， ∵在∆M 中，M＜M+，当且仅当M，，三点共线时，M=M+=6， ∴线段 的最大值为6． 故选D． 【模型】三、借助构建全等图形 1、如图，在△B 中，∠B＝90°，∠＝30°，B＝5，点P 是上的动点，连接BP，以BP 为边作等边 △BPQ，连接Q，则点P 在运动过程中，线段Q 长度的最小值是______． 【答】5 4 ． 【详解】 解：如图，取B 的中点E，连接E，PE． ∠B=90° ∵ ，∠=30°， ∠BE=60° ∴ ， BE=E ∵ ， E=BE=E ∴ ， △BE ∴ 是等边三角形， B=BE ∴ ， ∠PBQ=∠BE=60° ∵ ， ∠QB=∠PBE ∴ ， QB=PB ∵ ，B=EB， △QB △PBE ∴ ≌ （SS）， Q=PE ∴ ， ∴当EP⊥时，Q 的值最小， 在Rt△EP 中，∵E=5 2，∠=30°， PE= ∴ 1 2E=5 4 ， Q ∴ 的最小值为5 4 ． 故答为：5 4 2、如图，边长为12 的等边三角形B 中，M 是高所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到B，连结．则在点M 运动过程中，线段长度的最小值是（ ） ．6 B．3 ．2 D．1．5 【答】B 【详解】 解：如图，取B 的中点G，连接MG， ∵旋转角为60°， ∠MB+∠B=60° ∴ ， 又∵∠MB+∠MB=∠B=60°， ∠B=∠GBM ∴ ， ∵是等边△B 的对称轴， B= ∴ B， B=BG ∴ ， 又∵MB 旋转到B， BM=B ∴ ， 在△MBG 和△B 中， ， △MBG △B ∴ ≌ （SS）， MG= ∴ ， 根据垂线段最短，当MG⊥时，MG 最短，即最短， 此时∠B= ×60°=30°，G= B= ×12=6， MG= ∴ G= ×6=3， =3 ∴ ； 故选：B． 【模型】四、借助中位线 1、如图，在等腰直角B 中，斜边 B 的长度为 8，以 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接 BP ， 取 BP 的中点 M ，则M 的最小值为（ ） ． B． ． D． 【答】 【详解】 解：连接P、P，分别取B、B 的中点E、F，连接EF、EM 和FM， EM ∴ 、FM 和EF 分别是△BP、△BP 和△B 的中位线 EM∥P ∴ ，FM∥P，EF∥，EF= ∠EF=180° ∴ －∠B=90° ∵为直径 ∠P=90° ∴ ，即P⊥P EM⊥MF ∴ ，即∠EMF=90° ∴点M 的运动轨迹为以EF 为直径的半圆上 取EF 的中点，连接，点即为半圆的圆心 当、M、共线时，M 最小，如图所示，M 最小为M1的长， ∵等腰直角B 中，斜边 B 的长度为 8， =B= ∴ = EF= ∴ = ，F= = ， M ∴ 1=F= = 根据勾股定理可得= M ∴ 1=－M1= 即M 最小值为 故选． 2、如图，抛物线 与 轴交于 两点， 是以点 为圆心，为半径的圆上的动点， 是线段 的中点，连接 ，则线段 的最小值是（ ） ． B． ． D． 【答】 【详解】 ∵ ， ∴当 时， ，解得： ， ∴点与B 点坐标分别为：( ，0)，(3，0)， 即：=B=3， ∴点为B 的中点， 又∵圆心坐标为(0，4)， =4 ∴ ， B ∴ 长度= ， ∵点为B 的中点，E 点为D 的中点， E ∴ 为△BD 的中位线， 即：E= BD， D ∵ 点是圆上的动点， 由图可知，BD 最小值即为B 长减去圆的半径， BD ∴ 的最小值为4， E= ∴ BD=2， 即E 的最小值为2， 故选：