19 瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题

瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题 【专题说明】 动点轨迹问题是中考的重要压轴点受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学 生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞掌握该压轴点的基本图形,构建问题 解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述动点轨迹基本类 型为直线型和圆弧型 【知识精讲】 动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。 （1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值 （2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定 ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不 变，若存在该动点的轨迹为直线。 ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。 ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。 如图，P 是直线B 上一动点，连接P，取P 中点Q，当点P 在B 上运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线． 可以这样理解：分别过、Q 向B 作垂线，垂足分别为M、，在运动过程中，因为P=2Q，所以Q 始终为M 的一半，即Q 点到B 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线． 【引例】如图，△PQ 是等腰直角三角形，∠PQ=90°且P=Q，当点P 在直线B 上运动时，求Q 点轨 迹？ 【分析】当P 与Q 夹角固定且P:Q 为定值的话，P、Q 轨迹是同一种图形． 当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和 终点位置，连接即得Q 点轨迹线段． 【模型总结】 必要条件： 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（P:Q 是定值）． 结论： P、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠PQ（当∠PQ≤90°时，∠PQ 等于M 与B 夹角） P、Q 两点轨迹长度之比等于P:Q（由△B∽△M，可得P:Q=B:M） 【精典例题】 1、如图，正方形BD 的边长为4，E 为B 上一点，且BE=1，F 为B 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边 向右侧作等边△EFG，连接G，则G 的最小值为 ． 【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求G 最小值，可以将F 点看成是由点 B 向点运动，由此作出G 点轨迹： 考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点 在 位置，最终G 点在 位置（ 不一定在D 边）， 即为G 点运动轨迹． G 最小值即当G⊥ 的时候取到，作⊥ 于点，即为所求的最小值． 根据模型可知： 与B 夹角为60°，故 ⊥ ． 过点E 作EF⊥于点F，则F= =1，F= ， 所以= ，因此G 的最小值为 ． 2、如图，等腰Rt B △ 中，斜边B 的长为2，为B 的中点，P 为边上的动点，Q P ⊥交B 于点Q，M 为PQ 的 中点，当点P 从点运动到点时，点M 所经过的路线长为（ ） ． B． ．1 D．2 【答】 【详解】连接，作PE B ⊥ 于E，M B ⊥ 于，QF B ⊥ 于F，如图， B △ 为到等腰直角三角形， =B= ∴ B= ，∠= B=45° ∠ ， ∵为B 的中点， B ∴⊥，平分∠B，==B=1， B=45° ∴∠ ， PQ=90° ∵∠ ，∠=90°， P= Q ∴∠ ∠， 在Rt P △和△Q 中 ， Rt P Q ∴ △ △ ≌ ， P=Q ∴ ， 易得△PE 和△BFQ 都为等腰直角三角形， PE= ∴ P= Q，QF= BQ， PE+QF= ∴ （Q+BQ）= B= =1， M ∵ 点为PQ 的中点， M ∴ 为梯形PEFQ 的中位线， M= ∴ （PE+QF）= ， 即点M 到B 的距离为 ， 而=1， ∴点M 的运动路线为△B 的中位线， ∴当点P 从点运动到点时，点M 所经过的路线长= B=1， 故选． 3、如图，矩形 中， ， ，点 是矩形 内一动点，且 ，则 的最小值为_____． 【答】 【详解】 为矩形， 又 点 到 的距离与到 的距离相等，即点 线段 垂直平分线 上， 连接 ，交 与点 ，此时 的值最小， 且 故答为： 4、如图，在平面内，线段B=6，P 为线段B 上的动点，三角形纸片DE 的边D 所在的直线与线段B 垂直相 交于点P，且满足P=P．若点P 沿B 方向从点运动到点B，则点E 运动的路径长为______． 【答】 ． 【详解】 解：如图，由题意可知点运动的路径为线段′，点E 运动的路径为EE′，由平移的性质可知′=EE′，在Rt△B′ 中，易知B=B′=6，∠B′=90°，∴EE′=′= = ，故答为： ． 5、如图，等边三角形B 的边长为4，点D 是直线B 上一点．将线段D 绕点D 顺时针旋转60°得到线段 DE，连结BE． （1）若点D 在B 边上（不与，B 重合）请依题意补全图并证明D=BE； （2）连接E，当E 的长最小时，求D 的长． 【答】（1）见解析；（2） 【详解】 解：（1）补全图形如图1 所示，D=BE，理由如下： B ∵△ 是等边三角形， B=B= ∴ ，∠= B=60° ∠ ， 由旋转的性质得：∠B= DE=60° ∠ ，D=E， D= BE ∴∠ ∠ ， D BE ∴△ △ ≌ （SS）， D=BE ∴ ． （2）如图2，过点作F EB ⊥ 交EB 延长线于点F． D BE ∵△≌△ ， BE= =60° ∴∠ ∠ ， ∴点E 的运动轨迹是直线BE， 根据垂线段最短可知：当点E 与F 重合时，E 的值最小， 此时D=E=F， B= BE=60° ∵∠ ∠ ， EF ∴∥ ， F BE ∵⊥ ， F ∴⊥， 在Rt F △中， F= ∴ = = ， D=F= ∴