九上专题04 相似三角形的四种基本模型（教师版）

专题04 相似三角形的四种基本模型 模型一、字型(8 字型) 例1．(基本模型)如图，已知D 是B 的中点，M 是D 的中点．求 的值． 【答】 【详解】如图，过点D 作B 的平行线交于点． 在 中， 因为M 为D 的中点， ， 所以为的中点，即 ． 在 中，因为D 为B 的中点， ，所以为的中点，即 ， 所以 ． 所以 ． 例2．(培优)如图， 中，点D 在 边上，且 ． (1)求证： ； (2)点E 在 边上，连接 交 于点F，且 ， ，求 的度数． (3)在(2)的条件下，若 ， 的周长等于30，求 的长． 【答】(1)见解析；(2) ＝60°；(3)F＝11 【详解】(1)证明：∵∠BD＝90°＋ ∠BD，∠BD= BD+ ∠ ∠， ∴ ∠＝90°－ ∠BD． BD ∠ ＋∠BD＝180°， BD ∴∠ ＝180°－∠BD＝90°－ ∠BD． ∴ ∠＝∠BD＝90°－ ∠BD． DB ∴ ＝B． 解：(2)如图1，作＝BE，连接D， FD ∵∠ ＝∠B，∠FD＝∠BD＋∠BE，∠B＝∠BD＋∠DB， BE ∴∠ ＝∠DB． ∵由(1)知，∠BD＝∠BD， 又∵∠E＝∠BD－∠BE，∠＝∠DB－∠DB， E ∴∠＝∠． E ∴＝E． BE ∵ ＝， BE ∴ ＋E＝＋E． 即B＝E＝E． B ∵＝BD， BD BE ∴△ ≌△ ． BE ∴ ＝D． BE ∵ ＝D， ∴＝D＝D． ∴△D 为等边三角形． B ∴∠＝60°． (3)如图2，过点作⊥E，垂足为． D E ∵∥， E ∴∠＝∠D＝60°，∠E＝∠D＝60°． E ∴△是等边三角形． 设＝E＝E＝x，则BE＝16－x， D E ∵∥， BFE BD ∴△ ∽△ ． ∴ ． ∴ ， ． BF ∵△ 的周长等于30， 即B＋BF＋F＝B＋ ＋x－ =30， 解得B＝16－ ． 在Rt△中，＝ ，＝ ， B ∴＝16－ ． 在Rt B △中，2＋B2＝B2， 即 ． 解得 (舍去) ． ∴＝ ． F ∴＝11． 【变式训练1】如图，点是△B 边B 上一点，过点的直线分别交B，所在直线于点M，，且 ＝m， ＝． (1)若点是线段B 中点． ①求证：m+＝2； ②求m 的最大值； (2)若 ＝k(k≠0)求m，之间的关系(用含k 的代数式表示)． 【答】(1)①证明见解析；②m 有最大值1；(2)＝k km+1 ﹣ ． 【详解】解：设M＝，＝b ∵ ＝m， ＝， B ∴＝m，＝b， MB ∴ ＝M B ﹣＝﹣m＝(1 m) ﹣ ，＝﹣＝b b ﹣＝( 1)b ﹣ (1)①若点是线段B 中点， 如图1，过点B 作B∥交M 于， B ∴∠＝∠ 在△B 与△中， ， B (S) ∴△≌△ ， B ∴＝＝( 1)b ﹣ B ∵∥， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 1 m ∴﹣＝﹣1， m+ ∴ ＝2； ②由①知，m+＝2， m ∴＝2﹣， m ∴＝(2 ) ﹣＝﹣2+2＝﹣( 1) ﹣ 2+1， ∴当＝1 时，m 有最大值1； (2)若 ＝k(k≠0)， 如图2，过点B 作BG∥交M 于G， BG ∴∠ ＝∠ 在△BG 与△中， ，∴△BG∽△， ∴ ＝ ，即 ＝k，∴BG＝ b BG ∵ ∥，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴1 m ﹣＝ ，∴＝k km+1 ﹣ 【变式训练2】矩形BD 中，B＝8，D＝12．将矩形折叠，使点落在点P 处，折痕为DE． (1)如图①，若点P 恰好在边B 上，连接P，求 的值； (2)如图②，若E 是B 的中点，EP 的延长线交B 于点F，求BF 的长． 【答】(1) ；(2)BF＝3． 【详解】解：(1)如图①中，取DE 的中点M，连接PM． ∵四边形BD 是矩形，∴∠BD＝∠＝90°， 由翻折可知，＝P，P DE ⊥ ，∠2＝∠3，∠DE＝∠DPE＝90°， 在Rt EPD △ 中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+ MPD ∠ ＝2 3 ∠， DP ∵∠ ＝2 3 ∠，∴∠1＝∠DP， D B ∵∥，∴∠DP＝∠DP，∴∠1＝∠DP， MP ∵∠ ＝∠＝90°，∴△PM DP ∽△ ， ∴ ，∴ ． (2)如图②中，过点P 作G B ∥交B 于G，交D 于．则四边形GD 是矩形，设EG＝x，则BG＝4 x ﹣ ∵∠＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DP＝90°， EPG+ DP ∴∠ ∠ ＝90°，∠DP+ PD ∠ ＝90°， EPG ∴∠ ＝∠PD，∴△EGP PD ∽△ ， ∴ ，∴PG＝2EG＝3x，D＝G＝4+x， 在Rt PD △ 中，∵P2+D2＝PD2， (3x) ∴ 2+(4+x)2＝122， 解得：x＝ (负值已经舍弃)， BG ∴ ＝4﹣ ＝ ， 在Rt EGP △ 中，GP＝ ， G B ∵∥，∴△EGP EBF ∽△ ， ∴ ，∴ ，∴BF＝3． 模型二、X(8)字型 X 字型(平行) 反X 字型(不平行) 例1．(基本模型)已知：如图，在△B 中，点D、E 分别在边B、上，DE B ∥，点F 在边B 上， B2=BF•B，F 与DE 相交于点G． (1)求证：DF•B=B•DG； (2)当点E 为中点时，求证：2DF•EG=F•DG． 【答】(1)证明见解析；(2)证明见解析． 【详解】证明：(1) B ∵ 2=BF•B， B ∴：BF=B：B， 而∠B= BF ∠ ，∴ ， DE B ∵ ∥，∴ ，∴ ， DF ∴ ：B=DG：B，∴DF•B=B•DG； (2)作∥B 交F 的延长线于，如图，∵DE B ∥，∴∥DE， ∵点E 为的中点， 为 的中位线，∴=2EG， DG ∵∥ ， ∴ ，∴ ，∴ ， 即2DF•EG=F•DG． 例2．(培优)如图1，ΔB 中，B=，点D 在B 的延长线上，点E 在B 上，DE=D，点F 是DE 与的交点． (1)求证：∠BDE=∠D； (2)若DE=2DF，过点E 作EG//交B 于点G，求证：B=2G； (3)将“点D 在B 的延长线上，点E 在B 上”改为“点D 在B 上，点E 在B 的延长线上”， “点F 是DE 与的交点”改为“点F 是ED 的延长线与的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：B·BE=D·B； ②若DE=4DF，请直接写出SΔB:SΔDE 的值． 【答】(1)见解析；(2)见解析；(3)①见解析；② ． 【详解】(1)证明：∵=B， ∴∠B=∠B， ∵D=DE， ∴∠DE=∠DE， ∴∠D+∠B=∠B+∠BDE， ∴∠BDE=∠D； (2)证明：如图1， ∵EG∥， ∴∠D=∠DGE，∠BEG=∠B， 由(1)知：∠D=∠BDE， ∵D=DE， ∴△D≌△EDG(S)， ∴D=EG， ∵∠B=∠B=∠BEG， ∴EG=BG=D， ∴DG=B， ∵DE=2DF，F∥EG， ∴ ， ∴DG=2D=2G， ∴B=DG=2G； (3)解：①如图2，过点E 作EG∥，交B 的延长线于点G， 则有∠=∠G， ∵B=，D=DE， ∴∠B=∠B，∠DE=∠DE， ∴∠D+∠DE=∠EDG+∠DE， ∴∠D=∠EDG， 在△D 和△EDG 中， ∵ ， ∴△D≌△EDG(S)．∴D=EG， ∵∥EG，∴△B∽△GEB， ∴ ， ∵EG=D，=B，∴B•BE=D•B； ②如图3，过作⊥B 于，过D 作DP⊥B 于P，则∥PD， ∵F∥EG， ∴ ， ∵DE=4DF， ∴ ， 设F=，则EG=D=4，DG=16， ∵∠B=∠B，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4，∴BD=12， ∵∥PD， ∴ ， 设PD=3，=4，∵EG∥， ∴ ， 设BE=y，B=4y， ∴S△B= B•= = =8y， S△DE= E•PD= = y， ∴S△B：S△DE=8y： y=16：15． 【变式训练1】 如图，正方形 的边长为 ，点 是射线 上的一个动点，连接 并延长，交射线 于点 ，将 沿直线 翻折，点 落在点 处． (1)当 时，如图，延长 ，交 于点 ， ① 的长为________； ②求证： ． (2)当点 恰好落在对角线 上时，如图，此时 的长为________； ________； (3)当 时，求 的正弦值． 【答】(1)①12；②见解析；(2) ， ；(3) 或 ． 【详解】解： ①如图，由 可得： ， ∴ ，即 ， ∴ 的长为 ． 故答为： ． ②证明：∵四边形 为正方形， ∴ ， ∴ ， 由折叠可知： ， ∴ ， ∴ ． (2)如图2，由折叠可得，∠BE＝∠E， 由B D 可得，∠BE＝∠FE， ∴∠E＝∠FE， ∴F＝， 又∵等腰Rt△B 中，＝ B＝12 ， ∴F＝12 ， 即F 的长为12 ， 由折叠可得，BE＝B'E， ∴等腰Rt△EB'中，E＝ B'E＝ BE， ∴ ； 故答为： ； ； ①当点 在线段 上时，如图3， 的延长线交 于点 ， 由 可得： ， ∴ ，即 ， ∴ ， 由 ②可知 ． 设 ，则 ， 则 ， 在 中， ， 即 ， 解得： ， 则 ， ∴ ． ②当点 在 的延长线上时，如图4 由 可得： ， ∴ ，即 ， ∴ ， 则 ， 设 ，则 ， 在 中， ， 即 ， 解得： ， 则 ， ∴ ． 综上所述：当 时， 的正弦值为 或 ． 【变式训练2】如图1，在矩形B 中，＝8，＝6，D，E 分别是B，B 上一点，D＝2，E＝ 3，E 与D 相交于点F． (1)求证：E⊥D； (2)如图2，点G 是D 的中点，延长G 交B 于，求的长． 【答】(1)见解析；(2)的长为6． 【详解】(1)∵四边形B 是矩形， = ∴B=8，=B=6， 在Rt△E 中，E=3， ∴E= ， ∵B∥，即D∥，且D=2， ∴ ， ∴ ， ∴P=4， ∴P=P+=12， ∴在Rt△P 中，=6， ∴P= ， ∵∥B，即P∥E， ∴ ， ∴ ， ∴EF= E= ， F= P= ， ( ∵ )2+( )2= =9， ∴EF2+F2=E2， ∴△EF 是直角三角形， ∴∠FE=90°， ∴E⊥D； (2)在Rt△BD 中，B=8，BD=B﹣D=6 2=4 ﹣ ， 根据勾股定理，得D= ， ∵点G 是D 的中点， ∴G=DG=2 ， 由(1)知：P=6 ， ∴DP=P﹣D=2 ， ∴点G 是P 的三等分点， ∵∥B，即P∥， ∴ ， ∴ ， =6 ∴ ． 答：的长为6． 【变式训练3】已知：矩形BD 中，B＝6，B＝8，点P 是线段D 上一点，连接P，点E 在 对角线上(不与点，重合)，∠PE＝∠B，PE 的延长线与B 交于点F． (1)如图1，当P＝2 时，求F 的长； (2)如图2，当PF⊥B 时，求P 的长； (3)当△PF 是等腰三角形时，求P 的长． 【答】(1)F＝ ；(2)P＝ ；(3)P 的长为6． 【详解】(1)如图1，∵四边形BD 是矩形， ∠ ∴ B＝∠D＝90°， ∵B＝6，B＝8， ∴＝ ＝10， Rt△PD 中，∵P＝2， ∴PD＝D＝6， ∴P＝ ＝6 ， ∵D∥B， ∠ ∴ D＝∠B， ∠ ∵ PE＝∠B， ∠ ∴ D＝∠PE， ∠ ∵ PE＝∠P， △ ∴EP∽△P， ∴ ，即 ， ∴E＝72， ∴E＝10﹣72＝28， ∵P∥F， ∴ ，即 ， ∴F＝ ； (2)如图2， ∵D∥B，PF⊥B， ∴D⊥PF， ∠ ∴ PE＝90°， t∠D＝ 设EP＝3x，P＝4x，则E＝5x，BF＝P＝4x， ∴E＝10﹣5x，PD＝8﹣4x， 由(1)知：P2＝E•， Rt△PD 中，P2＝PD2+D2， ∴PD2+D2＝E•， ∴62+(8﹣4x)2＝10(10﹣5x)， 解得：x＝0(舍)或x＝ ， ∴P＝4x＝ ； (3)分三种情况： ①当PF＝P 时，如图3， 设P＝x，则PD＝8﹣x，F＝2PD＝16﹣2x， ∵P∥F， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， 由(2)知：用E•＝P2＝D2+DP2， ∴ ＝62+(8﹣x)2， ∵x≠0， ∴x2﹣32x+156＝0， (x﹣6)(x﹣26)＝0， x＝6 或26(舍)， ∴P＝6； ②当F＝P，如图4，连接F， ∠ ∴ PE＝∠FP＝∠PE＝∠B＝∠P， ∴E＝EP，EF＝E， ∠ ∵ EF＝∠PE， △ ∴EF △ ≌PE(SS)， ∴F＝P＝F， 设F＝F＝，则BF＝8﹣， Rt△BF 中，由勾股定理得：62+(8 ) ﹣2＝2， 解得：＝ ， ∴F＝P＝ ， 设P＝x，则PD＝8﹣x， ∵P2＝D2+DP2， ∴ ， 解得：x＝ (舍)或 ； 当x＝ 时，P＝P＝F＝F，且＝PF ∴四边形FP 是正方形，此种情况不存在； ③当F＝FP，如图5，P 与重合， 该情况不符合题意； 综上：P 的长为6． 模型三、子母型 已知：∠ 1=∠2；结论：△D ∽△B D A C B 1 2 例1．(基本模型)如图，在△B 中，点D 在B 边上，点E 在边上，且D＝B，∠DE＝∠B． (1)求证：△ED D ∽△； (2)若E＝1，E＝3，求B 的长． 【答】(1)见解析；(2)2 【详解】解：(1)证明：∵∠DE= DE+ DE ∠ ∠ ，∠DB= DE+ ∠ ∠，∠DE= DB ∠ ，∴∠DE=∠． 又∵∠DE= D ∠，∴△ED D ∽△． (2) ED D ∵△ ∽△， ∴ ，即 ， D ∴＝2 或D＝﹣2(舍去)． 又∵D＝B，∴B＝2 例2(培优)在Rt△B 中，∠B=90°，点D 为B 上一点． (1)如图1，若D⊥B，求证：2=D·B； (2)如图2，若=B，EF⊥D 交D 于，交于F，且 ，求 的值； (3)如图3，若=B，点在D 上，∠D=45°，=3D，则t∠的值为________． 【答】(1)见解析；(2) ；(3) 【详解】(1)证明：∵ ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∽ ， ∴ ， ∴ ； (2)解：∵ ， ∴设 ，则 ( )， ∵ ， ， 同(1)得： ， ∴ ， 在 中， ， 过 作 于 ，如图2 所示： 则 ， 在 中， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； (3)解：过点 作 于 ，如图3 所示： ∵ ，∴设 ，则 ( )，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ 又∵ ，∴ ∽ ， ∴ ， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ 是等腰直角三角形，∴ ， ∴ ， ∴ ；故答为： ． 【变式训练1】在矩形 中， ， ， 是 边上一点， 交 于 点 ，过点 作 ，交射线 于点 ，交射线 于点 ． (1)如图，当点 与点 重合时，求 的长． (2)如图，当点 在线段 上时，设 ， ，求 与之间的函数关系式，并 写出它的定义域． (3)连接 ，当 与 相似时，求线段 的长． 【答】(1)3；(2) ；(3) 或1 【详解】(1)∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． (2)过点 作 ，垂足为点 ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， 2x-y=4, ∴ 当点 在线段 上时， ∴ ． (3)∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 与 相似时， ①若 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵设 ， ， ， ∴ ． ②若 ，设 与 交于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， B=4 ∵ ，B=3，则=5， 设 ， 由E B ∥ E B ∴△∽△ ∴ 即 则 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 综上所述，线段 的长为 或1 时 与 相似． 【变式训练2】如图，锐角△B 中，D，BE 分别是B，边上的高，垂足为D，E． (1)求证：△D BE ∽△ ； (2)若将点D，E 连接起来，则△ED 和△B 能相似吗？说说你的理由． 【答】(1)见详解；(2)相似，理由见详解； 【详解】证明：(1) D ∵，BE 分别是B，边上的高， D ∴∠＝∠EB＝90°． ∵∠＝∠， D BE ∴△∽△ (2)连接DE， D BE, ∵△∽△ D ∴：E＝：B． D ∴：＝E：B． ∵∠＝∠． ED B ∴△ ∽△， 【变式训练3】已知正方形 的边长为4，点 在边 上，点 在边 上，且 ， 和 交于点 ． (1)如图，求证： ① ② (2)连接 并延长交 于点 ， ①若点 为 的中点(如图)，求 的长． ②若点 在 边上滑动(不与点 重合)，当 取得最小值时，求 的长． 【答】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)① ；② 【详解】(1)证明：①∵四边形BD 是正方形， B=B=4 ∴ ，∠B= BD=90° ∠ ， 在△BE 和△BF 中， ， BE BF(SS) ∴△ ≌△ ， E=BF ∴ ； ②由①得：△BE BF ≌△ ， BE= BF ∴∠ ∠ ， BF+ BF=90° ∵∠ ∠ ， BE+ BF=90° ∴∠ ∠ ， GB=90° ∴∠ ， E BF ∴⊥ ； (2)解：①如图2 所示： E ∵为B 的中点， F=BE= ∴ B=2， BF= ∴ ， 由(1)得：E BF ⊥ ， BGE= BE=90° ∴∠ ∠ ， BEG= EB ∵∠ ∠ ， BEG EB ∴△ ∽△ ， ∴ ， 设GE=x，则BG=2x， 在Rt BEG △ 中，由勾股定理得：x2+(2x)2=22， 解得：x= ， BG=2× ∴ = ， B D ∵∥， ∴ ，即 ， 解得：B= ； ②由(1)得：∠GB=90°， ∴点G 在以B 为直径的圆上， 设B 的中点为M， 由图形可知：当、G、M 在同一直线上时，G 为最小值，如图3 所示： E BF ∵⊥ ， GB=90° ∴∠ ， GM= ∴ B=BM=2， B D ∵∥， ∴ =1， F=G ∴ ， F=BE ∵ ， F=G=BE ∴ ， 设F=G=BE=，则M=+2， 在Rt BM △ 中，由勾股定理得：22+42=(+2)2， 解得：=2 -2，即当G 取得最小值时，BE 的长为2 -2． 模型四、旋转型 例1．(基本模型)在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点为 公共顶点， ．如图②，若△B 固定不动，把△DE 绕点逆时针旋转，使