专题05 整式中的两种规律探索问题（教师版）

专题05 整式中的两种规律探索问题 类型一、数字类规律探索 例观察：(x 1)( ﹣ x+1)＝x2 1 ﹣，(x 1)( ﹣ x2+x+1)＝x3 1 ﹣，(x 1)( ﹣ x3+x2+x+1)＝x4 1 ﹣，据此规律， 当(x 1)( ﹣ x5+x4+x3+x2+x+1)＝0 时，代数式x2019 1 ﹣的值为 _____． 【答】0 或﹣2 【详解】解：根据题意得∶ (x 1)( ﹣ x+1)＝x2 1 ﹣， (x 1)( ﹣ x2+x+1)＝x3 1 ﹣， (x 1)( ﹣ x3+x2+x+1)＝x4 1 ﹣， …… ( ∴x 1)( ﹣ x5+x4+x3+x2+x+1)＝x6 1 ﹣ ( ∵x 1)( ﹣ x5+x4+x3+x2+x+1)＝0， ∴x6 1 ﹣＝0， 解得：x＝1 或x＝﹣1， 则x2019 1 ﹣＝0 或﹣2， 故答为：0 或﹣2． 【变式训练1】是不为1 的有理数，我们把 称为的差倒数，如2 的差倒数为 ， －1 的差倒数为 ，已知 ， 是 差倒数， 是 差倒数， 是 差倒 数，以此类推……， 的值是( ) ．5 B． ． D． 【答】B 【解析】∵ ， 是 的差倒数，∴ ， ∵ 是 的差倒数， 是 的差倒数，∴ ，∴ ， 根据规律可得 以 ， ， 为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以 ． 故选B． 【变式训练2】有2021 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数 的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6 个数的和是______， 这2021 个数的和 是______． 【答】0 1 【解析】由题意得：第3 个数是 ， 第4 个数是 ，第5 个数是 ，第6 个数是 ， 则前6 个数的和是 ， 第7 个数是 ，第8 个数是 ， 归纳类推得：这2021 个数是按 循环往复的， ，且前6 个数的和是0， 这2021 个数的和与前5 个数的和相等，即为 ， 故答为：0，1． 【变式训练3】有一列数 ，…，那么第个数为______． 【答】 【详解】解： ， ， ， ， ，…… 由此发现：第个数为 ． 故答为： 【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图， 观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则 的展开式中从左起第三项为______． 【答】 【详解】解：根据题意， = ， ∴ 的展开式中从左起第三项为 ， 故答为： ． 类型二、图形类规律探索 例如图，两条直线相交，有1 个交点，三条直线相交最多有3 个交点，四条直线相交最多 有______个交点，条直线相交最多有______个交点． 【答】 6 【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1 个交点，即 ； 三条直线相交最多有3 个交点，即 ；四条直线相交最多有6 个交点，即 ， 五条直线相交最多有10 个交点，即 ，…… ∴条直线两两相交，最多有 个交点(为正整数，且≥2)． 故答为6； ． 【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_ ____个图形共有45 个小球． 【答】9 【详解】解：第1 个图中有1 个小球， 第2 个图中有3 个小球，3=1+2， 第3 个图中有6 个小球，6=1+2+3， 第4 个图中有10 个小球，10=1+2+3+4，…… 照此规律，第个图形有1+2+3+4+…+= (1+)个小球， ∴ (1+)=45， 解得=9 或-10(舍去)， 故答为：9． 【变式训练2】为庆祝“六·一”童节，某举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示： 按照上面的规律，摆第个“金鱼”和第(＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130 根，则的 值为______． 【答】10 【详解】解：由题可知：第个图形有(6+2)根火柴棒，第(+1)个图形有(6+8)根火柴棒， ∵摆第个“金鱼”和第(＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130 根， 6+2+6+8=130 ∴ ，解得=10． 故答为：10． 【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图，中央是一块正六边形的地板砖，周围 是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1 层包括6 个正方形和6 个正三角形，第2 层包括6 个正方形和18 个正三角形，依此递推，第10 层中含有正三角形个数为___个，第 层含有正三角形个数为___个． 【答】114 【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1 层包括6 个正三角形， 第2 层包括18 个正三角形，此后，每层都比前一层多12 个， 依此递推，第10 层中含有正三角形个数是6+12×9=114 个， 则第层中含有正三角形个数是6+12×(-1)= 个， 故答为：114， ． 【变式训练4】观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064 个五角星摆出的图应该是第_______个图 形． 【答】2021 【解析】观察发现，第1 个图形五角星的个数是：1+3＝4， 第2 个图形五角星的个数是：1+3×2＝7， 第3 个图形五角星的个数是：1+3×3＝10， 第4 个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，⋯ 第个图形五角星的个数是：1+3•＝1+3， ∵ ， ∴用6064 个五角星摆出的图应该是第2021 个图形， 故答为：2021． 课后训练 1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1 个图有3 张黑色正方形纸片， 第2 个图有5 张黑色正方形纸片，第3 个图有7 张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去， 若第个图中有201 张黑色正方形纸片，则的值为( ) ．99 B．100 ．101 D．102 【答】B 【详解】 解：观察图形知： 第一个图中有3=1+2×1 个正方形， 第二个图中有5＝1＋2×2 个正方形， 第三个图中有7＝1＋2×2 个正方形， … 故第个图中有1＋2×＝2+1=201(个)正方形， 解得=100 故选B． 2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1 列第1 排， 第二颗棋子摆放的位置为第2 列第1 排，第三颗棋子摆放的位置为第2 列第2 排……，按此 规律摆放在第16 列第8 排的是第( )颗棋子． ．85 B．86 ．87 D．88 【答】B【详解】偶数列数与排数表： 偶数列数 排数 2 2 4 3 6 4 8 5 … … ∴当=16 时，排数为： ， ∴前16 列共有棋子： (颗)， ∴第16 列第8 排的棋子位次是：87-1=86． 故选B． 3．将一正方形按如图方式分成 个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖 排若干个，则 的值为( ) ．12 B．16 ．18 D．20 【答】 【详解】解：设长方形的长为，宽为b， 根据题意得，2+2b=3， 整理得，=2b， ∴竖排的一行的长方形的个数为3÷b=(3×2b)÷b=6， =3×2+6×2=6+12=18 ∴ ． 故选：． 4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9 个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3 个数之和相等， 例如图(1)就是一个幻方．图(2)是一个未完成的幻方，则 与 的和是( ) ．9 B．10 ．11 D．12 【答】D 【详解】 解：设如图表所示： 根据题意可得：x+6+20=22+z+y， 整理得：x-y=-4+z， x+22+=20+z+，20+y+m=x+z+m，整理得：x=-2+z，y=2z-22， ∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，解得：z=12， ∴x+y=3z-24=12 故选：D． 5．如图，按此规律，第6 行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020． 【答】16 674 【详解】 每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10 ,……， 第行的最后一个数字为： ， 第6 行最后一个数字为： ； ，解得： ， 故答为：16,674． 6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中 ， ，则 的值为________． 【答】 【详解】解：∵1×(2+1)=3，3×(4+1)=15，5×(6+1)=35， ∴右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×(左下圆圈内的数+1)，∴M=m(+1)， ∴M=11×(12+1)=143． 故答为：143． 7．为了求 的值，可令 ，则 ， 因此 ，所以 按照以上推理计算出 的值是______． 【答】 【详解】解：令 ， 则 ， 因此 ，则 ，得： ， 所以 ． 故答为： ． 8．今年“101”黄金周，适逢祖国70 大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大 量游客如果长桌宴按下图方式就坐(其中□代表桌子，〇代表座位)，则拼接(为正整数)张桌 子时，最多可就坐_____人． 【答】(6+2) 【详解】 解：根据图示知，拼1 张桌子，可以坐(2+6)人． 拼2 张桌子，可以坐[2+(6×2)]人． 拼3 张桌子，可以坐[2+(6×3)]人． … 拼接(为正整数)张桌子，可以坐(6+2)人． 故答是：(6+2)． 9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012 年8 月份的日历． 我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4 个位置上的数交又相乘，再相减， 例如： ， ，不难发现，结果都是7． 2012 年8 月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？ (3)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【答】(1) ，符合；(2) ；(3)见解析 【详解】解：(1)由题意得： ，符合； (2) ； 答：换一个月的月历试一下还是同样的规律； (3)设上边第一个数为x，则其后的数为(x+1)，第二行的两个数分别为(x+7)，(x+8)， 根据题意，得 ． 10．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5 个图形中应该有多少个小圆圈？ 为什么？ (2)完成下表： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总 数 (3)如果用表示六边形边上的小圆圈数，m 表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m 和的关 系是什么？ 【答】(1)第1 个图形：1 个；第2 个图形：7 个；第3 个图形：19 个；第4 个图形：37 个； 第5 个图形：61 个，理由见解析；(2)1，7，19，37，61；(3) 【详解】(1)观察每个图形的特点，就可以算出第1 个图形的小圆圈有1 个， 第2 个图形的小圆圈有2+3+2=7 个， 第3 个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19 个， 第4 个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37 个， 由此可推知第5 个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61 个； (2)将(1)算出的结果填入下列表格，如下表所示， 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61 (3)结合(1)(2)可知， 与 之间的函数关系为： 首尾相加得 ． 11．对任意一个四位正整数m，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千 位数字等于十位数字的2 倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“筋斗数”．例如：m＝ 5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321 是“筋斗数”．例如：m＝8523，满足2＋3 ＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523 不是“筋斗数”． (1)判断9633 和2642 是不是“筋斗数”，并说明理由； (2)若m 是“筋斗数”，且m 与13 的和能被11 整除，求满足条件的所有“筋斗数”m． 【答】(1)9633 是“筋斗数”；2642 不是“筋斗数”； 理由见解析 (2)m 的值为9909 或2110 或6422 【解析】(1)解：9633 是“筋斗数”，2642 不是“筋斗数”，理由如下： 6=3+3 ∵ ，9=2×3+3，∴9633 是“筋斗数”； 6=4+2 ∵ ， ，∴2642 不是“筋斗数”； (2)设m 的个位数为，0≤≤9，十位数为0＜b≤9，且、b 为整数 ∵ 是“筋斗数”， ∴m 的百位数为+b，千位数为2b+； ∴m=1000(2b+)+100(+b)+10b+=1100+110b+2000b+ ∵ 与13 的和能被11 整除， 1100+110 ∴ b+2000b++13 能被11 整除， 2 ∵b+≤9 且、b 为整数，∴b≤45 1100+110 ∵ b 能被11 整除， 2000 ∴ b++13 能被11 整除， ∴b=0，=9 或b=1，=0 或b=2，=2 或b=3，=4，或b=4，=6， + ∴b=9，2b+=9 或+b=1，2b+=2 或+b=4，2b+=6 或+b=7，2b+=10(舍去)或+b=10，2b+=14(舍 去)，∴ 的值为9909 或2110 或6422 12．看图填空：如图，把一个面积为1 的正方形等分成两个面积为 的长方形，接着把面 积为 的长方形等分成两个面积为 的长方形，再把面积为 的长方形等分成面积为 的 长方形，如此进行下去…… (1)试利用图形揭示的规律计算： ＝_______． 并使用代数方法证明你的结论． (2)请给利用图(2)，再设计一个能求： 的值的几何图形． 【答】(1) ，证明见解析；(2)见解析 【解析】(1)解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为 时 ， 的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即： ， ； ②设 ， ， ，即 ， ； (2)如图所示，将面积为1 的正方形等分成两个面积为 的三角形，接着把面积为 的三角 形等分成两个面积为 的三角形，再把面积为 的三角形等分成面积为 的三角形，如此 进行下去， 则 的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：