专题05 整式中的两种规律探索问题（学生版）

专题06 整式中的两种规律探索问题 类型一、数字类规律探索 例观察：(x 1)( ﹣ x+1)＝x2 1 ﹣，(x 1)( ﹣ x2+x+1)＝x3 1 ﹣，(x 1)( ﹣ x3+x2+x+1)＝x4 1 ﹣，据此规律， 当(x 1)( ﹣ x5+x4+x3+x2+x+1)＝0 时，代数式x2019 1 ﹣的值为 _____． 【变式训练1】是不为1 的有理数，我们把 称为的差倒数，如2 的差倒数为 ， －1 的差倒数为 ，已知 ， 是 差倒数， 是 差倒数， 是 差倒 数，以此类推……， 的值是( ) ．5 B． ． D． 【变式训练2】有2021 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数 的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6 个数的和是______， 这2021 个数的和 是______． 【变式训练3】有一列数 ，…，那么第个数为______． 【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图， 观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则 的展开式中从左起第三项为______． 类型二、图形类规律探索 例如图，两条直线相交，有1 个交点，三条直线相交最多有3 个交点，四条直线相交最多 有______个交点，条直线相交最多有______个交点． 【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_ ____个图形共有45 个小球． 【变式训练2】为庆祝“六·一”童节，某举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示： 按照上面的规律，摆第个“金鱼”和第(＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130 根，则的 值为______． 【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图，中央是一块正六边形的地板砖，周围 是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1 层包括6 个正方形和6 个正三角形，第2 层包括6 个正方形和18 个正三角形，依此递推，第10 层中含有正三角形个数为___个，第 层含有正三角形个数为___个． 【变式训练4】观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064 个五角星摆出的图应该是第_______个图 形． 课后训练 1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1 个图有3 张黑色正方形纸片， 第2 个图有5 张黑色正方形纸片，第3 个图有7 张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去， 若第个图中有201 张黑色正方形纸片，则的值为( ) ．99 B．100 ．101 D．102 2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1 列第1 排， 第二颗棋子摆放的位置为第2 列第1 排，第三颗棋子摆放的位置为第2 列第2 排……，按此 规律摆放在第16 列第8 排的是第( )颗棋子． ．85 B．86 ．87 D．88 3．将一正方形按如图方式分成 个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖 排若干个，则 的值为( ) ．12 B．16 ．18 D．20 4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9 个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3 个数之和相等， 例如图(1)就是一个幻方．图(2)是一个未完成的幻方，则 与 的和是( ) ．9 B．10 ．11 D．12 5．如图，按此规律，第6 行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020． 6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中 ， ，则 的值为________． 7．为了求 的值，可令 ，则 ， 因此 ，所以 按照以上推理计算出 的值是______． 8．今年“101”黄金周，适逢祖国70 大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大 量游客如果长桌宴按下图方式就坐(其中□代表桌子，〇代表座位)，则拼接(为正整数)张桌 子时，最多可就坐_____人． 9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012 年8 月份的日历． 我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4 个位置上的数交又相乘，再相减， 例如： ， ，不难发现，结果都是7． 2012 年8 月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？ (3)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 10．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5 个图形中应该有多少个小圆圈？ 为什么？ (2)完成下表： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总 数 (3)如果用表示六边形边上的小圆圈数，m 表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m 和的关 系是什么？ 11．对任意一个四位正整数m，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千 位数字等于十位数字的2 倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“筋斗数”．例如：m＝ 5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321 是“筋斗数”．例如：m＝8523，满足2＋3 ＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523 不是“筋斗数”． (1)判断9633 和2642 是不是“筋斗数”，并说明理由； (2)若m 是“筋斗数”，且m 与13 的和能被11 整除，求满足条件的所有“筋斗数”m． 12．看图填空：如图，把一个面积为1 的正方形等分成两个面积为 的长方形，接着把面 积为 的长方形等分成两个面积为 的长方形，再把面积为 的长方形等分成面积为 的 长方形，如此进行下去…… (1)试利用图形揭示的规律计算： ＝_______． 并使用代数方法证明你的结论． (2)请给利用图(2)，再设计一个能求： 的值的几何图形．