第04讲 二次根式（讲义）（解析版）

第04 讲 二次根式 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 二次根式的相关概念 题型01 二次根式有意义的条件 题型02 判断最简二次根式 题型03 判断同类二次根式 考点二 二次根式的性质与化简 题型01 利用二次根式的性质化简 题型02 常见二次根式化简的10 种技巧 技巧一 数形结合法 技巧二 估值法 技巧三 公式法 技巧四 换元法 技巧五 拆项法 技巧六 整体代入法 技巧七 因式分解法 技巧八 配方法 技巧九 辅元法 技巧十 先判断后化解 考点三 二次根式的运算 题型01 二次根式的乘除运算 题型02 二次根式的加减运算 题型03 二次根式的混合运算 题型04 二次根式的化简求值 题型05 二次根式的应用 考点要求 新课标要求 命题预测 二次根式的相关概 念 了解二次根式、最简二次根式的概念 中考中，对二次根式的考察 主要集中在对其取值范围、化简 计算等方面，其中取值范围类考 点多出选择题、填空题形式出 现，而化简计算则多以解答题形 式考察此外，二次根式还常和锐 角三角函数、实数、其他几何图 形等结合出题，难度不大，但是 也多属于中考必考题 二次根式的性质与 化简 掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化 简 二次根式的运算 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、 除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 考点一 二次根式的相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如❑ √a（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“❑ √❑”称为二次根号，二次根 号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最 简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次 根式 题型01 二次根式有意义的条件 【例1】（2023·黑龙江绥化·中考真题）若式子 ❑ √x+5 x 有意义，则x 的取值范围是 ． 【答】x ≥−5且x≠0/x≠0且x ≥−5 【提示】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可． 【详解】∵式子 ❑ √x+5 x 有意义， ∴x+5≥0且x≠0， ∴x ≥−5且x≠0， 故答为：x ≥−5且x≠0． 【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件 是解题的关键． 【变式1-1】（（2023·江西·中考真题）若❑ √a−4有意义，则a的值可以是（ ） ．−1 B．0 ．2 D．6 【答】D 【提示】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵❑ √a−4有意义， 1 二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：❑ √4 -❑ √9 都是二次根式 2 二次根式有意义的条件：当≧0 时，即被开方数大于或等于0，二次根式❑ √a有意义 3 在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0） 等有意义的综合运用． 4 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1 [补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、2、（x+y）2、x2+2xy+y2等 5 几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：❑ √2、❑ √8、❑ √ 1 2是同类二次根式 ∴a−4≥0， 解得：a≥4，则a的值可以是6 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【变式1-2】（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式❑ √1−x在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围在 数轴上表示为（ ） ． B． ． D． 【答】 【提示】根据被开方数大于等于0 列不等式计算即可得到x 的取值范围，然后在数轴上表示即可得解． 【详解】解：根据题意得，1−x ≥0， 解得x ≤1， 在数轴上表示如下： 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次 根式有意义的条件是解题关键． 【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y= 1 ❑ √x−1 + 1 x−2中，自变量x 的取值范围是 ． 【答】x>1且x≠2 【提示】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出x−1>0, x−2≠0，即可求解． 【详解】解：依题意，x−1>0, x−2≠0 ∴x>1且x≠2， 故答为：x>1且x≠2． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解 题的关键． 题型02 判断最简二次根式 【例2】（2023·上海青浦·二模）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） 解决二次根式有无意义的关键： 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须 是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． ．❑ √0.2 B．❑ √8 ．❑ √6 D．❑ √ 1 2 【答】 【提示】对各选项逐一进行化简，判断是否为最简二次根式即可得出答． 【详解】、 ❑ √0.2= ❑ √5 5 ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、❑ √8=2❑ √2，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 、❑ √6是最简二次根式，故此选项符合题意； D、❑ √ 1 2= ❑ √2 2 ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选． 【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【变式2-1】（2022·河南南阳·二模）写出一个实数x，使❑ √x−3是最简二次根式，则x 可以是 ． 【答】5（答不唯一） 【提示】本题主要考查了最简二次根式的定义． 【详解】解：x=5时，❑ √x−3=❑ √5−3=❑ √2，❑ √2是最简二次根式， ∴x 的值可以是5． 故答为：5．（答不唯一） 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，最简二次根 式的条件是（1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 题型03 判断同类二次根式 【例3】（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与❑ √2是同类二次根式的是（ ） ．❑ √4 B．❑ √6 ．❑ √8 D．❑ √12 【答】 【提示】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：、❑ √4=2，与❑ √2不是同类二次根式，不符合题意； B、❑ √6与❑ √2不是同类二次根式，不符合题意； 、❑ √8=2❑ √2，与❑ √2是同类二次根式，符合题意； D、❑ √12=2❑ √3，与❑ √2不是同类二次根式，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二 次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【变式3-1】（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ） ．❑ √8与❑ √3 B．❑ √2与❑ √12 ．❑ √5与❑ √15 D．❑ √75与❑ √27 【答】D 【提示】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断． 【详解】、❑ √8=2❑ √2，2❑ √2与❑ √3不是同类二次根式，故此选项错误； B、❑ √12=2❑ √3，❑ √2与2❑ √3不是同类二次根式，故此选项错误； 、❑ √5与❑ √15不是同类二次根式，故此选项错误； D、❑ √75=5 ❑ √3，❑ √27=3 ❑ √3，5 ❑ √3与3❑ √3是同类二次根式，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式． 【变式3-2】下列各式中，能与❑ √2合并的是（ ） ．❑ √4 B．❑ √24 ．❑ √12 D．❑ √8 【答】D 【提示】先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】．❑ √4化简后不能与❑ √2合并，不合题意； B．❑ √24=2❑ √6化简后不能与❑ √2合并，不合题意； ．❑ √12=2❑ √3化简后不能与❑ √2合并，不合题意； D．❑ √8=2❑ √2化简后能与❑ √2合并，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式，能熟记同类二次根式的性质是解题的关键． 【变式3-3】若最简根式❑ √−2m+9与❑ √5m−5是同类二次根式，则m=¿ ． 【答】2 【提示】根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式❑ √−2m+9与❑ √5m−5是同类二次根式， ∴−2m+9=5m−5， 解得m=2， 故答为：2． 【点睛】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键． 考点二 二次根式的性质与化简 判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加 以判断，要注意同类二次根式与根号外的因式无关． 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．❑ √ab =❑ √a•❑ √b （a≥0，b≥0）， ❑ √ a b = ❑ √a ❑ √b （a≥0，b＞0） 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平 方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 题型01 利用二次根式的性质化简 【例1】（2023·江苏泰州·中考真题）计算❑ √(−2) 2等于（ ） ．±2 B．2 ．4 D．❑ √2 1 根据二次根式的性质化简时，❑ √a前无“-”, ❑ √a化简出来就不可能是一个负数 2 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行 化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所 限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 3 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 【答】B 【提示】直接利用二次根式的性质化简得出答． 【详解】解：❑ √(−2) 2=❑ √4=2． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 【变式1-1】（2022·广西桂林·中考真题）化简❑ √12的结果是（ ） ．2❑ √3 B．3 ．2❑ √2 D．2 【答】 【提示】将被开方数12 写成平方数4 与3 的乘积，再将4 开出来为2，易知化简结果为2❑ √3． 【详解】解：❑ √12=❑ √4×3= ❑ √2 2×3＝2❑ √3， 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简． 【变式1-2】（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m 的值使得❑ √8m是整数；m=¿ ． 【答】8 【提示】要使❑ √8m是整数，则8m要是完全平方数，据此求解即可 【详解】解：∵❑ √8m是整数， ∴8m要是完全平方数， ∴正整数m 的值可以为8，即8m=64，即❑ √8m=❑ √64=8， 故答为：8（答不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到8m要是完全平方数是解题的关键． 【变式1-3】（2022·四川南充·中考真题）若❑ √8−x为整数，x 为正整数，则x 的值是 ． 【答】4 或7 或8 【提示】根据根号下的数大于等于0 和x 为正整数，可得x 可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据 ❑ √8−x为整数即可得x的值． 【详解】解：∵8−x ≥0 ∴x ≤8 ∵x为正整数 ∴x可以为1、2、3、4、5、6、7、8 ∵❑ √8−x为整数 ∴x为4 或7 或8 故答为：4 或7 或8． 【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答 本题的关键． 题型02 常见二次根式化简的10 种技巧 技巧一 数形结合法 方法简介：利用数轴和数学表达式相结合，达到快速化简的目标 【例2】（2022·内蒙古·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则❑ √a 2+1+¿a−1∨¿的化简结果 是（ ） ．1 B．2 ．2 D．1 2 ﹣ 【答】B 【提示】根据数轴得∶ 0<<1，得到>0， -1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可． 【详解】解∶∵根据数轴得∶ 0<<1， ∴>0， -1<0， ∴原式=||+1+1- =+1+1- =2． 故选∶B． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握❑ √a 2=|a|是解题的关键． 【变式2-1】实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：❑ √(m−2) 2=¿ ． 【答】2−m/−m+2 【提示】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解． 【详解】由数轴位置可知1<m<2， ∴ ❑ √(m−2) 2=|m−2|=2−m． 【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质❑ √a 2=|a|是关键． 【变式2-2】（2022 遂宁中考真题）实数，b 在数轴上的位置如图所示，化简 |a+1|− ❑ √(b−1) 2+ ❑ √(a−b) 2=¿ ． 【答】2 【提示】利用数轴可得出−1<a<0，1<b<2，进而化简求出答． 【详解】解：由数轴可得：−1<a<0，1<b<2， 则a+1>0,b−1>0,a−b<0 ∴|a+1|− ❑ √(b−1) 2+ ❑ √(a−b) 2 =¿a+1∨−¿b−1∨+¿a−b∨¿ =a+1−(b−1)−(a−b) =a+1−b+1−a+b =2． 故答为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出，b 的取值范围是解题关键． 技巧二 估值法 方法简介：先运用二次根式的运算法则化简，再将最后的化简结果化成根式再确定取值范围 【例3】（2023·重庆·中考真题）估计❑ √2(❑ √8+❑ √10)的值应在（ ） ．7 和8 之间 B．8 和9 之间 ．9 和10 之间 D．10 和11 之间 【答】B 【提示】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断． 【详解】解：❑ √2(❑ √8+❑ √10) ¿ ❑ √16+❑ √20 ¿4+2❑ √5 ∵2<❑ √5<2.5， ∴4<2❑ √5<5， ∴8<4+2❑ √5<9， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关 键． 【变式3-1】（2023·山东临沂·中考真题）设m=5 ❑ √ 1 5−❑ √45，则实数m 所在的范围是（ ） ．m←5 B．−5<m←4 ．−4<m←3 D．m>−3 【答】B 【提示】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解：m=5 ❑ √ 1 5−❑ √45 ¿ ❑ √ 25 5 −❑ √45 ¿ ❑ √5−3 ❑ √5=−2❑ √5， ∵2❑ √5=❑ √20，❑ √16<❑ √20<❑ √25 ∴−5←2❑ √5←4， 即−5<m←4， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键． 【变式3-2】若将三个数−❑ √3，❑ √7，❑ √11表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示），则这个 被覆盖的数是 ． 【答】❑ √7 【提示】根据被覆盖的数的范围求出被开方数的范围，然后即可得解． 【详解】设被覆盖的数是a，根据图形可得 1<a<3， ∴1<a 2<9， ∴三个数−❑ √3，❑ √7，❑ √11中符合范围的是❑ √7． 故答为：❑ √7． 【点睛】本题考查了实数与数轴的关系，根据数轴确定出被覆盖的数的取值范围是解题的关键． 技巧三 公式法 方法简介：根据题目已知条件，通过变形、凑元等方法，凑成可用乘法公式，快速求解 【例4】（2022·天津红桥·三模）计算(2❑ √3+3) (2❑ √3−3)的结果等于 ． 【答】3 【提示】利用平方差公式解答． 【详解】解：(2❑ √3+3) (2❑ √3−3) =(2❑ √3) 2−3 2=12−9=3 故答为：3． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行计算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式4-1】（2023·河北保定·校考一模）已知：(❑ √2+❑ √3) 2=5+2❑ √a，则a=¿ ． 【答】6 【提示】根据完全平方公式算出(❑ √2+❑ √3) 2=5+2❑ √6，再结合已知条件求出结果． 【详解】∵ (❑ √2+❑ √3) 2=(❑ √2) 2+2×❑ √2×❑ √3+(❑ √3) 2=5+2❑ √6，(❑ √2+❑ √3) 2=5+2❑ √a， ∴ 5+2❑ √6=5+2❑ √a， ∴ a=6． 故答为：6． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式4-2】计算：(❑ √3+1) (❑ √3−1)−❑ √16+(3 ❑ √2−1) 2． 【答】17−6 ❑ √2 【详解】 解：(❑ √3+1) (❑ √3−1)−❑ √16+(3 ❑ √2−1) 2 ¿3−1−4+18−6 ❑ √2+1 ¿17−6 ❑ √2． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于 基础题型． 【变式4-3】计算：(5+❑ √6)×(5 ❑ √2−2❑ √3)． 【答】19 ❑ √2 【详解】解：(5+❑ √6)×(5 ❑ √2−2❑ √3) =(5+❑ √6)×❑ √2×(5−❑ √6) =25 ❑ √2−10 ❑ √3+10 ❑ √3−6 ❑ √2 =19 ❑ √2 【变式4-4】 100 ❑ √3 (❑ √2+❑ √3−❑ √5) (2+❑ √6+❑ √10) =¿ ． 【答】25 【提示】利用平方差公式把原式变形为 100 ❑