专题03 实数的四种压轴题全攻略（教师版）

专题03 实数的四种压轴题全攻略 类型一、利用数轴化简根式 例、实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则 ( ) ． B． ． D． 【答】B 【详解】解：观察数轴可得， ， ， ∴ ， ， 故选B． 【变式训练1】实数，b 在数轴上的对应点如图所示，化简： ______． 【答】 【详解】解：根据题意得： ，∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答为： 【变式训练2】如图，点所表示的数是( ) ． B．﹣ ．1﹣ D．﹣ 【答】 【详解】解：根据勾股定理得： ， ∴＝B＝ ，∴点表示的数是1﹣ ．故选：． 【变式训练3】实数 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为________． 【答】1 【详解】解：由数轴可知： ， ∴ ；故答为1． 【变式训练4】在数轴上找表示 的点：要在数轴上画出表示 的点，只要画出长为 的线段即可．利用勾股定理，长为 的线段是直角边为正整数_____的直角三角形的 斜边．如图，在数轴上找出表示3 的点，则＝_____，过点作直线l 垂直于，在l 上取点 B，使B＝_____，连接B，以原点为圆心，以B 为半径作弧，弧与数轴的交点_____即为表 示 的点． 【答】 2 和3；3；2； 【详解】解：利用勾股定理，长为 的线段是直角边为正整数2 和3 的直角三角形的斜 边．如图，在数轴上找出表示3 的点，则＝3，过点作直线l 垂直于，在l 上取点B，使B＝ 2，连接B，以原点为圆心，以B 为半径作弧，弧与数轴的交点即为表示 的点． 故答为：2 和3；3；2；． 类型二、比较大小与实数估算 例．比较大小：﹣2 ___ 3 ﹣ (填上＞、＜或＝)． 【答】 【详解】解： ， ， ， ． 故答为： ． 【变式训练1】比较大小： ____ ＋1．(填“＞”、“＜”或“＝”)． 【答】＜ 【详解】解：∵1＜ ＜2，1＜ ＜2， 2 ∴＜ +1＜3， ∴ ＜ +1， 故答为：＜． 【变式训练2】比较大小： ___ ．(用“＞”，“＜”或“＝”填空) 【答】> 【详解】解：∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为：＞． 【变式训练3】利用计算器，比较下列各组数的大小： (1) ， ； (2) ， ． 【答】(1) ；(2) 【详解】解：(1)按键顺序为：“ ”、“5”、“=”，显示结果为：223606798， 按键顺序为：“SFT”、“ ”、“11”、“=”，显示结果为：222398009， ∴ ＜ ； (2)按键顺序为：“ ”、“5”、“=”，显示结果为：223606798，∴ =061803399， ∵ =0625，∴ ． 类型三、新定义问题 例．定义m{，b，}为，b，中的最小值，例如：m{5，3，1}＝1，m{8，5，5}＝5．如果 m{4，x2 4 ﹣x，﹣3}＝﹣3，那么x 的取值范围是( ) ．1≤x≤3 B．x≤1 或x≥3 ．1＜x＜3 D．x＜1 或x＞3 【答】B 【详解】解：由题意得4，x2 4x，3 中最小值为3， ∴x2 4x≥3，即x2 4x+3≥0，解得：x≤1 或x≥3， 故选：B． 【变式训练1】．数学育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结 构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如 ，那么 ．如何将双重二次根式 化简？我们可以把 转化为 完全平方的形式，因此双重二次根式 得以化简． 材料二：在直角坐标系 中，对于点 和 给出如下定义：若 ， 则称点 为点 的“横负纵变点”．例如：点 的“横负纵变点”为 ，点 的“横负纵变点”为 ． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点 的“横负纵变点”为_________，点 的“横负纵变点”为_______ _； (2)化简： ； (3)已知 为常数 ，点 ，且 ，点 是点 的“横负纵变点”，则点 的坐标是_________． 【答】(1) ； ；(2) ；(3) 【解析】(1)解：∵ ， ∴点 的“横负纵变点”为 ； ∵ ，∴点 的“横负纵变点”为 ；故答为： ； ． (2) (3)∵ ，∴ ，∴ ，∴ ∴ ，∴ ∵ ，∴ ，故答为： 【变式训练2】老师在学习了本章的内容后设计了如下问题：定义：把形如 与 ， 为有理数，且 ， 为正整数，且开方开不尽)的两个数，称为共轭实数． (1)请你列举一对共轭实数： ． (2) 与 是共轭实数吗？ ； 与 是共轭实数吗？ ；(填“是”或“不 是” (3)共轭实数 ， 是有理数还是无理数？为什么？ (4)若有理数 ， 满足 ，求 的值． 【答】(1) 与 ； (2)不是，是； (3)共轭实数 ， 是无理数，见解析 (4) 【解析】(1)解： 与 是一对共轭实数，故答为： 与 ； (2)解： 与 不是共轭实数， 与 是共轭实数，故答为：不是，是； (3)解：共轭实数 ， 是无理数， ∵是开方开不尽的数，∴ 无理数，而 是不等于0 的有理数， ∴ 是无理数，有理数 加上或减去一个无理数 ，其结果仍是无理数； (4)解：由 得 ， ∵、 为有理数，∴ 为有理数， ∴ 必为有理数方能与 相等，而 为有理数，∴b-1=0， ，∴+b=4． 【变式训练3】材料1：对于正数，我们规定： ，其中 表示不大于的最大整效， b 表示的小数部分， ( )．例：若 ，则 ； ；若 ， 则 ， ． 材料2：若与b 满足材料1，即 ，且与b 满足 ( ，且为正整数)，则 称和b 是一对“四慧数”．例：若 ， ， ，16 是4 的倍数，所以4 和0 是一对“四慧数”；若 ， ， ， 不能被4 整除， 所以 与 不能是一对“四慧数”． 根据以上材料计算： (1)6 与 是一对“四慧数”， 与 是一对“四慧数”； (2)有一对“四慧数”与b，请计算当 时这对“四慧数”，b 的和． 【答】(1)0， ；(2) 【解析】(1)解：∵62+02=36,36 能被4 整除，∴6 与0 是一对“四慧数”； ( ∵ )2+( )2=8,8 能被4 整除 ∴ 与 是一对“四慧数”．故答是0， ． (2)解：当 时 ，∵ ，∴ ，∵ ∴ ∵ ， ，∴ ， ，∵ ∴ ， ∵ ， ，∴ ． 类型四、实数综合应用 例．(1)表示实数 ， 的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式 的 值． (2)如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求 的值． 【答】(1) ；(2) 【详解】解：(1)由数轴知-1＞0，-2＜0，b＜0， ∴ ； (2)∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ． 【变式训练1】(1)设5﹣ 的整数部分为，小数部分为b 求 的值． (2)实数、b、在数轴上的位置如图所示，化简代数 ． 【答】(1) ；(2) 【详解】解：(1)∵ ，∴ ，∴ ， ∴ 的整数部分为3，即 ， ∴ ，∴ ； (2)由数轴上点的位置可知 ，∴ ， ， ∴ ． 【变式训练2】已知某正数的两个不同的平方根分别是2-17 和+8，b-10 的立方根是﹣2，是 的整数部分． (1)求-b+的值． (2)求+b+3 的平方根． 【答】(1)3；(2) 【解析】(1)∵某正数的两个不同的平方根分别是 和 ， ∴ ，解得： ． ∵ 的立方根是 ，即 ，∴ ，解得： ； ∵是 的整数部分，且 ，∴ ．∴ ． (2)∵ ， ∴ 的平方根是 ． 【变式训练3】如图甲，这是由8 个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64m3． (1)这个魔方的棱长为 m；(2)图甲中阴影部分是一个正方形BD，求这个正方形的边长； (3)把正方形BD 放置在数轴上，如图乙所示，使得点与数1 重合，则D 在数轴上表示的数 为 ． 【答】解：(1)设魔方的棱长为m，根据题意得 3＝64 ∴＝4 故答为4． (2)设小正方体的棱长为bm，根据题意得 8b3＝64 ∴b＝2 ∴所以根据勾股定理得 D2＝22+22∴D＝❑ √8答：这个正方形的边长是❑ √8m． (3)由(2)知，D＝❑ √8 ∴点D 对应的数的绝对值是❑ √8-1， ∵点D 对应的数是负数 ∴点D 对应的数是1﹣❑ √8 故答为1﹣❑ √8． 课后练习 1 已知实数，b 在数轴上的位置如图所示，化简：|－b|－ ＋( )2＋2 【答】0 【解析】解：由图知，>0，b<0，－b>0，∴原式＝－b－－b＋2b＝0． 2．比较大小： _______ ， ________ (填“＜”或“＝”或“＞”) 【答】 ＜ ＜ 【详解】解：∵ ，∴18＞12，∴ ＜ ； - = ， ∵ ，∴ - <0，故答为：<，<． 3．已知面积为10 的正方形的边长为 ，那么 的取值范围是( ) ． B． ． D． 【答】 【解析】解：由面积为10 的正方形的边长为x，得 ，∴ ∵9<10<16，∴ ，故选：． 4．已知 的立方根是-3， 的算术平方根是4，是 的整数部分，求 的平方根． 【答】±4 【详解】∵ 的立方根是-3，∴ ，∴ ∵ 的算术平方根是4，∴ ，即 ，∴ ∵是 的整数部分，且 ，∴ ，∴ ∵ ，∴ 的平方根为±4 5(1)已知两个连续正整数、b， ，求b 的值． (2)已知是 的整数部分，b 是 的小数部分，求 的值． (3)已知 的小数部分为m， 的小数部分为，求m+的值． 【答】(1)30；(2)8；(3)1 【解析】解：(1)∵、b 是两个连续的正整数，且 ， 又∵ ，即 ，∴=5，b=6，∴ ； (2)∵是 的整数部分，b 是 的小数部分，∴=2，b= ， ∴ ； (3)∵ ，m 是 的小数部分，是 的小数部分， 又∵ ， ，∴ ， ， ∴ ． 6 如图1，纸上有五个边长为1 的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方 形． (1)拼成的正方形的边长为 ．(2)如图2，以数轴的单位长度的线段 为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣1 点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧， 交数轴正半轴于点，那么点表示的数是 ． (3)如图3，格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的 正方形的面积和边长． 【答】解：(1)设拼成的正方形的边长为，则2＝5，¿ ❑ √5， 即拼成的正方形的边长为❑ √5，故答为：❑ √5； (2)由(1)得点表示的数为❑ √5−¿1，故答为：❑ √5−¿1； (3)根据图形得：S 阴影＝2×2×2× 1 2 +¿2×2× 1 2=¿4+2＝6，即新的正方形的面积为6，新正方 形的边长为❑ √6． 7．若一个含根号的式子 可以写成 的平方(其中，b，m，都是整数，x 是正整 数)，即 ，则称 为完美根式， 为 的完美平方根． 例如：因为 ，所以 是 的完美平方根． (1)已知 是 的完美平方根，求的值． (2)若 是 的完美平方根，用含m，的式子分别表示，b． (3)已知 是完美根式，直接写出它的一个完美平方根． 【答】(1) ；(2) ， ；(3) 或 是 的完美平 方根 【详解】(1)∵ 是 的完美平方根， ∴ ，∴ ． (2)∵ 是 的完美平方根， ∴ ，∴ ， ． (3)∵ ， ∴ 或 是 的完美平方根． 8．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积 的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小 算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如1，4，9 这三个数， ， ， ，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9 三个数称为“和 谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大算术平方根是6 (1)请证明2，18，8 这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根． (2)已知9，，25 三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3 倍，求 的值． 【答】(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；(2)81 【详解】解：(1)证明：∵ ， ， 2 ∴，18，8 这三个数是“和谐组合”，∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； (2)分三种情况：①当 时， 得： (舍去) ②当 时， ，得： (舍去) ③当 时， ．得： 综上所述，的值为81．