模型35 圆——圆幂定理模型-原卷版

圆 模型（三十五）——圆幂定理模型 知识点一：相交弦定理 ◎结论1：如图 ，⊙中，弦B、D 相交于点P，半径为r,则 P·BP ① ＝P·DP , P·BP ② ＝P·DP＝r2－P2 ①【证明】 如上右图 ∵∠＝∠D，∠P＝∠DPB △P∽△DPB ∴ ∴AP DP＝CP BP 即P·BP＝P·DP ② P 与⊙交于M 两点，r 为⊙ 的半径， P·BP＝P·DP＝MP·P＝（r＋P）（r－P）＝r²－P² 知识点二：切割线定理 ◎结论2：如图 ，PB 是⊙的一条割线，P 是⊙的一条切线，切点为，半径为r, 则①P2＝PB·P，②P2＝PB·P＝P2－r2 【证明】① 连接B,,连接并延长交⊙于D，连接DB P ∵ 为⊙的切线 ∠DP ∴ ＝90° 即∠1＋∠2＝90° D ∵ 是⊙的直径 ∠BD ∴ ＝90° ∠2 ∴ ＋∠3＝90° ∠1 ∴ ＝∠3 ∠3 ∵ ＝∠4 ∠1 ∴ ＝∠4 △PB∽△P ∴ ∴PA PC ＝PB PA 即P²＝PBP ② P²＝PB·P ＝PM·P ＝（P－r）（P＋r） ＝P²－r² 知识点三：割线定理 ◎结论3：如图 ，PB、PD 是⊙的两条割线，半径为r,则 P·PB ① ＝P·PD, P·PB ② ＝P·PD＝P2－r2 【证明】 ∵∠B＝∠D，∠BP＝∠DP △PB∽△PD ∴ ∴PB PD＝PC PA P·PB ∴ ＝P·PD ＝PM·P ＝（P－r）（P＋r） ＝P²－r² 1．（2020·全国·九年级课时练习）如图，圆内一条弦D 与直径B 相交成30°角，且分直径成1m 和5m 两部 分，则这条弦的弦心距是_____． 从两线交点处引出的共线，线段的乘积相等 2．（2015·浙江宁波·九年级阶段练习）半圆的直径B=9，两弦B、D 相交于点E，弦D= ，且BD=7， 则DE=_______ 3．（2018·四川资阳·九年级阶段练习）如图，已知B 为⊙的直径，弦D⊥B，垂足为 (1) 求证：B=2； (2) 若过的直线与弦D(不含端点)相交于点E，与⊙相交于点F，求证：E F=2； (3) 若过的直线与直线D 相交于点P，与⊙相交于点Q，判断P Q=2是否成立(不必证明) 1．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十 字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙的两条弦B⊥D，则B、D 互为 “十字弦”，B 是D 的“十字弦”，D 也是B 的“十字弦”． 【概念理解】 （1）若⊙的半径为5，一条弦B =8，则弦B 的“十字弦”D 的最大值为 ，最小值为 ． （2）如图2，若⊙的弦D 恰好是⊙的直径，弦B 与D 相交于，连接，若= 12，D =7， =9，求证︰B、D 互 为“十字弦”； 【问题解决】 （3）如图3，在⊙中，半径为 ，弦B 与D 相交于，B、D 互为“十字弦”且B=D， ，则D 的 长度 ． 1．（2017·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图， 中，弦 ， 相交于点 ， ， ，则 的大小是( ) ． B． ． D． 2．（2019·四川·恩阳二中一模）圆内一条弦与直径相交成30°的角，且分直径1m 和5m 两段，则这条弦的 长为_____．