模型36 圆——四点共圆模型-解析版

圆 模型（三十六）——四点共圆模型 四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一圆上，则称这四个点共圆 知识点一：四点共圆的性质 ◎结论1：如图 、B、、D 四点共圆 ①同侧共底的两个三角形顶角相等（同弧所对的圆周角相等） ∠B＝∠DB，B 为底；∠B＝∠BD，B 为底； ∠D＝∠BD，D 为底；∠BD＝∠D，D 为底； ②圆内接四边形的对角互补 ∠B＋∠D＝180º；∠BD＋∠BD＝180 ③圆内接四边形的外角等于内对角 ∠BE 为圆内接四边形的一个外角， 则∠BE＝∠ 知识点二：四点共圆的判定 ①若四个点到一个点的距离相等，则这四个点在同一圆上（四点共圆） 【证明】【共斜边直角三角形】： 取斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半 ＝B＝＝D， ∴、B、、D 四点共圆 ②若四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆 若∠＋∠＝180º,则、B、、D 四点共圆 【证明】（反证法）以B、、D 三点作⊙，现证明在⊙上， 假设点不在圆上： ①假设点在⊙内，在上方⊙上取一点P， B,,D,P ∵ 四点共圆，∴∠P＋∠＝180°，∵∠＋∠＝180°，∴∠＝∠P 而图中∠＝∠P＋∠PB＋∠PD，即∠＞∠P 与∠＝∠P 矛盾 ∴假设不成立，点不在圆内 ②假设点在⊙外，在上方⊙上取一点P， B,,D,P ∵ 四点共圆，∴∠P＋∠＝180°，∵∠＋∠＝180°，∴∠＝∠P 而图中∠＝∠P＋∠PB＋∠PD，即∠＞∠P 与∠＝∠P 矛盾 ∴假设不成立，点不在圆外。 综上：只能在圆上，即，B，，D 四点共圆。 ③若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形四点共圆 若∠BD＝∠，则、B、、D 四点共圆 【本质：对角互补】 ④若两个点在一条线段的同旁，且和这条线段的两个端点连线所夹的角相等，那么 这两个点和这条线段的两个端点四点共圆 若∠B＝∠BD，则、B、、D 四点共圆 证明：以B 作圆，在弧B 上取点P， 则∠B＋∠P＝180°， ∠B ∵ ＝∠BD， ∠P ∴ ＋∠BD＝180°， DBP ∴ 四点共圆 BP ∵ 四点共圆， BP 确定唯一圆 BD ∴ 四点共圆 1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知B==D，∠D=20°，则∠BD 的度数是（ ） ．10° B．15° ．20° D．25° 【答】 【详解】 如图，B==D ∵ ， 故选． 2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在长方形 中， ， ，垂足为 ，延长 交 于 ，表示面积，则给出的下列命题：① ；② ；③ ；④ ．其中正确命题的代号是________． 【答】①③④ 【分析】由矩形的性质得出 ， ， ，由 证明 ， ①正确；由 的面积 的面积，得出 的面积 的面积，②不正确；证明 、 、 、 四 点共圆，得出 ，③正确；延长 交矩形 的外接圆于 ，连接 ，由圆周角定理得 出 ，由三角形的外角性质得出 ，得出 ，④正确；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴①正确； ∵ 的面积 的面积 ， ∴ 的面积 的面积， ∴②不正确； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 、 、 、 四点共圆， ∴ ， ∴③正确； ∵ 、 、 、 四点共圆， 如图所示： 延长 交矩形 的外接圆于 ，连接 ， 则 ， ∵ ， ∴ ， ∴④正确； 正确的代号是①③④； 故答为：①③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及圆周角的性质，掌握四点共圆的证明方法进行 转化是解题关键． 3．（2020·黑龙江哈尔滨·九年级阶段练习）如图，等边△B 中，D 在B 上，E 在上，BD＝E，连BE、D 交于F，T 在EF 上，且DT＝E，F＝50，TE＝16，则FT＝_____． 【答】17 【分析】用“SS”可判定△BD BE ≌△ ，得到∠FE=60°，延长FE 至点G，使得FG=F，连G，T，得到△FG 是等边三角 形，证明、B、D、T 四点共圆，设法证明△FT GE ≌△ （S），即可求得答． 【详解】∵△B 为等边三角形， B==B ∴ ，∠BD= BE=60° ∠ ， 在△BD 和△BE 中， ， BD BE ∴△ ≌△ （SS）， BD= BE ∴∠ ∠ ， D= BE+ BFD= BD+ B ∵∠ ∠ ∠ ∠ ∠， BFD= B= FE=60° ∴∠ ∠ ∠ ； 延长FE 至点G，使得FG=F，连G，T， FE=60° ∵∠ ， FG ∴△ 是等边三角形， G=F=FG=50 ∴ ，∠GF= FG=60° ∠ ， BF+ EF = G+ EF =60° ∵∠ ∠ ∠ ∠ ， BF= G ∴∠ ∠， DT=E ∵ ， DBT= BTD ∴∠ ∠ ， BD= BE ∵∠ ∠ ， BD= BTD ∴∠ ∠ ， ∴、B、D、T 四点共圆， BD= DT ∴∠ ∠ ， FT= GE ∴∠ ∠ ， 在△FT 和△GE 中， ， FT GE ∴△ ≌△ （S）， FT= GE ∴ ， FG=50 ∵ ，TE=16， FT= ∴ (FG- TE)=17． 故答为：17． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判 断出△FT GE ≌△ 是解本题的关键． 1．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在正方形 中，点 在边 上，过点 作 ，且 ，连接 、 ，点 是 的中点，连接 ． （1）用等式表示线段 与 的数量关系：______； （2）将图1 中的 绕点 按逆时针旋转，使 的顶点 恰好在正方形 的对角线 上，点 仍是 的中点，连接 、 ． ①在图2 中，依据题意补全图形； ②用等式表示线段 与 的数量关系并证明． 【答】（1） ；（2）①画图见解析；② ，证明见解析 【分析】（1）先判断出△GB≌△GB，得到∠GBF＝45°，再判断出△EFG≌△FG，得到∠GFB＝45°，从而得到△BGF 为 等腰直角三角形，即可． （2）①画图2 即可；②如图2，连接BF、BG，证明△DF≌△BF 得DF＝BF，根据直角三角形斜边中线的性质得： G＝EG＝BG＝FG，由圆的定义可知：点、F、E、B 在以点G 为圆心，G 长为半径的圆上，∠BGF＝2∠B＝90°，所 以△BGF 是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】解：（1）BF＝ ， 理由是：如图1，连接BG，G， ∵四边形BD 为正方形， ∴∠B＝90°，∠B＝45°，B＝B， ∵EF⊥B，FE＝F， ∴∠FE＝90°，∠EF＝45°， ∴∠E＝90°， ∵点G 是E 的中点， ∴EG＝G＝G， ∵BG＝BG， ∴△GB≌△GB（SSS）， ∴∠BG＝∠BG＝ ∠B＝45°， ∵EG＝G，EF＝F，FG＝FG， ∴△EFG≌△FG（SSS）， ∴∠EFG＝∠FG＝ （360°﹣∠BFE）＝ （360° 90° ﹣ ）＝135°， ∵∠BFE＝90°， ∴∠BFG＝45°， ∴△BGF 为等腰直角三角形， ∴BF＝ FG． 故答为：BF＝ FG； （2）①如图2 所示， ② ；理由如下： 如图2，连接BF、BG， ∵四边形BD 是正方形， ∴D＝B，∠B＝∠BD＝90°，平分∠BD， ∴∠B＝∠D＝45°， ∵F＝F， ∴△DF≌△BF（SS）， ∴DF＝BF， ∵EF⊥，∠B＝90°，点G 是E 的中点， ∴G＝EG＝BG＝FG， ∴点、F、E、B 在以点G 为圆心，G 长为半径的圆上， ∵ ，∠B＝45°， ∴∠BGF＝2∠B＝90°， ∴△BGF 是等腰直角三角形， ∴BF＝ FG， ∴DF＝ FG． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性 质，圆的性质，判断△BGF 为等腰直角三角形是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点． 2．（2022·福建·厦门市松柏中学九年级阶段练习）如图，等腰三角形△B 中，∠B=120°，B=3． （1）求B 的长． （2）如图，点D 在的延长线上，DE⊥B 于E，DF⊥B 于F，连EF．求EF 的最小值． 【答】（1）B= ；（2）EF 的最小值为 【分析】（1）过点作M B ⊥ 于点M，根据等腰三角形的性质得∠B=30°，BM=M，由直角三角形的性质得BM= ，进而即可求解； （2）连接BD，取BD 的中点，连接E，F，易得B，D，E，F 四点共圆，从而得∆EF 是等边三角形，进而得EF= BD，由BD D ⊥ 时， BD 的值最小，进而即可求解． 【详解】（1）过点作M B ⊥ 于点M， ∵等腰三角形△B 中，∠B=120°，B=3， B=(180°-120°)÷2=30° ∴∠ ，BM=M， BM=3 ∴ ÷2× = ， ∴B=2 BM=2× =3 ； （2）连接BD，取BD 的中点，连接E，F， ∵DE⊥B 于E，DF⊥B 于F， ∴在Rt∆BDF 与Rt∆BDE 中，B=D=E=F= BD， B ∴，D，E，F 四点共圆， EF=2 EBF=2 ∴∠ ∠ ×30°=60°， ∴∆EF 是等边三角形， EF=F= ∴ BD， = EBF =30° ∵∠∠ ， ∴当BD D ⊥ 时，BD= B= ，此时，BD 的值最小， ∴EF 的最小值= BD = × = ． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形，直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造四边形的外接 圆，是解题的关键． 1．（2020·福建·中考真题）如图，四边形 内接于 ， ， 为 中点， ， 则 等于（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据 ， 为 中点求出∠BD= DB= BD ∠ ∠ ，再根据圆内接四边形的性质得到∠B+ D=180° ∠ ，即 可求出答． 【详解】∵ 为 中点， ∴ , DB= BD ∴∠ ∠ ，B=D， ∵ ， BD= DB= BD ∴∠ ∠ ∠ ， ∵四边形 内接于 ， B+ D=180° ∴∠ ∠ ， 3 DB+60°=180° ∴∠ ， ∴ =40°， 故选：． 【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的 性质：对角互补．