模型39 圆——折弦定理模型-原卷版

圆 模型（三十九）——折弦定理模型 如图，B B，像是一条折断的弦 ◎结论：B、B 是⊙的两条弦，M 为^ ABC的中点，MD⊥B，垂足为D， 则B＋BD＝D 【证明】 如图 在D 上取点E，使DE＝DB,连接BM,ME,,M,M, BD ∵ ＝DE,MD⊥BE, MB ∴ ＝ME M ∵ 为^ ABC的中点 M ∴ ＝M ∠MB ∵ ＝∠M ∠MEB ∴ ＝∠M， ∠BME ∵ ＝180°－∠MBE－∠MEB， ∠M＝180°－∠M－∠M， ∠BME ∴ ＝∠M， ∠BM ∴ ＝∠EM, 易证△BM△EM,∴B ∴ ＝E, B ∴＋BD＝D 1．（2021 年四川省成都市金堂县中考数学二诊试卷）在⊙中 ＝ ，顺次连接、B、． (1)如图1，若点M 是 的中点，且M∥交B 延长线于点，求证：M 为⊙的切线； (2)如图2，在（1）的条件下，连接M，过点作P⊥BM 于点P，若BP＝，MP＝b，M＝，则、b、有何数量 关系？ (3)如图3，当∠B＝60°时，E 是B 延长线上一点，D 是线段B 上一点，且BD＝E，若BE＝5，△EF 的周长为 9，请求出S△EF 的值？ 1．（北京市西城区三帆中学2021-2022 学年九年级下学期月考数学试卷（4 月份））已知：△B，点D 是 △B 的外接圆上一点（不与，B，重合），过作射线E，F，且E BD，F D（D，E 分别在B 两侧，D，F 分别在两侧），在射线E 上取一点M 使得M＝B，在射线F 上取一点使得＝，连接M，P 是线段M 的中点． (1)当∠＝90°时，在图1 中补全图形并直接写出∠M 的度数； (2)在图2 中，当D 在△B 的外接圆上移动过程中，探索∠B 和∠M 的关系并直接写出你的探索结果____； (3)图3 中请你探索P 与B 的数量关系，并证明你的结论； (4)小逸同学在探索题目过程中，不小心把一些画图痕迹给破坏掉了，只留下如图4 所示的四边形BM，且 已知BM＝6，MP＝ ，＝12，∠BM＝150°，∠M＝90°，小逸同学只记得、D 在B 两侧，你能帮他找出点 的位置并求出P 的长度吗？ 2．（广东省深圳市2018 年中考数学试题）如图，△B 内接于⊙， ，点 为 上的动点， 且 (1)求 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦D 的延长线交B 的延长线于点E，问D•E 的值是否变化？若不变，请求出D•E 的值；若变化，请说明理由 (3)在点D 的运动过程中，过点作⊥BD，求证： 1．（2022 年河南省社旗县九年级数学一模考试试题）请阅读下面材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德（rmedes 公元前287—公元前212 年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高 斯并称为三大数学王子． 阿拉伯l-Br（973 年—1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964 年根据-Bru 译本出 版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，B 和B 是 的两条弦（即折线B 是圆的一条折弦）， ，M 是弧B 的中点，则从点M 向B 所作垂线的垂足D 是折弦B 的中点，即 ． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程． 证明：如图2，在D 上截取 ，连接M，MB，M 和MG． ∵M 是弧B 的中点， … 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知等边三角形B 内接于 ，D 为弧上一点， ， 于点E， ，连接 D，则△DB 的周长是___________．