第10讲 几何证明（垂直平分线、直角三角形）（含详解答案）-全国重点高中自主招生大揭秘

几何证明 一、单选题 1．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图，在 中， ， 平分 交 于点 平分 交 于点 交于点 ．则下列说法正确的个数为（ ） ① ；② ，③若 ，则 ；④ ；⑤ ． ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 2．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，DE 是△B 的边B 的垂直平分线，分别交边B，B 于点D，E， 且B＝9，＝6，则△D 的周长是（ ） ．105 B．12 ．15 D．18 3．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈， 葭（ ā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1 丈 尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为 （ ） ．10 尺 B．11 尺 ．12 尺 D．13 尺 4．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在Rt 中， ， ， ， 于点D，E 是B 的中点，则DE 的长为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 5．（2022·广东·九年级统考竞赛）在△B 中，内角、B、的对边分别为、b、．若b2+2＝2b+4 5 ﹣且2＝b2+2 ﹣b，则△B 的面积为（ ） ． B． ． D． 6．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在四边形BD 中，∠=90°，D=3，B=5，对角线BD 平分∠B， 则△BD 的面积为（ ） ．75 B．8 ．15 D．无法确定 二、填空题 7．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）已知一个直角三角形的两直角边分别为3，4，则此三角形斜边上中 线长为____． 8．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）在 中， ， （1）如果 ，那么 ___________； （2）如果 ，那么 ___________； （3）如果 ，那么 ___________； （4）如果 ，那么 ___________； 9．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂B 之间的距离，在 学校附近选一点，利用测量仪器测得∠＝60°，∠＝90°，＝2km，据此可得学校与工厂之间的距离B 等于__ ____ km； 10．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图．在 中， ， 平分 ， 于E， 若 ，则 的长为________． 11．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在△B 中，B＝5，＝7，直线DE 垂直平分B，垂足为E，交 于点D，则△BD 的周长是 _____ ． 12．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的面积为___ ______． 三、解答题 13．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，有两只猴子在一棵树D 高6m 的点B 处，他们都要到处的池 塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m 处的池塘处，另一只猴子爬到树顶D 后直线越向池塘的处， 如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ 14．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）在 中， (1)如果 ， ，求 的长度； (2)如果 ， ，求 的长度． 15．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）有一根长 的木棒，要放入长、宽、高分别是 、 、 的木箱中（如图），能放进去吗？试通过计算说明理由． 16．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在 中， ， 平分 交 于点D， ，垂足为E，若 ． (1)求 的长度； (2)求 的长度． 17．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图， 中 的垂直平分线分 别交 于点D、E．求 的长． 18．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在 中， ，垂足为D， ，延长 至 E，使得 ，连接 ． (1)若 ，求 ； (2)若 ，求 面积． 19．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图， 是四根长度均为 的火柴棒，点、、E 共线． ， ，求线段 的长度是多少？ 20．（2022 春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）已知：如图，Rt△B 中，＞B，∠B=90，D 是△B 的中线，点E 在D 上，且∠ED=∠B．求证：E=B． 21．（2022 春·湖南长沙·八年级长沙市长郡双语实验中学校考竞赛）已知：如图， △ 中， ， ， 是△ 的中线，点 在 上，且 ．求证： ． 22．（2022·广东·九年级统考竞赛）随着我国城市化水平逐渐加强，各大城市均出现了交通拥堵的情况， 为了缓解交通拥堵，各地都在进行交通道路的优化和建设．某城市为了解决区域交通拥堵问题，修建了一 条隧道． (1)图甲为隧道入口，图乙为它的截面，已知 米，隧道的最高点 离路面 的距离 米，则该 道路的路面宽 _________米；在 上，离地面相同高度的两点 ， 装有两排照明灯，若 是 的中点，则这两排照明灯离地面的高度是_________米． (2)隧道建成后可改善附近路段的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度（千米/小时）和车流密度 （辆/千米）满足关系式 （为实数）．研究表明：当隧道内的车流密度达到 120 辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0 千米/小时． （）若车流速度不小于40 千米/小时，求车流密度的取值范围； （b）隧道内的车流量 （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足 ，求隧道内车流量 的最大值（精确到1 辆/小时），并指出当车流量取得最大值时的车流密度． 23．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，已知四边形BD 中，∠为直角，B=16，B=25，D=15，D=12， 求四边形BD 的面积． 24．（2020·江西南昌·八年级竞赛）如图，正方形格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点 叫格点． (1)在图①中，以格点为端点，画线段M= ； (2)在图②中，以格点为顶点，画正方形BD，使它的面积为10． 参考答： 1． 【分析】①根据三角形内角和定理可得可得 ，然后根据 平分 平分 ，可得 ， ，再根据三角形内角和定理即可进行判断； ②当 是 的中线时， ，进而可以进行判断； ③根据 ，证明 为等边三角形，根据三线合一的性质进而可以进行判断； ④作 的平分线交 于点 ，可得 ，证明 ， ，可得 ，进而可以判断； ⑤过 作 于点 ，由④知， 为 的角平分线，可得 ，所以可 得 ，根据 ，进而可以进行判断． 【详解】解：①在 中， ， ∴ ， ∵ 平分 平分 ， ∴ ， ， ∴ ，故①正确； ②当 是 的中线时， ，故②错误； ③∵ ， ∴ 为 的中线， ∵ 为 的角平分线， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ，故③正确； ④如图，作 的平分线交 于点 ， 由①得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故④正确； ⑤过 作 ， 于点 ， 由④知， 为 的角平分线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故⑤正确． 综上所述：正确的有①③④⑤，共4 个， 故选：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形全 等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是解题关键． 2． 【分析】由垂直平分线的性质可得D=BD，再计算△D 周长即可． 【详解】解：∵DE 是△B 的边B 的垂直平分线， ∴BD=D ∴B=D+BD=D+D=9 ∵=6 ∴△D 的周长=D+D+=9+6=15 故选： 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相 等． 3． 【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可 【详解】设水池里的水深为x 尺，由题意得： 解得：x=12 故选： 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的 关键 4． 【分析】首先根据“斜中半”定理求出 ，然后利用三角形的外角性质求出 ，从而在 中，利用“30°角所对的直角边为斜边的一半”求解即可． 【详解】∵E 是Rt 中斜边B 的中点， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，∠ED=30° 在 中， ， ∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查直角三角形的基本性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解题关键． 5．B 【分析】先用配方法对b2+2=2b+4-5 变形配方，从而求得b，的值，再将其代入2=b2+2-b，求出，再由勾股 定理的判定定理得出△B 为直角三角形，从而其面积易得． 【详解】∵b2+2＝2b+4 5 ﹣ ∴（b2 2 ﹣b+1）+（2 4+4 ﹣ ）＝0 ∴（b 1 ﹣）2+（﹣2）2＝0， ∴b 1 ﹣＝0，﹣2＝0， ∴b＝1，＝2． 又∵2＝b2+2﹣b， ∴2＝1+4 2 ﹣＝3， ∴ 或 （舍） ∵ ， △ ∴B 是以1 和 为直角边的直角三角形， △ ∴B 的面积为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了应用配方法进行变形，以及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理，三角形的面积计算 等基础内容，本题难度中等． 6． 【详解】试题分析：如图，过点D 作DE⊥B 于点E． ∠ ∵ =90°，∴D⊥B．∴D=DE=3． 又∵B=5，∴S△BD= B•DE= ×5×3=75． 故选． 考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 7．25 【分析】利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：由勾股定理得，斜边 ， 所以，斜边上中线长 ． 故答为：25． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的 关键． 8． 15 6 5 60 【分析】在 中， ，则 ，根据题目给出的 中的2 个边长可以 求第三个边的长． 【详解】解：在 中， ， 所对的边 为斜边， ∴ ， （1）如果 ，则 ； （2）如果 ，则 ； （3）如果 ，则 ； （4）如果 ，则 ． 故答为：15；6；5；60． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中正确的根据勾股定理求值是解题的关键． 9．4 【分析】直接利用直角三角形的性质得出∠B 度数，进而利用直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半， 即可得出答． 【详解】解：∵∠=60°，∠=90°，=2km， ∠ ∴ B=30°， ∴B=2=4（km）． 故答为：4． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，掌握“直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半”是解题 关键． 10． 【分析】证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：由题意： 平分 ， 于 , ， ， 又 为公共边， ， ， 在 中， ，由勾股定理得： ， 故答是：． 【点睛】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是：通过全等找到边之间的关系，再利用勾股定 理进行计算可得． 11．12． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 ，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵直线DE 垂直平分B， ∴ ， ∴△BD 的周长 ， 故答为：12． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离 相等是解题的关键． 12．100． 【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母所代表的正方形的面积 =36+64=100． 【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方 =36+64． 故答为：100． 【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理． 13．树高为9 米． 【分析】由题意知 ，设 米，则 米，且在 中 ，代入数据可求x 的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：由题意知 ，且 米， 米， 设 米，则 米， 在 中： ， 即 ， 解得 ， 故树高为 米． 答：树高为9 米． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到 的等量关系，并根据 勾股定理 求解是解题的关键． 14．(1) ； (2) ． 【分析】（1）根据条件设 ，则 ，利用勾股定理求得k 的值，就可求出斜边B 的长； （2）设 ，则 ，利用勾股定理就可求得x 的值． 【详解】（1）解：∵ ， 设 ，则 ． ∵ ， ， ， ∴ ， 解得 (负值已舍)， ∴ ； （2）解：∵ ， 设 ，则 ， ∵ ， ， ， ∴ ， 解得 ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，利用平方根解方程等知识，若知道线段比，常可设一份为k，从而可 将相关线段用k 的代数式表示，熟练掌握勾股定理是解题的前提． 15．能放得进去；理由见解析 【分析】先由勾股定理求出 ，再由勾股定理求出 ，即可得出结果． 【详解】解：能放得进去；理由如下：如图所示： 根据已知条件得： ， ， ， 连接 、 ， 在 中， ， 在 中， ， 故能放得进去． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 16．(1) ； (2) ． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到 ，求出 ，根据勾股定理计算，得到答； （2）利用 证明 ，推出 ，设 ，在 中，利用勾股定 理求解即可． 【详解】（1）解：∵ 平分 交 于点D， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵ 平分 交 于点D， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ， 在 中， ， ∴ ， 解得 ， ∴ ． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到 角的两边的距离相等是解题的关键． 17． ， ． 【分析】连接 ．设 ，则 ．由线段垂直平分线的性质可知 ．再在 中，利用勾股定理可列出关于x 的等式，解出x，即可得解． 【详解】如图，连接 ． 设 ，则 ． ∵ 是线段 的垂直平分线， ∴ ． 在 中， , ∴ ， 解得： ， ∴ ， ． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理．连接常用的辅助线是解题关键． 18．(1) ； (2) ． 【分析】（1）证明 是 的中垂线，推出 ，再利用三角形的外角性质即可求解； （2）利用勾股定理计算出 ，进而求出 ，即可求出 的面积． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ 是 的中垂线， ∴ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，三角形面积的计算等知识，熟练掌握线段垂直平分 线的性质以及勾股定理的应用是解题的关键． 19． ． 【分析】作 ， ，垂足分别为G、，利用 证明 得到 ，利用 勾股定理及等腰三角形的性质求出 ，再根据等腰三角形的性质即可得出答． 【详解】解：作 ， ，垂足分别为G、， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， 由勾股定理得： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，证得 是解决问 题的关键． 20．见解析 【分析】先通过延长D 到F 使DF=D，连接F，构造出△BD 的全等三角形△FD，由全等三角形性质可得 ∠F=∠BD，B=F，又根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到D=BD，∠B=∠BD，由等量代换和等 角对等边就可推出E=B． 【详解】证明：延长D 到F 使DF=D，连接F，如图 ∵D 是△B 的中线， ∴D=BD， 在△DF 与△BD 中， ， △ ∴DF △ ≌BD（SS）， ∠ ∴ F=∠BD，B=F， ∠ ∵ B=90°，D 是△B 的中线， ∴D=BD， ∠ ∴ B=∠BD， 又∵∠ED=∠B ∠ ∴ ED=∠BD， △ ∵DF △ ≌BD， ∠ ∴ F=∠BD， ∠ ∴ ED=∠F ， ∴E=F， ∵B=F， ∴E=B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，能正确构造出全等三角形是做出本题的重点． 21．证明见详解． 【分析】以点为圆心，D 长为半径，交B 于F，连结F，得出D=F，根据等腰三角形的性质得出 ∠DF=∠FD，根据直角三角形斜边中线得出D=F，再证△DE △ ≌FB（S）即可． 【详解】证明：以点为圆心，D 长为半径，交B 于F，连结F，则D=F， ∠ ∴ DF=∠FD， ∠ ∴ DE=180°-∠DF=180°-∠FD=∠FB， ∵ 是△ 的中线， ∴D=D=BD， ∴D=F， 在△DE 和△FB 中， ， △ ∴DE △ ≌FB（S）， ∴E=B． 【点睛】本题考查尺规作图，等腰三角形性质，直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质，掌握 尺规作图，等腰三角形性质，直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质是解题关键． 22．(1) ； (2)（）若车流速度不小于40 千米/小时，则车流密度的取值范围是 ；（b）隧道内车流量的最大 值约为3250 辆/小时，此时车流密度约为87 辆/千米 【分析】（1）作 的垂直平分线 ，交 于 ，交 于 ，则 是圆心，连接 ，则 即 可得圆的半径为5 厘米，根据勾股定理得 ，则 ，连接 、 交于 ，作 于 ， 于 ，可得P，P，由 是 的中点得 垂直平分 ，即可得 ， 根据平行线的性质得 ，根据S 证明 ，则 ，即可得； （2）（）把 ， 代入已知式求得k，解不等式 可得x 的范围，（b） 由题意得， ，利用函数的单调性和基本不等式分段计算即可得． (1) 解：如图，作 的垂直平分线 ，交 于 ，交 于 ，则 是圆心，连接 ， ∴ （m）， ∵ ， ∴圆的半径为 ， ∴ ， ∴ ， 连接 、 交于 ，作 于 ， 于 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是 的中点， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为 ， ． (2) （）由题意知当 （辆/千米）时， （千米/小时）， 代入 得 ，解得 ， 所以 ， 当 时， ，符合题意； 当 时，令 ，解得 ， 所以 综上， ， 则若车流速度 不小于40 千米/小时，则车流密度 的取值范围是 ． （b）由题意得， 当 时， 为增函数， 所以 ，等号当且仅当 成立； 当 时， = = = = ≤ = ≈3250 即 ，等号当且仅当 ，即 成立， 综上，y 的最大值约为3250，此时x 约为87， 则隧道内车流量的最大值约为3250 辆/小时，此时车流密度约为87 辆/千米． 【点睛】本题考查了圆，勾股定理，全等三角形的判定与性质，一次函数，分段函数，解题的关