题型9 二次函数综合题 类型5 二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的问题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型五 二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的问题 （专题训练） 1．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ， 和 ，连接 ，点 为抛物线上一 动点，过点 作 轴交直线 于点 ，交 轴于点 ． (1)直接写出抛物线和直线 的解析式； (2)如图2，连接 ，当 为等腰三角形时，求 的值； (3)当 点在运动过程中，在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与以 ， ， 为顶点的三角形相似（其中点 与点 相对应），若存在，直接写出点 和点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1)抛物线： ；直线 ： ；(2) 或 或 ；(3) ， 或 ， 或 ， 【分析】（1）由题得抛物线的解析式为 ，将点 代入求 ，进而得抛 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 物线的解析式；设直线 的解析式为 ，将点 ， 的坐标代入求 ，，进而得 直线 的解析式． （2）由题得 ，分别求出 ， ， ，对等腰 中相等的边进行分 类讨论，进而列方程求解； （3）对点 在点 左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形 的相似比求解 ，进而可得 ， 的坐标． 【详解】（1）解： 抛物线过点 ， ， 抛物线的表达式为 ， 将点 代入上式，得 ， ． 抛物线的表达式为 ，即 ． 设直线 的表达式为 ， 将点 ， 代入上式， 得 ， 解得 ． 直线 的表达式为 ． （2）解： 点 在直线 上，且 ， 点 的坐标为 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， ． 当 为等腰三角形时， ①若 ，则 ， 即 ， 解得 ． ②若 ，则 ， 即 ， 解得 或 （舍去）． ③若 ，则 ， 即 ， 解得 （舍去）或 ． 综上， 或 或 ． （3）解： 点 与点 相对应， 或 ． ①若点 在点 左侧， 则 ， ， ． 当 ，即 时， 直线 的表达式为 ， ，解得 或 （舍去）． ，即 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，即 ， 解得 ． ， ． 当 ，即 时， ， ， ，即 ， 解得 （舍去）或 （舍去）． ②若点 在点 右侧， 则 ， ． 当 ，即 时， 直线 的表达式为 ， ，解得 或 （舍去）， ， ，即 ， 解得 ． ， ． 当 ，即 时， ， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，即 ， 解得 或 （舍去）． ， ． 综上， ， 或 ， 或 ， ． 【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性 质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相 关知识是解题的关键． 2．（2023·湖南·统考中考真题）已知二次函数 ． (1)若 ，且该二次函数的图像过点 ，求 的值； (2)如图所示，在平面直角坐标系 中，该二次函数的图像与 轴交于点 ，且 ，点D 在 上且在第二象限内，点 在 轴正半轴上， 连接 ，且线段 交 轴正半轴于点 ， ． ①求证： ． ②当点 在线段 上，且 ． 的半径长为线段 的长度的 倍，若 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，求 的值． 【答】(1) ；(2)①见解析；② 【分析】（1）依题意得出二次函数解析式为 ，该二次函数的图像过点 ， 代入即可求解； （2）①证明 ，根据相似三角形的性质即可求解； ②根据题意可得 ， ，由①可得 ，进而得出 ，由已 知可得 ，根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，将 代入，解关于 的方程，进而得出 ，可得对称轴 为直线 ，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴二次函数解析式为 ， ∵该二次函数的图像过点 ， ∴ 解得： ； （2）①∵ ， ， ∴ ∴ ∴ ∵ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ； ②∵该二次函数的图像与 轴交于点 ，且 ， ∴ ， ， ∵ ． ∴ ， ∵ 的半径长为线段 的长度的 倍 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ①， ∵该二次函数的图像与 轴交于点 ， ∴ 是方程 的两个根， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 即 ②， ①代入②，即 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 即 ， 整理得 ， ∴ ，解得： （正值舍去） ∴ ， ∴抛物线的对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关 系，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，已知 ．点E 位于第二象限且在直 线 上， ， ，连接 ． (1)直接判断 的形状： 是_________三角形； (2)求证： ； (3)直线E 交x 轴于点 ．将经过B，两点的抛物线 向左平移2 个 单位，得到抛物线 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ①若直线 与抛物线 有唯一交点，求t 的值； ②若抛物线 的顶点P 在直线 上，求t 的值； ③将抛物线 再向下平移， 个单位，得到抛物线 ．若点D 在抛物线 上，求点 D 的坐标． 【答】(1)等腰直角三角形；(2)详见解析；(3)① ；② ；③ 【分析】（1）由 得到 ，又由 ，即可得到结论； （2）由 ， 得到 ，又有 ， ，利用 即可证明 ； （3）①求出直线 的解析式和抛物线 的解析式，联立得 ，由 即可得到t 的值； ②抛物线 向左平移2 个单位得到抛物线 ，则抛物线 的顶点 ，将顶点 代入 得到 ，解得 ,根据 即可得到t 的值； ③过点E 作 轴，垂足为M，过点D 作 轴，垂足为，先证明 ，则 ，设 ,由 得到 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ,则 ,求得 ,得到 ，由抛物线 再向下平 移 个单位，得到抛物线 ,把 代入抛物线 ,得到 ,解得 ,由 ，得 ,即可 得到点D 的坐标． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， 故答为：等腰直角三角形 （2）如图， ∵ ， ， ， ， ∵ ， ； （3）①设直线 的解析式为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ∴ ， ， 将 代入抛物线 得， ， 解得 ， ， 直线 与抛物线 有唯一交点 ∴联立解析式组成方程组解得 ②∵抛物线 向左平移2 个单位得到 ， ∴抛物线 ， 抛物线 的顶点 ， 将顶点 代入 ， ，解得 , 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ； ③过点E 作 轴，垂足为M，过点D 作 轴，垂足为, ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 的解析式为 ， ∴设 , ∴ ， 轴, ∴ , ∴ ， , , , ∴ ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm , 抛物线 再向下平移 个单位，得到抛物线 ， ∴抛物线 , 代入抛物线 , , 解得 , 由 ，得 , ∴ ， ． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的 交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似 三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题 的关键． 4 如图，已知抛物线 交 轴于 、 两点，将该抛物线位于 轴下方的部分沿 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象 ”，图象 交 轴于点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)写出图象 位于线段 上方部分对应的函数关系式； (2)若直线 与图象 有三个交点，请结合图象，直接写出 的值； (3) 为 轴正半轴上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ，交图象 于点 ， 是否存在这样的点 ，使 与 相似？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2) 或 (3)存在， 或 或 【分析】（1）先求出点、B、坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可； （2）联立方程组，由判别式△=0 求得b 值，结合图象即可求解； （3）根据相似三角形的性质分∠M=90°和∠M=90°讨论求解即可． (1) 解：由翻折可知： 令 ，解得： ， ， ∴ ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设图象 的解析式为 ，代入 ，解得 ， ∴对应函数关系式为 = ． (2) 解：联立方程组 ， 整理，得： ， 由△=4-4（b-2）=0 得：b=3，此时方程有两个相等的实数根， 由图象可知，当b=2 或b=3 时，直线 与图象 有三个交点； (3) 解：存在．如图1，当 时， ，此时，与关于直线x= 对称， ∴点的横坐标为1，∴ ； 如图2，当 时， ，此时， 点纵坐标为2， 由 ，解得 ， （舍）， ∴的横坐标为 ， 所以 ； 如图3，当 时， ，此时，直线 的解析式为 ， 联立方程组： ，解得 ， （舍）， ∴的横坐标为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 所以 ， 因此，综上所述： 点坐标为 或 或 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次 函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现 数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度． 5 已知抛物线 与x 轴交于点、B（其中在点B 的左侧），与y 轴交于点． （1）求点B、的坐标； （2）设点 与点关于该抛物线的对称轴对称在y 轴上是否存在点P，使 与 相似且 与 是对应边？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】（1） ， ；（2）存在， 或 ． 【分析】 (1)令y=0,求 的根即可；令x=0,求得y 值即可确定点的坐标； （2）确定抛物线的对称轴为x=1,确定 的坐标为（2，8），计算 =2，利用直角相等， 两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，分类求解即可 【详解】 解：（1）令 ，则 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴ ． 令 ，则 ． ∴ ． （2）存在．由已知得，该抛物线的对称轴为直线 ． ∵点 与点 关于直线 对称， ∴ ， ． ∴ ． ∵点P 在y 轴上， ∴ ∴当 时， ． 设 ， ）当 时，则 ， ∴ ． ∴ ）当 时，则 ， ∴ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． ）当 时，则 ，与 矛盾． ∴点P 不存在 ∴ 或 ． 【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对称轴的意义，三角形相似的判定和性质， 熟练掌握二次函数的性质，灵活运用三角形的相似和进行一元二次方程根的求解是解题的 关键． 6 已知抛物线 与x 轴相交于 ， 两点，与y 轴交于点，点 是x 轴上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若 ，过点作x 轴的垂线交抛物线于点P，交直线 于点G．过点P 作 于点D，当为何值时， ； （3）如图2，将直线 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段 的中点，然后将它向 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 上平移 个单位长度，得到直线 ． ① ______； ②当点关于直线 的对称点 落在抛物线上时，求点的坐标． 【答】（1） ；（2） ；（3）① ；② 或 ． 【分析】 （1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先根据抛物线的解析式可得点 的坐标，再利用待定系数法可得直线 的解析 式，从而可得点 的坐标，然后分别求出 的长，最后根据全等三角形的性质可得 ，由此建立方程求解即可得； （3）①先利用待定系数法求出直线 的解析式，再根据平移的性质可得直线 的解析 式，从而可得点 的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得； ②先求出直线 的解析式，再与直线 的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得 点 的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得． 【详解】 解：（1）将点 ， 代入 得： ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得 ， 则抛物线的解析式为 ； （2）由题意得：点 的坐标为 ， 对于二次函数 ， 当 时， ，即 ， 设直线 的解析式为 ， 将点 ， 代入得： ，解得 ， 则直线 的解析式为 ， ， ， ， ， ，即 ， 解得 或 （与 不符，舍去）， 故当 时， ； （3）①如图，设线段 的中点为点 ，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 则点 的坐标为 ，点 的横坐标为3， 设直线 的解析式为 ， 将点 ， 代入得： ，解得 ， 则直线 的解析式为 ， 由平移的性质得：直线 的解析式为 ， 当 时， ，即 ， ， ， 故答为： ； ②由题意得： ， 则设直线 的解析式为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 将点 代入得： ，解得 ， 则直线 的解析式为 ， 联立 ，解得 ， 即直线 与直线 的交点坐标为 ， 设点 的坐标为 ， 则 ，解得 ，即 ， 将点 代入 得： ， 整理得： ， 解得 或 ， 则点 的坐标为 或 ． 【点睛】 本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等三角形的性质、正切三角函数等知识点，熟 练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． 7 如图，已知二次函数的图象与x 轴交于和B（－3，0）两点，与y 轴交于（0，－3）， 对称轴为直线 ，直线y＝－2x＋m 经过点，且与y 轴交于点D，与抛物线交于点 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm E，与对称轴交于点F． （1）求抛物线的解析式和m 的值； （2）在y 轴上是否存在点P，使得以D、E、P 为顶点的三角形与△D 相似，若存在，求 出点P 的坐标；若不存在，试说明理由； （3）直线y＝1 上有M、两点（M 在的左侧），且M＝2，若将线段M 在直线y＝1 上 平移，当它移动到某一位置时，四边形MEF 的周长会达到最小，请求出周长的最小值 （结果保留根号）． 【答】（1） ；m=2；（2）存在， 或 ；（3） 【分析】 （1）根据抛物线的对称性求出（1，0），再利用待定系数法，即可求解；再把点坐标代入 直线的解析式，即可求出m 的值； （2）先求出E（-5，12），过点E 作EP y ⊥轴于点P，从而得 ，即可得到 P 的坐标，过点E 作 ，交y 轴于点 ，可得 ，再利用 t D=t PE ∠ ∠ ，即可求解； （3）作直线y=1，将点F 向左平移2 个单位得到 ，作点E 关于y=1 的对称点 ，连接 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 与直线y=1 交于点M，过点F 作F∥ ，交直线y=1 于点，在 中和 中分别求出EF， ，进而即可求解． 【详解】 （1）解：∵二次函数的图象与x 轴交于和B（－3，0）两点，对称轴为直线 ， ∴（1，0）， 设二次函数解析式为：y=(x-1)(x+3)，把（0，－3）代入得：-3=(0-1)(0+3)，解得：=1， ∴二次函数解析式为：y= (x-1)(x+3)，即： ， ∵直线y＝－2x＋m 经过点， 0=-2×1+m ∴ ，解得：m=2； （2）由（1）得：直线F 的解析式为：y=-2x+2， 又∵直线y=-2x+2 与y 轴交于点D，与抛物线交于点E， ∴当x=0 时，y=2，即D（0，2）， 联立 ，解得： ， ， ∵点E 在第二象限， E ∴（-5，12）， 过点E 作EP y ⊥轴于点P， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm D= EDP ∵∠ ∠ ，∠D= DPE=90° ∠ ， ∴ ， P ∴（0，12）； 过点E 作 ，交y 轴于点 ，可得 ， ED ∵∠ + PED= PE ∠ ∠ + PED=90° ∠ ， D= ED ∴∠ ∠ = PE ∠ ，即：t D=t PE ∠ ∠ ， ∴ ，即： ，解得： ， ∴ （0，145）， 综上所述：点P 的坐标为（0，12）或（0，145）； （3）∵点E、F 均为定点， ∴线段EF 长为定值， M=2 ∵ ， ∴当EM+F 为最小值时，四边形MEF 的周长最小， 作直线y=1，将点F 向左平移2 个单位得到 ，作点E 关于y=1 的对称点 ，连接 与直线y=1 交于点M，过点F 作F∥ ，交直线y=1 于点， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 由作图可知： ， 又∵ 三点共线， EM+F= ∴ ，此时，EM+F 的值最小， ∵点F 为直线y=-2x+2 与直线x=-1 的交点， F ∴（-1，4）， ∴ （-3，4）， 又∵E（-5，12）， ∴ （-5，-10）， 延长F 交线段E 于点， F ∵ 与直线y=1 平行， F E ∴⊥ ， ∵在 中，由勾股定理得：EF= ， 在 中，由勾股定理得： = ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴四边形MEF 的周长最小值=ME+F+EF+M= ． 【点睛】 本题主要考查二