题型4 多边形证明 类型2 特殊四边形证明（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型二特殊四边形证明（专题训练） 1．（2023·四川自贡·统考中考真题）在平行四边形 中，点E、F 分别在边 和 上，且 ． 求证： ． 【答】见解析 【分析】平行四边形的性质得到 ，进而推出 ，得到四边形 是平行四边形，即可得到 ． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ∴ 四边形 是平行四边形， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的 关键． 2．（2023·山东·统考中考真题）如图，在 中， 平分 ，交 于点E； 平分 ，交 于点F．求证： ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】证明见解析 【分析】由平行四边形的性质得 ， ， ，由平行线的性质和角 平分线的性质得出 ，可证 ，即可得出 ． 【详解】证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ， ， ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ∴ ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及全等三角形的判定与性质，根 据题目已知条件熟练运用平行四边形的性质，平行线的性质是解答本题的关键． 3 如图，点E，F 分别在菱形BD 的边B，D 上，且BE＝DF．求证：∠BE＝∠DF． 【分析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，B＝D，再证明△BE △DF ≌ ，即可得∠BE＝ ∠DF． 【解答】证明：四边形BD 是菱形， ∠B ∴ ＝∠D，B＝D， 在△BE 和△DF 中， { AB=AD ∠B=∠D BE=DF ， △BE △DF ∴ ≌ （SS）， ∠BE ∴ ＝∠DF． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 4．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，在 中，点 ， 在对角线 上， ．求证： (1) ； (2) ． 【答】见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件 求证 ，最后证明 即可求出答． （2）根据三角形全等证明角度相等，再利用邻补角定义推出 即可证明两直 线平行． 【详解】（1）证明： 四边形 为平行四边形， ， ， ， ． ， ， ． ． ． （2）证明：由（1）得 ， ． ， ， ． ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，邻补角定义，三角形全等，平行线的判定，解题 的关键在于熟练掌握平行四边形的性质． 5．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在 中，点D、E 分别为 的中点， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 点在线段 上，连接 ，点G、F 分别为 的中点． (1)求证：四边形 为平行四边形 (2) ，求线段 的长度． 【答】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线定理得到 ， ，得 到 ，即可证明四边形 为平行四边形； （2）由四边形 为平行四边形得到 ，由 得到 ，由 勾股定理即可得到线段 的长度． 【详解】（1）解：∵点D、E 分别为 的中点， ∴ ， ∵点G、F 分别为 、 的中点． ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形； （2）∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∵ ∴ ， ∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． 【点睛】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边 形 为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键． 6 如图，在菱形BD 中，将对角线分别向两端延长到点E 和F，使得E＝F．连接DE， DF，BE，BF． 求证：四边形BEDF 是菱形． 【分析】四边形BD 是菱形，可得B＝B＝D＝D，∠D＝∠B，∠D＝∠B，可以证明 △DF △BF ≌ ，△DE △BF ≌ ，△DF △BE ≌ ，进而证明平行四边形BEDF 是菱形． 【解答】证明：∵四边形BD 是菱形， B ∴＝D，∠D＝∠B， ∠DF ∴ ＝∠BF， F ∵＝F， △DF △BF ∴ ≌ （SS）， DF ∴ ＝BF， D∥B ∵ ， ∠DE ∴ ＝∠BF， E ∵＝F，D＝B， △DE △BF ∴ ≌ （SS）， DE ∴ ＝BF， 同理可证：△DF △BE ≌ （SS）， DF ∴ ＝BE， ∴四边形BEDF 是平行四边形， DF ∵ ＝BF， ∴平行四边形BEDF 是菱形． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 7．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在四边形 中， 与 交于点 ， ，垂足分别为点 ，且 ．求证：四边 形 是平行四边形． 【答】见详解 【分析】先证明 ，再证明 ，再由平行四边形的判定 即可得出结论． 【详解】证明： ， ， ， 又 ， ， ， ∵ ， ， 四边形 是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行 四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 8．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求证：四边形 是菱形； (2)若 ，求四边形 的面积． 【答】(1)见解析；(2)3 【分析】（1）先根据矩形的性质求得 ，然后根据有一组邻边相等的平行四边形 是菱形分析推理； （2）根据矩形的性质求得 的面积，然后结合菱形的性质求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴四边形 是平行四边形， 又∵矩形 中， ， ∴平行四边形 是菱形； （2）解：矩形 的面积为 ， ∴ 的面积为 ， ∴菱形 的面积为 ． 【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的 判定方法，正确推理论证是解题关键． 9．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知四边形 是平行四边形，其对角线相 交于点， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1) 是直角三角形吗？请说明理由； (2)求证：四边形 是菱形． 【答】(1) 是直角三角形，理由见解析．(2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得 ，再根据勾股定理的逆 定理，即可得出结论； （2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求证． 【详解】（1）解： 是直角三角形，理由如下： ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ 是直角三角形． （2）证明：由（1）可得： 是直角三角形， ∴ ， 即 ， ∵四边形 是平行四边形， ∴四边形 是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解题的关 键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 9．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，平行四边形 的对角线 相交于点 ，点 在对角线 上，且 ，连接 ， ． (1)求证：四边形 是平行四边形． (2)若 的面积等于2，求 的面积． 【答】(1)见解析 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)1 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得 ， ，结合 可得 ，即可证明四边形 是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得 ，再根据平行四边形的性质可 得 ． 【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， 又 ， 四边形 是平行四边形． （2）解： ， ， ， 四边形 是平行四边形， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相 平分． 10．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，矩形 中，过对角线 的中点 作 的垂线 ，分别交 ， 于点 ， ． (1)证明： ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)连接 、 ，证明：四边形 是菱形． 【答】(1)见解析；(2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质得出 ，则 ，根据 是 的中点， 可得 ，即可证明 ； （2）根据 可得 ，进而可得四边形 是平行四边形，根据对 角线互相垂直的四边形是菱形，即可得证． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的中点， ∴ ， 在 与 中 ， ∴ ； （2）∵ ∴ ， 又∵ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴四边形 是平行四边形， ∵ ∴四边形 是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊 四边形的性质与判定是解题的关键． 11 如图，在矩形BD 中，点E、F 分别是边B、D 的中点．求证：DE=BF． 【答】证明见试题解析． 【分析】 由矩形的性质和已知得到DF=BE，B∥D，故四边形DEBF 是平行四边形，即可得到答． 【详解】 ∵四边形BD 是矩形， B∥D ∴ ，B=D， 又E、F 分别是边B、D 的中点， DF=BE ∴ ， 又B∥D， ∴四边形DEBF 是平行四边形， DE=BF ∴ ． 考点：1．矩形的性质；2．全等三角形的判定． 12．（2023·新疆·统考中考真题）如图， 和 相交于点 ， ， ．点 、 分别是 、 的中点． (1)求证： ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)当 时，求证：四边形 是矩形． 【答】(1)见解析；(2)见解析 【分析】（1）直接证明 ，得出 ，根据 、 分别是 、 的中点，即可得证； （2）证明四边形 是平行四边形，进而根据 ，推导出 是等边三角形， 进而可得 ，即可证明四边形 是矩形． 【详解】（1）证明：在 与 中， ∴ ， ∴ ， 又∵ 、 分别是 、 的中点， ∴ ； （2）∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ， ∵ 为 的中点， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟 练掌握以上知识是解题的关键． 13 已知：如图，在▱BD 中，点是D 的中点，连接并延长，交B 的延长线于点E，求证： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm D＝E． 【分析】只要证明△D △E ≌ （S）即可解决问题； 【解答】证明：∵是D 的中点， D ∴ ＝， ∵四边形BD 是平行四边形， D∥B ∴ ， ∠D ∴ ＝∠E， 在△D 和△E 中， { ∠D=∠OCE OD=OC ∠AOD=∠EOC ， △D △E ∴ ≌ （S）， D ∴ ＝E． 14 如图，在▱BD 中，点E 在B 的延长线上，点F 在D 的延长线上，满足BE＝DF．连 接EF，分别与B，D 交于点G，． 求证：EG＝F． 【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：∵四边形BD 是平行四边形， B∥D ∴ ，∠B＝∠FD， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在△BEG 与△DF 中，{ ∠E=∠F BE=DF ∠EBG=∠FDH ， △BEG △DF ∴ ≌ （S）， EG ∴ ＝F． 15．（2023·云南·统考中考真题）如图，平行四边形 中， 分别是 的平分线，且 分别在边 上， ． (1)求证：四边形 是菱形； (2)若 ， 的面积等于 ，求平行线 与 间的距离． 【答】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）先证 ，再证 ，从而四边形 是平行四边形，又 ，于是四边形 是菱形； （2）连接 ，先求得 ，再证 ， ，于是有 ，得 ，再证 ，从而根据面积公式即可求得 ． 【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 分别是 的平分线， ∴ ， ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴四边形 是菱形； （2）解：连接 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 的面积等于 ， ∴ ， ∴平行线 与 间的距离 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的判定及性质，菱 形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离等 知识是解题的关键． 16 如图，▱BD 的对角线、BD 相交于点，过点作EF⊥，分别交B、D 于点E、F，连接 F、E． （1）若E¿ 3 2，求EF 的长； （2）判断四边形EF 的形状，并说明理由． 【分析】 （1）判定△E △F ≌ （S），即可得E＝F¿ 3 2，进而得出EF 的长； （2）先判定四边形EF 是平行四边形，再根据EF⊥，即可得到四边形EF 是菱形． 【解析】 （1）∵四边形BD 是平行四边形， B∥D ∴ ，＝， ∠F ∴ ＝∠E， 又∵∠E＝∠F， △E △F ∴ ≌ （S）， E ∴＝F¿ 3 2， EF ∴ ＝2E＝3； （2）四边形EF 是菱形， 理由：∵△E △F ≌ ， E ∴＝F， 又∵E∥F， ∴四边形EF 是平行四边形， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 又∵EF⊥， ∴四边形EF 是菱形． 17．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在菱形 中， 于点 ， 于点 ，连接 (1)求证： ； (2)若 ，求 的度数． 【答】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明 ． （2）根据菱形的性质和已知条件可推出 度数，再根据第一问的三角形全等和直角 三角形的性质可求出 和 度数，从而求出 度数，证明了等边三角形 ，即可求出 的度数． 【详解】（1）证明： 菱形 ， ， 又 ， ． 在 和 中， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． ． （2）解： 菱形 ， ， ， ． 又 ， ． 由（1）知 ， ． ． ， 等边三角形． ． 【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练 掌握全等的方法和菱形的性质． 18 已知：如图，在▱BD 中，点E、F 分别在D、B 上，且BE 平分∠B，EF∥B．求证： 四边形BFE 是菱形． 【答】见解析 【分析】 先证四边形BFE 是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证B＝E，依据有一组 邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【解析】 证明：∵四边形BD 是平行四边形， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm D∥B ∴ ， 又∵EF∥B， ∴四边形BFE 是平行四边形， BE ∵ 平分∠B， ∠BE ∴ ＝∠FBE， D∥B ∵ ， ∠EB ∴ ＝∠EBF， ∠BE ∴ ＝∠EB， B ∴＝E， ∴平行四边形BFE 是菱形． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，解题关键是熟练运用相 关知识进行推理证明，特别注意角平分线加平行，可证等腰三角形． 19．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，已知点，D，，B 在同一条直线上，且 ， ， ． (1)求证： ； (2)若 时，求证：四边形 是菱形． 【答】(1)见解析；(2)见解析 【分析】（1）根据题意得出 ，再由全等三角形的判定和性质及平行线的判定证 明即可； （2）方法一：利用全等三角形的判定和性质得出 ，又 ，再由菱形的判 定证明即可；方法二：利用（1）中结论得出 ，结合菱形的判定证明即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， 即 在 和 中， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ∴ ∴ ， ∴ （2）方法一：在 和 中， ， ∴ ∴ ，又 ， ∴四边形 是平行四边形 ∵ ， ∴ 是菱形； 方法二：∵ ， ∴ ∴ ， 又 ， ∴四边形 是平行四边形 ∵ ， ∴ 是菱形． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌 握运用这些知识点是解题关键． 20 如图，四边形 是菱形，点 、 分别在边 、 的延长线上，且 ．连接 、 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 求证： ． 【答】见解析 【分析】 根据菱形的性质得到B=D，∠D=∠B，根据SS 证明△BE △DF ≌ ，可得E=F． 【详解】 解：∵四边形BD 是菱形， B=D ∴ ，∠D=∠B， ∠DF=∠BE ∴ ， 在△BE 和△DF 中， ， △BE △DF ∴ ≌ （SS）， E=F ∴ ． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等 的条件． 21．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在 中，D 是 的中点，E 是 的中 点，过点作 交 的延长线于点F． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求证： ； (2)连接 ，若 ，求证：四边形 是矩形． 【答】(1)见解析；(2)见解析； 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出 ，然后利用“角角边”证 明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形 是平行四边形， 再根