专题24.2 圆心角、弧、弦的关系【九大题型】（原卷版）

专题242 圆心角、弧、弦的关系【九大题型】 【人版】 【题型1 圆心角、弧、弦的概念】.........................................................................................................................1 【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】.....................................................................................................2 【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】..............................................................................................3 【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】.....................................................................................................4 【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】.....................................................................................................5 【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】..............................................................................................6 【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】..................................................................................................7 【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】............................................................................................................. 8 【题型9 圆心角、弧、弦中的的倍数关系】.........................................................................................................9 【知识点1 弧、弦、角、距的概念】 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的 “弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等 三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆 心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 【题型1 圆心角、弧、弦的概念】 【例1】（2022 秋•余姚市期中）下列语句中，正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②等弦对等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式1-1】（2022 秋•长沙县期末）如图，四边形BD 内接于⊙，∠B＝∠D，则下列正确 的是（ ） 1 ．B＝D B．B＝D ．^ AB=^ AD D．∠B＝∠D 【变式1-2】（2022 秋•凯里市校级期中）如图，在⊙中，^ AB=^ CD，则下列结论中：①B ＝D；②＝BD；③∠＝∠BD；④^ AC=^ BD，正确的是 （填序号）． 【变式1-3】（2022 秋•武汉期末）如图，⊙中，弦B⊥D，垂足为E，F 为^ CBD的中点， 连接F、BF、，F 交D 于M，过F 作F⊥，垂足为G，以下结论：①^ CF=^ DF；②＝ BF：③MF＝F：④^ DF+^ AH=^ BF+^ AF，其中成立的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 【例2】（2022•资中县一模）如图，B，D 是⊙的直径，^ AE=^ BD，若∠E＝32°，则∠E 的 度数是（ ） ．32° B．60° ．68° D．64° 【变式2-1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙中，^ AB=^ CD，∠1＝45°，则∠2＝（ ） 1 ．60° B．30° ．45° D．40° 【变式2-2】（2022 秋•天河区期末）如图，在⊙中，＝BD，若∠＝120°，则∠BD＝ ． 【变式2-3】（2022 秋•亭湖区期末）如图，B 是⊙的直径，^ BC=^ CD=^ DE，∠D＝34°， 则∠E 的度数是 ． 【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】 【例3】（2022 春•永嘉县校级期末）如图，半径为R 的⊙的弦＝BD．且⊥BD 于E，连接 B，D，若D＝2❑ √2，则半径R 的长为（ ） ．1 B．❑ √2 ．2 D．2❑ √2 【变式3-1】（2022•桂平市二模）如图，在Rt△B 中∠B＝60°，以直角边B 为直径的⊙交线 段于点E，点M 是弧E 的中点，M 交于点D，⊙的半径是6，则MD 的长度为（ ） 1 ． ❑ √3 2 B．3 2 ．3 D．2❑ √3 【变式3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，B 是⊙的直径，点D 是弧的中点，过点D 作 DE⊥B 于点E，延长DE 交⊙于点F，若E＝2，⊙的直径为10，则长为（ ） ．5 B．6 ．7 D．8 【变式3-3】（2022 秋•曾都区期中）如图，在⊙中，¿ 1 2B，直径B＝2❑ √5，^ BD=^ CD，则 D＝ ． 【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】 【例4】（2022 秋•龙口市期末）如图，已知⊙的半径等于1m，B 是直径，，D 是⊙上的两 点，且^ AD=^ DC=^ CB，则四边形BD 的周长等于（ ） ．4m B．5m ．6m D．7m 【变式4-1】（2022 秋•海口期末）如图，、B 是半径为3 的⊙上的两点，若∠B＝120°，是 ^ AB的中点，则四边形B 的周长等于 ． 【变式4-2】（2022 秋•西林县期末）如图，在⊙中，∠B＝60°，弦B＝3m，那么△B 的周长 为 ． 1 【变式4-3】（2022•江北区校级开学）如图，⊙的弦＝BD，且⊥BD 于E，连接D，若D＝ 3❑ √6，则⊙的周长为 ． 【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】 【例5】（2022•海丰县模拟）如图，，B 是⊙上的点，∠B＝120°，是^ AB的中点，若⊙的 半径为5，则四边形B 的面积为（ ） ．25 B．25❑ √3 ．25 ❑ √3 4 D．25 ❑ √3 2 【变式5-1】（2022•嘉兴二模）如图所示，在10×10 的正方形格中有一半径为5 的圆，一 条折线将它分成甲、乙两部分．S 甲表示甲的面积，则S 甲＝ ． 【变式5-2】（2022 秋•朝阳区校级期末）如图，在⊙中，^ AC=^ CB，D⊥于点D，E⊥B 于 点E． （1）求证：D＝E； 1 （2）若∠B＝120°，＝2，求四边形DE 的面积． 【变式5-3】（2022•浙江自主招生）如图，在半径为1 的⊙上任取一点，连续以1 为半径 在⊙上截取B＝B＝D，分别以、D 为圆心到的距离为半径画弧，两弧交于E，以为圆心 到E 的距离为半径画弧，交⊙于F．则△F 面积是（ ） ．❑ √2 B．❑ √3 ． ❑ √3+2❑ √2 4 D． ❑ √3+3 4 【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】 【例6】（2022•下城区校级四模）如图，等腰△B 的顶角∠B 为50°，以腰B 为直径作半圆， 交B 于点D，交于点E，则^ DE的度数为（ ） ．50° B．25° ．80° D．65° 【变式6-1】（2022 秋•亭湖区校级月考）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，∠＝28°，以点为圆 心，B 为半径的圆分别交B、于点D、点E，则弧BD 的度数为（ ） ．28° B．64° ．56° D．124° 【变式6-2】（2022•新昌县模拟）如图在给定的圆上依次取点，B，，D，连接B，D，＝ BD，设，BD 相交于点E，弧D＝100°，B＝ED，则弧B 的度数为 ． 1 【变式6-3】（2022•浙江）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线 表示折痕，则^ BC的度数是（ ） ．120° B．135° ．150° D．165° 【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】 【例7】（2022 秋•顺义区期末）如图，在⊙中，如果^ AB=¿2^ AC，则下列关于弦B 与弦 之间关系正确的是（ ） ．B＝ B．B＝2 ．B＞2 D．B＜2 【变式7-1】（2022 秋•西林县期末）如图，B 是⊙的直径，D 的是⊙中非直径的任意一条 弦，试比较B 与D 的大小，并说明理由． 【变式7-2】（2022 秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧B、弧D、弧 EF，如果^ AB+^ CD=^ EF，那么B+D 与EF 的大小关系是（ ） ．B+D＝EF B．B+D＜EF ．B+D＞EF D．大小关系不确定 【变式7-3】（2022 天河区一模）如图，B 为半圆的直径，点、D 在半圆上． 1 （1）若^ BC=3^ AD，^ CD=2^ AD，求∠DB 和∠B 的大小； （2）若点、D 在半圆上运动，并保持弧D 的长度不变，（点、D 不与点、B 重合）． 试比较∠DB 和∠B 的大小． 【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】 【例8】（2022 秋•自贡期末）如图，B 为⊙的直径，^ BE=^ CE，D⊥B 于点D，交BE 于 F，连接B． 求证：B＝F． 【变式8-1】（2022 秋•西林县期末）如图，B、D 是⊙的直径，弦E∥B．求证：^ BD=^ BE． （用两种不同的方法证明） 【变式8-2】（2022 秋•福清市期末）如图，已知，D 是以B 为直径的⊙上的两点，连接 B，，D，若D∥B，求证：D 为^ AC的中点． 【变式8-3】（2022•眉山模拟）如图所示，⊙中，弦B 与D 相交于点E，B＝D，连接D， B，求证： （1）^ AD=^ BC； （2）E＝E． 1 【题型9 圆心角、弧、弦的的倍数关系】 【例9】（2022•原州区期末）在⊙中，B 是直径，⊥B，D 是的中点，DE∥B，则^ CE与^ BE 之间的等量关系是什么？请证明你的结论． 【变式9-1】（2022•铁岭模拟）如图，B 是半圆的直径，点在半圆上，把半圆沿弦折叠， ^ AC恰好经过点，则^ BC与^ AC的关系是（ ） ．^ BC=1 2^ AC B．^ BC=1 3 ^ AC ．^ BC=^ AC D．不能确定 【变式9-2】（2022•陵城区模拟）圆的一条弦把圆分为度数比为1：3 的两条弧，则弦心距 与弦长的比为（ ） ．1：3 B．2：3 ．1：4 D．1：2 【变式9-3】（2022•长安区二模）如图，B 为⊙的直径，点为⊙上一点，且^ AC=¿3^ BC， 则弦与弦B 的关系是（ ） ．＝3B B．¿ ❑ √3B ．＝（❑ √2+¿1）B D．❑ √3＝B 1