专题23 解直角三角形模型之新定义模型（原卷版）

专题23 解直角三角形模型之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试 题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数 学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对 学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时学挖掘这方 面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 【知识储备】 模型1、新定义模型 此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可 利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△B 的3 个角∠、∠B、∠，分别对应边、b、； 1）正弦定理：如图1， a sin A = b sin B = c sinC =2 R （其中R 是三角形外接圆的半径）。 图1 图2 2）余弦定理：如图2， ． 3）正弦面积公式：如图2， SΔ=1 2 absinC=1 2 bcsin A=1 2 acsin B 4）同角三角函数的基本关系式: ， 。 5）和（差）、二倍角角公式： ; ; 例1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、，求证： ． 证明：如图1，过点 作 于点 ，则： 在 中， D=sB； 在 中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、，求证： ；(2)为了办好湖 南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知 ， ， 米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据： ， 例2．（2022·湖南湘西·统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系 的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是 这样描述的：在△B 中，∠、∠B、∠所对的边分别为、b、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平 方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2 倍． 用公式可描述为：2＝b2＋2 2 ﹣bs；b2＝2＋2 2s ﹣ B；2＝2＋b2 2 ﹣bs 现已知在△B 中，B＝3，＝4，∠＝60°，则B＝_____． 例3．（2022·山东青岛·校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究． 探究一：如图1，在 中， ， ， ， ，求 的面积． 在 中， ， ． ． 探究二：如图2， 中， ， ， ，求 的面积（用含 、 、 代数式 表示），写出探究过程． 探究三：如图3， 中， ， ， ，求 的面积（用 、 、 表示）写出探 究过程． 问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）． 问题应用：如图4，已知平行四边形 中， ， ， ，求平行四边形 的面积 （用 、 、 表示）写出解题过程． 问题拓广：如图5 所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用 、 、、 、 、 表 示），其中 ， ， ， ， ， ． 例4．（2023 春·四川泸州·八年级校考期中）平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问 题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具 体如下：设一个三角形的三边长分别为、b、， ，则有下列面积公式： （海伦公式）； （秦九韶公式）． (1)一个三角形边长依次是5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积； (2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在 中， ， ， ，求 的面积和 边上得高 的长． 例5．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：s（α+β）＝sαsβ+sαsβ，s（α β ﹣）＝ sαsβ sαsβ ﹣ ；s（α+β）＝sαsβ sαsβ ﹣ ，s（α β ﹣）＝sαsβ+sαsβ；t（α+β）＝ （1 tαtβ≠0 ﹣ ）， 合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如s90°＝s（30°+60°）＝ s30°s60°+s30°s60°＝ ＝1，利用上述公式计算下列三角函数①s105°＝ ，②t105°＝﹣ 2﹣ ，③s15°＝ ，④s90°＝0，其中正确的个数有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 例6．（2023 年四川省广元市中考真题数学试题）“一缕清风银叶转”，某市20 台风机依次矗立在云遮雾 绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶 的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为 ，当其中一片风叶 与塔干 叠合时， 在与塔底D 水平距离为60 米的E 处，测得塔顶部的仰角 ，风叶 的视角 ． (1)已知α，β 两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算 ； (2)求风叶 的长度． 例7．（2023·四川宜宾·校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条 边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边 角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ ）．如果 中， ，那么顶角的正对记作 ，这时 = ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值 也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果 的正弦函数值为 ，那么 的值为 ． 例8．（2022 春·浙江·九年级专题练习）阅读下列材料： 在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在 中， ，求 （用含 的式子表示）． 聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，则 ，然后利用锐角三角函数在 中表示出 ，在 中表示出 ，则可以求出 ． 阅读以上内容，回答下列问题：在 中， ． （1）如图3，若 ，则 __， _____； （2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出 的表达式（用含 的式子表示）． 例9．（2022·重庆·校考一模）材料一：证明： ． 证明：如图，作∠B=∠，在射线上任意取一点D(异于点)，过点D 作DE⊥B，垂足为E． ∵DE⊥B 于点E ， ∵在Rt△DE 中，DE2+E2=D2 ∵∠B=∠ ∴ ． 材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道 直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度 数；由“SS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角 形的第三条边一定可以求出来 应用以上材料，完成下列问题：(1)如图，在△B 中，=4，B=6，∠=60°，求B 的长． (2)在（1）题图中，如果=b，B=，∠=，你能用，b 和s 表示B 的长度吗？如果可以，写出推导过程；如果不 可以，说明理由． 例10．（2023 春·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函 数，即在图1 所示的直角三角形 ， 是锐角，那么 的对边÷斜边， 的邻边÷斜 边， 的对边÷ 的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意 义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x 轴的正半轴 ，建立直角坐标系（图 2），在角α 的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P 和原点 的距离为 （r 总是正的），然后把角α 的三角函数规定为： ， ， ．我们知道，图1 的四 个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2 中四个比值的大小也仅与角α 的大 小有关，而与点P 在角α 的终边位置无关．比较图1 与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规 定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题： (1)若 ，则角α 的三角函数值 、 、 ，其中取正值的是 ； (2)若角α 的终边与直线 重合，则 的值； (3)若角α 是钝角，其终边上一点 ，且 ，求 的值； (4)若 ，则 的取值范围是 ． 课后专项训练 1．（2023 秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦 值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦 定理是这样描述的：在 中， 、 、 所对的边分别为、b、，则三角形中任意一边的平方等 于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2 倍．用公式可描述为： ； ； ；现已知在 中， ， ， ，则 的长为（ ） ． B． ． D． 2．（2020·四川广元市·中考真题）规定： 给出以下四个结论：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 其中正确的结论的个数为（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 3．（2023 年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中， 给出了这样的一个结论：三边分别为、b、的 的面积为 ． 的边、 b、所对的角分别是∠、∠B、∠，则 ．下列结论中正确的是（ ） ． B． ． D． 4．（2023·安徽滁州·校考二模）已知三角形的三边长分别为、b、，求其面积问题．中外数学家曾经进行 过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S= ，其中p= ；我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S= ，若 一个三角形的三边长分别为5，6，7，则其面积是（ ） ． B． ． D． 5．（2023·山东潍坊·统考二模）一般地，当α、β 为任意角时，t（α+β）与t（α-β）的值可以用下面的公式 求得：t（α±β）= ．例如：t15°=t（45°-30°）= = = = =2- ．请根据以上材料，求得t75°的值为 ． 6．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题． s230°＋s230°＝ ； s245°＋s245°＝ ； s260°＋s260°＝ ； …… 观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有s2＋s2＝ ． 7．（2023 秋·山东济南·九年级统考期末）定义一种运算： ， ．例如：当 ， 时， ，则 的值为 ． 8．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式： ， ， ， ．例： ．若已知锐角 满足条件 ，则 ． 9．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算； ， ．例如：当 ， 时， ，则 的值为 ． 10．（2023·四川成都·成都外国语学校校考一模）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题 在锐角△B 中，∠、∠B、∠的对边分别是、b、，过作D B ⊥于D（如图（1）），则 ，即D=sB， D=bs，于是sB=bs，即 ，同理有： ，所以 ． 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一 条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素． 根据上述材料，完成下列各题． （1）如图（2），△B 中，∠B=45°，∠=75°，B=60，则∠= ；= ； （2）某次巡逻中，如图（3），我渔政船在处测得钓鱼岛在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40 海 里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得钓鱼岛在的北偏西75°的方向上，求 此时渔政船距钓鱼岛的距离B． 11．（2023 春·山东济宁·九年级校考阶段练习）定义：在△B 中，若B＝，＝b，B＝，则存在余弦定理： ， ， ，即三角形一边的平方等于另两边 的平方和减去这两边与这两边夹角的余弦的积的2 倍． 例如：在图1 中， ，∴＝ 请你利用余弦定理解答下列问题：(1)应用新知：在图2 中，①若＝2，b＝3，∠＝60°，则＝______； ②若 ， ， ，求∠； (2)迁移发散：如图3，某客轮在处看港口D 在客轮的北偏东50°方向上，在处看灯塔B 在客轮的北偏西30° 方向距离 海里处，客轮由处向正北方向航行到处时，再看港口D 在客轮的南偏东80°距离6 海里处， 求此时处到灯塔B 的距离． 12．（2023·广东云浮·统考一模）如图①，在Rt△B 中，以下是小亮探究 与 之间关系的方法： s= ∵ ，sB= ，∴= ，= ，∴ = ， 根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△B 中，探究 、 、 之间的关系，并写出探究过 程． 13．（2023·山东·一模）小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△B 中， 如果∠=90°，∠=30°，B==1，=b= ，B==2，那么 ．通过上查阅资料，他又知“s90°=1”， 因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着 的关系”． 这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： （1）如图2，在Rt△B 中，∠=90°，B=，=b，B=，请判断此时“ ”的关系是否成立？ 答： ______________． （2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△B，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的 探究： 如图3，在锐角△B 中，B=，=b，B=，过点作D⊥B 于D，设D=， ∵在Rt△D 和Rt△BD 中，∠D=∠BD=90°， ∴s=______________，sB=______________． ∴ =_____________， =____________． ∴ 同理，过点作⊥B 于，可证 ∴ 请将上面的过程补充完整．（3）运用上面结论解答下列问题： ①如图4，在△B 中，如果∠=75°，∠B=60°，B=6，求的长． ②在△B 中，如果∠B=30°，B= ，=2，那么△B 内切圆的半径为______． 14．（2023·江苏扬州·九年级阶段练习）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式： ； 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值 例： 根据以上阅读材料，请选择适当的公式答下面的问题 (1)计算 ；(2)栖灵塔是扬州市标志性建筑之一（如图），小明想利用所学的数学知识来测量该塔的高 度，小华站在离塔底距离7 米的处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离 为162 米，请帮 助小华求出该信号塔的高度．（精确到01 米，参考数据： ， ） 15．（2023 秋·江苏常州·九年级统考期末）关于三角函数有如下的公式： ； ； ，利用这些公式可将某些不是特殊角的三角 函数转化为特殊角的三角函数来求值 如： 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： (1)求 的值；(2)激光测速是目前道路测速方法中最为精准的一种，它是对被测车辆进行两次有特定时 间间隔的激光测距，取得该一时段内被测车辆的移动距离，从而得到该车辆的移动速度．如图，在一条限 速为80 千米/小时的国道边上有一个激光测速仪P，该测速仪与车道中心的垂直距离 米，在某一时 刻测得某辆汽车从点到点B 的时间间隔为05 秒，而第一次的点在点P 的北偏东75°，第二次的B 点在点P 的北偏东45°，请问该汽车是否超速？为什么？（ 1732） 16．（2022·山东济宁·统考二模）在 中， ，∠，∠B，∠所对的边分别是，b，，利用锐角 三角函数定义很容易推导出一些关系式，如 ， 等，这些公式在三角函数式子 的变形中运用比较广泛．设 ， 是锐角，定义：当 时，两角和的余弦公式： ． 例：计算 的值． ， 两角差的余弦公式： ．利用类比的方法运用公式求解． (1)计算 _______．(2)计算 的值； (3)一副斜边长均为16 的三角板拼成如图所示的图形，求过、B、、D 四点的矩形BEF 的面积．