专题22 解直角三角形模型之实际应用模型（解析版）

专题22 解直角三角形模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际 问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注 意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造 直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 模型1、背靠背模型 图1 图2 图3 【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高D，构造出两个直角三角形求解，其中公共 边（高）D 是解题的关键 【重要关系】如图1，D 为公共边，D+BD=B； 如图2，E=D，D=E，E+BD=B； 如图3，D=EF，E=DF，D+E+BF=B。 例1．（2023 年四川省中考数学真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用 于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机看建筑物顶部B 的仰角为 ，看底部的俯角为 ，无人机 到该建筑物 的水平距离 为10 米，求该建筑物 的高度．（结果精确到 米；参考数据： ， ） 【答】该建筑物 的高度约为 米 【分析】由题意可知， ， ， ，根据三角形内角和定理和等角对等边的性 质，得到 米，再利用锐角三角函数，求出 米，即可得到该建筑物 的高度． 【详解】解：由题意可知， ， ， ， ， ， 米， 在 中， 米， 米，答：该建筑物B 的高度约为 米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角 函数，熟练掌握直角三角形的特征关键． 例2．（2023 湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们 在高空测量距离和高度．圆圆要测量学楼 的高度，借助无人机设计了如下测量方：如图，圆圆在离学 楼底部 米的处，遥控无人机旋停在点的正上方的点D 处，测得学楼 的顶部B 处的俯角为 ， 长为 米．已知目高 为 米． (1)求学楼 的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于 的方向，以 米/秒的速度继续向前匀速飞 行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线 ． 【答】(1)学楼 的高度为 米(2)无人机刚好离开视线 的时间为12 秒 【分析】（1）过点B 作 于点G，根据题意可得： ， 米， ，通过证明四边形 为矩形，得出 米，进而得出 米， 最后根据线段之间的和差关系可得 ，即可求解； （2）连接 并延长，交 于点，先求出 米，进而得出 ，则 ，则 米，即可求解． 【详解】（1）解：过点B 作 于点G， 根据题意可得： ， 米， ， ∵ ， ， ，∴四边形 为矩形，∴ 米， ∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ 米， ∵ 长为 米，∴ （米）， 答：学楼 的高度为 米． （2）解：连接 并延长，交 于点， ∵ 米， 米，∴ 米， ∵ 米， ，∴ ， ∴ ， 米，∴ （米）， ∵无人机以 米/秒的速度飞行，∴离开视线 的时间为： （秒）， 答：无人机刚好离开视线 的时间为12 秒． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟 练掌握解直角三角形的方法和步骤． 例3．（2023 年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为 梯形 ，斜面坡度 是指坡面的铅直高度 与水平宽度 的比．已知斜坡 长度为20 米， ，求斜坡 的长．（结果精确到米）（参考数据： ） 【答】斜坡 的长约为10 米 【分析】过点 作 于点 ，在 中，利用正弦函数求得 ，在 中，利用勾 股定理即可求解． 【详解】解：过点 作 于点 ，则四边形 是矩形， 在 中， ， ．∴ ． ∵ ，∴在 中， （米）． 答：斜坡 的长约为10 米． 【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定 义是解题的关键． 例4．（2023 年山东省菏泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人 机测最大楼的高度 ，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上点80 米，点处俯角为 ，楼顶点处的 俯角为 ，已知点与大楼的距离 为70 米（点，B，，P 在同一平面内），求大楼的高度 （结果保 留根号） 【答】大楼的高度 为 ． 【分析】如图，过 作 于 ，过 作 于 ，而 ，则四边形 是矩形，可 得 ， ，求解 ， ，可得 ， ，可得 ． 【详解】解：如图，过 作 于 ，过 作 于 ，而 ， 则四边形 是矩形，∴ ， ， 由题意可得： ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴大楼的高度 为 ． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的 关键． 模型2、母子模型 图1 图2 图3 图4 【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高B，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公 共边B 是解题的关键。 【重要等量关系】 如图1，B 为公共边，D+D=；如图2，B 为公共边，D- B= DB； 如图3，DF=E，DE=F，BF+DE=B，E+DF=；如图4，F=E，=FE，B+F= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+E= B； 如图6，E- B= BE； 如图7，=FG，F=G，D+D=FG，B+F= BG； 如图8，B=FG，BF=G，+BF=G，EF+ B= EG； 如图9，B=FG，BF=G，EF+B=EG，BD+DF= BF，+ BD+ DF=G。 例1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图1，嘉淇在量角器的圆心 处下挂一铅锤，制作了一个简易测角 仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点 ． (1)在图1 中，过点 画出水平线，并标记观测 的仰角 ．若铅垂线在量角器上的读数为 ，求 的 值； (2)如图2，已知嘉淇眼睛离地 米，站在 处观测 的仰角为（1）中的 ，向前走 米到达 处，此 时观测点 的仰角为 ，求树 的高度．（注： ， ， ） 【答】(1) (2)树 的高度为525 米 【分析】(1)根据互余的性质计算即可． (2) 过点 作 ，垂足为 ，则 米．设 米．解直角三角形求解即可． 【详解】（1）如图1； ； （2）如图，过点 作 ，垂足为 ，则 米．设 米． 在 中， （米），在 中， （米）， （米），解得 ． 答：树 的高度为 米． 【点睛】本题考查了仰角的解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键． 例2．（2023·内蒙古·统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD ．如图所示，一 架水平飞行的无人机在A 处测得河流左岸C 处的俯角为，无人机沿水平线AF 方向继续飞行12 米至B 处，测得河流右岸D 处的俯角为30，线段 24 3 AM  米为无人机距地面的铅直高度，点M ，C ，D 在 同一条直线上，其中tan 2 ．求河流的宽度CD （结果精确到1 米，参考数据：3 1.7  ）． 【答】河流的宽度CD 约为64 米 【分析】过点B 作BE MD  于点E ，分别解Rt AMC △ 、Rt BDE △ 即可． 【详解】解：过点B 作BE MD  于点E ．则四边形AMEB 是矩形． ∴ 24 3 BE AM   ， 12 ME AB   ∵AF MD ∥ ∴ ACM    在Rt AMC △ 中， 90 AMC   ∴ tan 2 AM MC  ，∴ 24 3 2 MC  ∴ 12 3 MC  在Rt BDE △ 中， 90 BED   ， 90 30 60 DBE      ∴ tan DE DBE BE   ，∴ tan 60 3 24 3 DE   ，∴ 24 3 3 72 DE    ∴     72 12 3 12 84 12 3 84 12 1.7 84 20.4 64 CD DE CE DE MC ME                 米 答：河流的宽度CD 约为64 米． 【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键． 例3．（2023 年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能 减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为 ， 点是 的中点， 是灯杆．地面上三点D，E 与在一条直线上， ， ．该校学生在D 处测得电池板边缘点B 的仰角为 ，在E 处测得电池板边缘点B 的仰角为 ．此时点、B 与E 在一条直 线上．求太阳能电池板宽 的长度．（结果精确到 ．参考数据： ， ， ， ） 【答】 【分析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先证 和 均为等腰直角三角 形，四边形 为矩形， 为等腰直角三角形，设 ，则 ， ， ，然后在 中，利用 得 ，由此解出 ，再利用勾股 定理求出 即可得 的长． 【详解】解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，如图， 依题意得： ， ， ， 又 和 均为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 为矩形， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 设 ，则 ， ， ，在 中， ， 即： ， ，解得： ， 检验： 是原方程的根． ， 在等腰 中，由勾股定理得： ， 点 为 的中点， ， 答：太阳能电池板宽 的长度约为 ． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角 三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键． 例4．（2023 年四川省内江市中考数学真题）某中学依山而建，校门处有一坡角 的斜坡 ，长度 为30 米，在坡顶B 处测得学楼 的楼顶的仰角 ，离B 点4 米远的E 处有一个花台，在E 处 测得的仰角 ， 的延长线交水平线 于点D，求 的长（结果保留根号）． 【答】 的长为 米 【分析】作 于点 ，首先根据坡度求出 ，并通过矩形的判定确定出 ，然后通过解 三角形求出 ，即可相加得出结论． 【详解】解：如图所示，作 于点 ，则由题意，四边形 为矩形， ∵在 中， ， ， ， ∴ ，∵四边形 为矩形，∴ ， 由题意， ， ， ， ， ∴ 为等腰直角三角形， ，设 ，则 ， 在 中， ，∴ ，即： ， 解得： ，经检验， 是上述方程的解，且符合题意， ∴ ，∴ ，∴ 的长为 米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键． 模型3、拥抱模型 图1 图2 图3 图4 【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边B 是解题的关键。 【重要等量关系】如图1，B 为公共边；如图2，BF+ F+E=BE；如图3，B+ E= BE； 如图4，B=GE，G=BE，B+E=G, DG+B= DE。 例1．（2023•包河区三模）如图，校内两栋学楼B 和D 之间有一棵古树EF，从楼顶处经过树顶E 点恰好 看到学楼B 的底部B 点且俯角α 为30°，从学楼D 的底部D 处经过树顶E 点恰好看到学楼B 的顶部点，且 仰角β 为53°，已知树高EF＝6 米，求DF 的长及学楼B 的高度．（结果精确到01 米，参考数据： ＝ 173、s53°≈ 、s53°≈ 、t53°≈ ） 【解答】解：由题意可得∠BD＝30°，∠DB＝53°，在Rt△DEF 中，EF＝6 米， t∠DB＝t53°＝ ≈ ，t∠BD＝t30°＝ ， 解得DF＝45，BF＝6 ，∴BD＝BF+DF＝（45+6 ）米， 在Rt△BD 中，t∠DB＝t53°＝ ≈ ，解得B＝6+8 ≈198， ∴DF 的长约为45 米，学楼B 的高度约为198 米． 例2．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼B 和D 的高度，小明将木杆EF 放 在楼B 和D 之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G 处（、F、G 三点在一条直线上），测得楼B 顶 部的仰角∠GB＝30°，再将测角仪放在处（D、F、三点在一条直线上），测得楼D 顶部的仰角∠D＝60°， 同时测得BE＝15m，E＝14m，EG＝6m．（点、B、、D、E、F、G、均在同一平面内，结果精确到01 米， ≈1732）（1）求楼B 的高度；（2）求楼D 的高度． 【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m， 在Rt△BG 中，∠BG＝90°，∠GB＝30°， ∴B＝BG•t30°＝21× ＝7 ≈121（m），∴楼B 的高度约为121m； （2）在Rt△FEG 中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°， ∴EF＝EG•t30°＝6× ＝2 （m），在Rt△FE 中，∠FE＝90°，∠FE＝60°， ∴E＝ ＝ ＝2（m），∴＝E+E＝2+14＝16（m）， 在Rt△D 中，∠D＝90°，∠D＝60°， ∴D＝•t60°＝16 ≈277（m）．∴楼D 的高度约为277m． 例3．（2023 年浙江省湖州市中考数学真题）某数学兴趣小组测量校内一棵树的高度，采用以下方法：如 图，把支架 放在离树 适当距离的水平地面上的点F 处，再把镜子水平放在支架 上的点E 处，然后沿着直线 后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，再用皮尺分别测量 ， ，观测者目高 的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知 于点D， 于点F， 于点B， 米， 米， 米， 米，则这棵树的高度（ 的长）是 米． 【答】41 【分析】过点 作水平线交 于点 ，交 于点 ，根据镜面反射的性质求出 ，再根据 对应边成比例解答即可． 【详解】过点 作水平线交 于点 ，交 于点 ，如图， ∵ 是水平线， 都是铅垂线．∴ 米， 米， 米， ∴ （米），又根据题意，得 ， ∴ ， ，即 ，解得： 米， ∴ (米)．故答为： ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成 比例是解答此题的关键． 例4．（2023 年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔 前有一座高为 的观景台，已知 ，点E，，在同一条水平直线上． 某学习小组在观景台处测得塔顶部B 的仰角为 ，在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为 ．(1)求 的 长；(2)设塔 的高度为（单位：m）．①用含有的式子表示线段 的长（结果保留根号）；②求塔 的高度（ 取05， 取17，结果取整数）． 【答】(1) (2)① ；② 【分析】（1）根据含30 度角的直角三角形的性质求解即可； （2）①分别在 和 中，利用锐角三角函数定义求得 ， ，进而可求解； ②过点 作 ，垂足为 ．可证明四边形 是矩形，得到 ， ．在 中，利用锐角三角函数定义得到 ，然后求解即可． 【详解】（1）解：在 中， ，∴ ．即 的长为 ． （2）解：①在 中， ，∴ ． 在 中，由 ， ， ， 则 ∴ ．即 的长为 ． ②如图，过点 作 ，垂足为 ． 根据题意， ，∴四边形 是矩形． ∴ ， ．可得 ． 在 中， ， ，∴ ．即 ． ∴ ．答：塔 的高度约为 ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30 度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角 函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． 课后专项训练 1．（2023 年浙江省衢州市中考数学真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节 杆 ， ， 的最大仰角为 当 时，则点 到桌面的最大高度是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，利用解直角三角形可得 ， ，根据点 到桌面的最大高度 ，即可求得答． 【详解】如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ， 在 中， ，在 中， ， 点 到桌面的最大高度 ，故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形 解决问题． 2．（2022·浙江金华·中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知 ， ，则房顶离地面 的高度为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】过点作D⊥B 于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=D，从而利用锐角三角函数正切值即可求得 答． 【详解】解：过点作D⊥B 于D，如图所示： ∵它是一个轴对称图形，∴ m， ，即 ， 房顶离地面 的高度为 ，故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键． 3．（2023 年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照 近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B 处测得灯 塔最高点的仰角 ，再沿 方向前进至处测得最高点的仰角 ， ，则灯 塔的高度 大约是（ ）（结果精确到 ，参考数据： ， ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】在 中，得出 ，设 ，则 ， ，在 中，根据正 切得出 ，求解即可得出答． 【详解】解：在 中， ， ， 设 ，则 ， ，在 中， ， ， ， 灯塔的高度D 大约是 ．故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度 数． 4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5 12 ∶ 的山坡上 走1300 米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( ) ．(600－250 )米 B．(600 －250)米 ．(350＋350 )米 D．500 米 【答】B 【详解】解：如答图，∵BE：E=5：12，∴可设BE=5k，E=12k， B=1300 ∵ 米，∴在Rt BE △ 中，由勾股定理，得E2+BE2=B2， 即 ，解得k=100．∴E=1200 米，BE=500