专题23 解直角三角形模型之新定义模型（解析版）

专题23 解直角三角形模型之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试 题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数 学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对 学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时学挖掘这方 面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 【知识储备】 模型1、新定义模型 此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可 利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△B 的3 个角∠、∠B、∠，分别对应边、b、； 1）正弦定理：如图1， a sin A = b sin B = c sinC =2 R （其中R 是三角形外接圆的半径）。 图1 图2 2）余弦定理：如图2， ． 3）正弦面积公式：如图2， SΔ=1 2 absinC=1 2 bcsin A=1 2 acsin B 4）同角三角函数的基本关系式: ， 。 5）和（差）、二倍角角公式： ; ; 例1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、，求证： ． 证明：如图1，过点 作 于点 ，则： 在 中， D=sB； 在 中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、，求证： ；(2)为了办好湖 南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知 ， ， 米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据： ， 【答】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作B 边上的高，利用三角函数表示D 后，即可建立关联并求解； （2）作B 边上的高，利用三角函数分别求出E 和B，即可求解． (1)证明：如图2，过点 作 于点 ，在 中， ， 在 中， ， ， ； (2)解：如图3，过点 作 于点 ， ， ， ， 在 中， 又 ，即 ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问 题的前提． 例2．（2022·湖南湘西·统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系 的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是 这样描述的：在△B 中，∠、∠B、∠所对的边分别为、b、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平 方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2 倍． 用公式可描述为：2＝b2＋2 2 ﹣bs；b2＝2＋2 2s ﹣ B；2＝2＋b2 2 ﹣bs 现已知在△B 中，B＝3，＝4，∠＝60°，则B＝_____． 【答】 【分析】从阅读可得：B2＝B2＋2 2 ﹣B s，将数值代入求得结果． 【详解】解：由题意可得， B2＝B2＋2 2 ﹣B••s＝32＋42 2×3×4 ﹣ s60°＝13，∴B＝ ，故答为： ． 【点睛】本题考查阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用． 例3．（2022·山东青岛·校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究． 探究一：如图1，在 中， ， ， ， ，求 的面积． 在 中， ， ． ． 探究二：如图2， 中， ， ， ，求 的面积（用含 、 、 代数式 表示），写出探究过程． 探究三：如图3， 中， ， ， ，求 的面积（用 、 、 表示）写出探 究过程． 问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）． 问题应用：如图4，已知平行四边形 中， ， ， ，求平行四边形 的面积 （用 、 、 表示）写出解题过程． 问题拓广：如图5 所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用 、 、、 、 、 表 示），其中 ， ， ， ， ， ． 【答】 ，见解析； ，见解析；一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半； ； 【分析】探究二：如图2 中，作 于 ．求出高 ，即可解决问题； 探究三：如图3 中，作 于 ．求出高 ，即可解决问题； 问题解决： （ ）是、b 两边的夹角）； 问题应用：如图4 中，作⊥B 于．求出高 ，即可解决问题； 问题拓广：如图5，连接 ，由探究三的结论可得出答． 【详解】解：探究二：如图2 中，作 于 ． ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ． 探究三：如图3 中，作 于 ． 在 中， ， ． 问题解决：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半． 故答为：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半． 问题应用：如图4 中，作 于 ． 在 中， ， ． 问题拓广：连接 ，由探究三的结论可得： ． ． ． 【点睛】本题考查四边形综合题、三角形的面积、平行四边形的面积，锐角三角函数知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 例4．（2023 春·四川泸州·八年级校考期中）平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问 题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具 体如下：设一个三角形的三边长分别为、b、， ，则有下列面积公式： （海伦公式）； （秦九韶公式）． (1)一个三角形边长依次是5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积； (2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在 中， ， ， ，求 的面积和 边上得高 的长． 【答】(1) (2) 的面积为84； 边上得高 的长为12 【分析】（1）利用两个公式分别代入即可； （2）设 ，则 ，利用勾股定理得 ， ，即 ， 求解得 ，即 ，再利用勾股定理求解，然后利用三角形面积公式求出其面积即可． 【详解】（1）解： ， 由海伦公式可得 ； 由秦九昭公式可得 ． （2）解：设 ，则 ， ， ， ， ，解得 ；∴ ∴ ．∴ ． 【点睛】此题考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积公式和勾股定理是解题的关键． 例5．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：s（α+β）＝sαsβ+sαsβ，s（α β ﹣）＝ sαsβ sαsβ ﹣ ；s（α+β）＝sαsβ sαsβ ﹣ ，s（α β ﹣）＝sαsβ+sαsβ；t（α+β）＝ （1 tαtβ≠0 ﹣ ）， 合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如s90°＝s（30°+60°）＝ s30°s60°+s30°s60°＝ ＝1，利用上述公式计算下列三角函数①s105°＝ ，②t105°＝﹣ 2﹣ ，③s15°＝ ，④s90°＝0，其中正确的个数有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】D 【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答． 【详解】①s105°=s（60°+45°）=s60°s45°+s60°s45°= = ，故此选项正确； ②t105°=t（60°+45°）= = = =-2- ，故此选项正确； ③s15°=s（60°-45°）=s60°s45°-s60°s45°= = ，故此选项正确； ④s90°=s（45°+45°）=s45°s45°-s45°s45°= =0，故此选项正确； 故正确的有4 个．故选D． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键． 例6．（2023 年四川省广元市中考真题数学试题）“一缕清风银叶转”，某市20 台风机依次矗立在云遮雾 绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶 的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为 ，当其中一片风叶 与塔干 叠合时， 在与塔底D 水平距离为60 米的E 处，测得塔顶部的仰角 ，风叶 的视角 ． (1)已知α，β 两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算 ； (2)求风叶 的长度． 【答】(1) (2)风叶 的长度为 米 【分析】（1）根据题中公式计算即可；（2）过点作 ，连接 ， ，先根据题意求出 ，再根据等腰对等边证明 ，结合第一问的结论用三角函数即可求 ，再证明四边形 是 矩形，即可求出． 【详解】（1）解：由题意可得： ， ∴ ； （2）解：过点作 ，连接 ， ，如图所示， 由题意得： 米， ，∴ 米， ， ∵三片风叶两两所成的角为 ，∴ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ，∴ 米， ∵ ， ，∴ ，由（1）得： ， ∴ 米，∴ 米， ∵ ， ， ，∴四边形 是矩形，∴ 米， ∵三片风叶两两所成的角为 ，且三片风叶长度相等，∴ ， ∴ 米，∴风叶 的长度为 米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键． 例7．（2023·四川宜宾·校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条 边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边 角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ ）．如果 中， ，那么顶角的正对记作 ，这时 = ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值 也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果 的正弦函数值为 ，那么 的值为 ． 【答】 【分析】过点 作 于 ，利用 的正弦函数值，设出 的长，根据勾股定理求出 ，最后根据 的规定求值即可． 【详解】解：过点 作 于 ，如图所示， ， 设 ， ， ， ， ， ；故答为： ． 【点睛】此题是新定义运算题，主要考查了等腰三角形的定义、勾股定理和三角函数等知识，熟练掌握勾 股定理、三角函数的定义以及新定义运算的规定是解答此题的关键． 例8．（2022 春·浙江·九年级专题练习）阅读下列材料： 在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在 中， ，求 （用含 的式子表示）． 聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，则 ，然后利用锐角三角函数在 中表示出 ，在 中表示出 ，则可以求出 ． 阅读以上内容，回答下列问题：在 中， ． （1）如图3，若 ，则 __， _____； （2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出 的表达式（用含 的式子表示）． 【答】（1） ； ；（2） 【分析】（1）根据勾股定理求得 ，再根据三角函数的定义即可求得 和 ，再根据 求解即可；（2）取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，则 ， ，在 中表示出 ，勾股定理求得 ，即可求解． 【详解】解：（1）由勾股定理可得： 由三角函数的定义可得 ， 由材料可得： 故答为 ； （2）取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，如下图： 则 ， ， ， 在 中， ， 在 中， ， 在 中， ，则 则 故答为 【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线作所求角 的直角三角形． 例9．（2022·重庆·校考一模）材料一：证明： ． 证明：如图，作∠B=∠，在射线上任意取一点D(异于点)，过点D 作DE⊥B，垂足为E． ∵DE⊥B 于点E ， ∵在Rt△DE 中，DE2+E2=D2 ∵∠B=∠ ∴ ． 材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道 直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度 数；由“SS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角 形的第三条边一定可以求出来 应用以上材料，完成下列问题：(1)如图，在△B 中，=4，B=6，∠=60°，求B 的长． (2)在（1）题图中，如果=b，B=，∠=，你能用，b 和s 表示B 的长度吗？如果可以，写出推导过程；如果不 可以，说明理由． 【答】(1) (2)能，过程见解析 【分析】(1) 过点作 于点D，根据解直角三角形即可求得； (2) 过点作 于点D，根据解直角三角形即可求得． 【详解】（1）解：过点作 于点D ， （2）解：如图，过点作 于点D ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解决本题的关键． 例10．（2023 春·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函 数，即在图1 所示的直角三角形 ， 是锐角，那么 的对边÷斜边， 的邻边÷斜 边， 的对边÷ 的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意 义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x 轴的正半轴 ，建立直角坐标系（图 2），在角α 的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P 和原点 的距离为 （r 总是正的），然后把角α 的三角函数规定为： ， ， ．我们知道，图1 的四 个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2 中四个比值的大小也仅与角α 的大 小有关，而与点P 在角α 的终边位置无关．比较图1 与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规 定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题： (1)若 ，则角α 的三角函数值 、 、 ，其中取正值的是 ； (2)若角α 的终边与直线 重合，则 的值； (3)若角α 是钝角，其终边上一点 ，且 ，求 的值； (4)若 ，则 的取值范围是 ． 【答】(1) (2) 或 (3) (4) 【分析】（1）由题意可得 ， ， ，然后依据定义进行判断即可；（2）设点 ，则 ，然后分为 和 两种情况求解即可；（3）由题意可得 ，然后依据定理列出关于x 的 方程，从而求出x 的值，然后依据正切的定义求解即可；（4）依据三角形的三边关系可得 ，然后 再得到 ，再求得 的取值范围，即可求得结果． 【详解】（1）解：当 时， ， ， ， ， ， ，故答为： ． （2）解：∵若角α 的终边与直线 重合， ， ， 当 时， ，当 时， ， 的值为 或 ． （3）解： ，点 ，且 ， ， （正值舍去）， ． （4）解： ， ， ， ， ，又 ， ，故答为： ． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质、三角函数的定义及完全平方公式，理解三角函数的定义是解题的 关键． 课后专项训练 1．（2023 秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦 值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦 定理是这样描述的：在 中， 、 、 所对的边分别为、b、，则三角形中任意一边的平方等 于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2 倍．用公式可描述为： ； ； ；现已知在 中， ， ， ，则 的长为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】利用公式直接解答即可． 【详解】解：∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，整理得， ， 解得 或 （负值舍去），故选：B． 【点睛】此题考查了三角函数的应用、解一元二次方程，正确理解公式并灵活运用是解题的关键． 2．（2020·四川广元市·中考真题）规定： 给出以下四个结论：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 其中正确的结论的个数为（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论． 【详解】解：（1） ，故此结论正确； （2） ，故此结论正确； （3） 故此结论正 确； （4） = = ，故此结论错误故选：． 【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识， 理解题中公式 3．（2023 年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中， 给出了这样的一个结论：三边分别为、b、的 的面积为 ． 的边、 b、所对的角分别是∠、∠B、∠，则 ．下列结论中正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ 即 ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉 是解题的关键． 4．（2023·安徽滁州·校考二模）已知三角形的三边长分别为、b、，求其面积问题．中外数学家曾经进行 过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S= ，其中p= ；我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S= ，若 一个三角形的三边长分别为5，6，7，则其面积是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为5，6，7 的面积，从而可以解答 本题． 【详解】∵S= ∴若一个三角形的三边长分别为5，6，7， 则面积是：S= ，故选 【点睛】此题考查二次根式的应用，解题关键在于结合题意列相应的二次根式并将其化简 5．（2023·山东潍坊·统考二模）一般地，当α、β 为任意角时，t（α+β）与t（α-β）的值可以用下面的公式 求得：t（α±β）= ．例如：t15°=t（45°-30°）= = = = =2- ．请根据以上材料，求得t75°的值为 ． 【答】2+ ． 【分析】根据给定的公式，将 ， 代入 中计算化简即可． 【详解】解： t75°=t（45°+30°）= = = = =2+ ． 故答为：2+ ． 【点睛】本题考查了三角函数的计算以及用平方差公式进行分母有理化，读懂新定义的含义是关键 6．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题． s230°＋s230°＝ ； s245°＋s245°＝ ； s260°＋s260°＝ ； …… 观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有s2＋s2＝ ． 【答】 1 1 1 1 【详解】s230°＋s230°＝ =1 ， s245°＋s245°＝ =1 ， s260°＋s260°＝ =1 ， 即可猜想出：对任意锐角 ，都有 故答为：1；1；1；1 7．（2023 秋·山东济南·九年级统考期末）定义一种运算： ， ．例如：当 ， 时， ，则 的值