专题22 解直角三角形模型之实际应用模型（原卷版）

专题22 解直角三角形模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际 问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注 意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造 直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 模型1、背靠背模型 图1 图2 图3 【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高D，构造出两个直角三角形求解，其中公共 边（高）D 是解题的关键 【重要关系】如图1，D 为公共边，D+BD=B； 如图2，E=D，D=E，E+BD=B； 如图3，D=EF，E=DF，D+E+BF=B。 例1．（2023 年四川省中考数学真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用 于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机看建筑物顶部B 的仰角为 ，看底部的俯角为 ，无人机 到该建筑物 的水平距离 为10 米，求该建筑物 的高度．（结果精确到 米；参考数据： ， ） 例2．（2023 湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们 在高空测量距离和高度．圆圆要测量学楼 的高度，借助无人机设计了如下测量方：如图，圆圆在离学 楼底部 米的处，遥控无人机旋停在点的正上方的点D 处，测得学楼 的顶部B 处的俯角为 ， 长为 米．已知目高 为 米．(1)求学楼 的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于 的方 向，以 米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线 ． 例3．（2023 年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为 梯形 ，斜面坡度 是指坡面的铅直高度 与水平宽度 的比．已知斜坡 长度为20 米， ，求斜坡 的长．（结果精确到米）（参考数据： ） 例4．（2023 年山东省菏泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人 机测最大楼的高度 ，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上点80 米，点处俯角为 ，楼顶点处的 俯角为 ，已知点与大楼的距离 为70 米（点，B，，P 在同一平面内），求大楼的高度 （结果保 留根号） 模型2、母子模型 图1 图2 图3 图4 【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高B，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公 共边B 是解题的关键。 【重要等量关系】 如图1，B 为公共边，D+D=；如图2，B 为公共边，D- B= DB； 如图3，DF=E，DE=F，BF+DE=B，E+DF=；如图4，F=E，=FE，B+F= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+E= B； 如图6，E- B= BE； 如图7，=FG，F=G，D+D=FG，B+F= BG； 如图8，B=FG，BF=G，+BF=G，EF+ B= EG； 如图9，B=FG，BF=G，EF+B=EG，BD+DF= BF，+ BD+ DF=G。 例1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图1，嘉淇在量角器的圆心 处下挂一铅锤，制作了一个简易测角 仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点 ． (1)在图1 中，过点 画出水平线，并标记观测 的仰角 ．若铅垂线在量角器上的读数为 ，求 的 值； (2)如图2，已知嘉淇眼睛离地 米，站在 处观测 的仰角为（1）中的 ，向前走 米到达 处，此 时观测点 的仰角为 ，求树 的高度．（注： ， ， ） 例2．（2023·内蒙古·统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD ．如图所示，一 架水平飞行的无人机在A 处测得河流左岸C 处的俯角为，无人机沿水平线AF 方向继续飞行12 米至B 处，测得河流右岸D 处的俯角为30，线段 24 3 AM  米为无人机距地面的铅直高度，点M ，C ，D 在 同一条直线上，其中tan 2 ．求河流的宽度CD （结果精确到1 米，参考数据：3 1.7  ）． 例3．（2023 年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能 减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为 ， 点是 的中点， 是灯杆．地面上三点D，E 与在一条直线上， ， ．该校学生在D 处测得电池板边缘点B 的仰角为 ，在E 处测得电池板边缘点B 的仰角为 ．此时点、B 与E 在一条直 线上．求太阳能电池板宽 的长度．（结果精确到 ．参考数据： ， ， ， ） 例4．（2023 年四川省内江市中考数学真题）某中学依山而建，校门处有一坡角 的斜坡 ，长度 为30 米，在坡顶B 处测得学楼 的楼顶的仰角 ，离B 点4 米远的E 处有一个花台，在E 处 测得的仰角 ， 的延长线交水平线 于点D，求 的长（结果保留根号）． 模型3、拥抱模型 图1 图2 图3 图4 【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边B 是解题的关键。 【重要等量关系】如图1，B 为公共边；如图2，BF+ F+E=BE；如图3，B+ E= BE； 如图4，B=GE，G=BE，B+E=G, DG+B= DE。 例1．（2023•包河区三模）如图，校内两栋学楼B 和D 之间有一棵古树EF，从楼顶处经过树顶E 点恰好 看到学楼B 的底部B 点且俯角α 为30°，从学楼D 的底部D 处经过树顶E 点恰好看到学楼B 的顶部点，且 仰角β 为53°，已知树高EF＝6 米，求DF 的长及学楼B 的高度．（结果精确到01 米，参考数据： ＝ 173、s53°≈ 、s53°≈ 、t53°≈ ） 例2．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼B 和D 的高度，小明将木杆EF 放 在楼B 和D 之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G 处（、F、G 三点在一条直线上），测得楼B 顶 部的仰角∠GB＝30°，再将测角仪放在处（D、F、三点在一条直线上），测得楼D 顶部的仰角∠D＝60°， 同时测得BE＝15m，E＝14m，EG＝6m．（点、B、、D、E、F、G、均在同一平面内，结果精确到01 米， ≈1732）（1）求楼B 的高度；（2）求楼D 的高度． 例3．（2023 年浙江省湖州市中考数学真题）某数学兴趣小组测量校内一棵树的高度，采用以下方法：如 图，把支架 放在离树 适当距离的水平地面上的点F 处，再把镜子水平放在支架 上的点E 处，然后沿着直线 后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，再用皮尺分别测量 ， ，观测者目高 的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知 于点D， 于点F， 于点B， 米， 米， 米， 米，则这棵树的高度（ 的长）是 米． 例4．（2023 年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔 前有一座高为 的观景台，已知 ，点E，，在同一条水平直线上． 某学习小组在观景台处测得塔顶部B 的仰角为 ，在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为 ．(1)求 的 长；(2)设塔 的高度为（单位：m）．①用含有的式子表示线段 的长（结果保留根号）；②求塔 的高度（ 取05， 取17，结果取整数）． 课后专项训练 1．（2023 年浙江省衢州市中考数学真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节 杆 ， ， 的最大仰角为 当 时，则点 到桌面的最大高度是（ ） ． B． ． D． 2．（2022·浙江金华·中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知 ， ，则房顶离地面 的高度为（ ） ． B． ． D． 3．（2023 年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照 近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B 处测得灯 塔最高点的仰角 ，再沿 方向前进至处测得最高点的仰角 ， ，则灯 塔的高度 大约是（ ）（结果精确到 ，参考数据： ， ） ． B． ． D． 4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5 12 ∶ 的山坡上 走1300 米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( ) ．(600－250 )米 B．(600 －250)米 ．(350＋350 )米 D．500 米 5．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地修建一座高 的天桥，已知天桥斜面 的坡度为 ， 则斜坡 的长度为（ ） ． B． ． D． 6．（2023·云南昆明·校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前 进行体温检测．某学校大门 高65 米，学生 身高15 米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时， 在点D 处测得摄像头的仰角为 ，当学生刚好离开体温检测有效识别区域 段时，在点处测得摄像头 的仰角为 ，则体温检测有效识别区域 段的长为（ ） ． 米 B． 米 ．10 米 D．5 米 7．（2023 年湖北省黄石市中考数学真题）如图，某飞机于空中 处探测到某地面目标在点 处，此时飞 行高度 米，从飞机上看到点 的俯角为 飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平 行直线上同向运动．当飞机飞行 米到达点 时，地面目标此时运动到点 处，从点 看到点 的仰角 为 ，则地面目标运动的距离 约为 米．（参考数据： ） 8．（2023 年湖北省黄冈市中考数学真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图， 无人机从地面 的中点处竖直上升30 米到达B 处，测得博雅楼顶部E 的俯角为 ，尚美楼顶部F 的俯 角为 ，已知博雅楼高度 为15 米，则尚美楼高度 为 米．（结果保留根号） 9．（2023·浙江·校考三模）如图1 是两扇推拉门，B 是门槛，D，B 是可转动门宽，且B＝2D＝2B．现将两 扇门推到如图2（图1 的平面示意图）的位置，其中 ，且点，，D 在一条直线上，测得，间的距离 为 m，则门宽D＝_______．如图3，已知∠＝30°，∠B＝60°，点P 在B 上，且P＝54m，点M 是D 上一动点，将点M 绕点P 顺时针旋转60°至M′，则M′的最小距离是 _______m． 10．（2023 年浙江省绍兴市中考数学真题）图1 是某款篮球架，图2 是其示意图，立柱 垂直地面 ， 支架 与 交于点 ，支架 交 于点 ，支架 平行地面 ，篮筺 与支架 在同一 直线上， 米， 米， ． (1)求 的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮，如果他站在発子上，最高可以把篮挂到离地面米处， 那么他能挂上篮吗？请通过计算说明理由．（参考数据： ） 11．（2023 年浙江省温州市中考数学真题）根据背景素材，探索解决问题． 测算发射塔的高度 背 景 素 材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发 射塔的高度 （如图1）．他们通过自制的测 倾仪（如图2）在 ， ， 三个位置观测，测 倾仪上的示数如图3 所示． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度． 问题解决 任 分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________ 务 1 获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之 间的图上距离． 任 务 2 推理计算 计算发射塔的图上高度 ． 任 务 3 换算高度 楼房实际宽度 为 米，请通过测量换算发射 塔的实际高度． 注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1 ． 12．（2023 年浙江省丽水市中考数学真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需 在气体净化设备上增加一条管道 ，已知 ， ，求管 道 的总长． 13．（2023 年浙江省台州市中考数学真题）室里的投影仪投影时，可以把投影光线 ， 及在黑板上的 投影图像高度 抽象成如图所示的 ， ．黑板上投影图像的高度 ， 与 的夹角 ，求 的长．（结果精确到1m．参考数据： ， ， ） 14．（2023 年浙江省宁波市中考数学真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用 量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1 所示． (1)如图2，在 点观察所测物体最高点 ，当量角器零刻度线上 两点均在视线 上时，测得视线与 铅垂线所夹的锐角为 ，设仰角为 ，请直接用含 的代数式示 ． (2)如图3，为了测量广场上空气球 离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点 分别测得气球 的仰角 为 ， 为 ，地面上点 在同一水平直线上， ，求气球 离地 面的高度 ．（参考数据： ， ） 15．（2023 年浙江省金华市中考数学真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？ 图1 是搭成的“倍力桥”，纵梁 夹住横梁 ，使 得横梁不能移动，结构稳固． 图 是长为 ，宽为 的横梁侧面示意图，三 个凹槽都是半径为 的半圆．圆心分别为 ，纵梁是底面 半径为 的圆柱体．用相同规格的横梁、纵梁搭 “桥”，间隙忽略不计． 探究：图是“桥”侧面示意图， 为横梁与地面的交点， 为圆心， 是横梁侧面两边的 交点．测得 ，点 到 的距离为 ．试判断四边形 的形状，并求的值． 探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形． ①若有12 根横梁绕成环，图4 是其侧面示意图，内部形成十二边形 ，求的值； ②若有 根横梁绕成的环（ 为偶数，且 ），试用关于 的代数式表示内部形成的多边形 的周长． 16．（2023 年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）图1 是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在 摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头 的仰角、俯角均为 ，摄像头高度 ， 识别的最远水平距离 ． (1)身高 的小杜，头部高度为 ，他站在离摄像头水平距离 的点处，请问小杜最少需要下 蹲多少厘米才能被识别．(2)身高 的小若，头部高度为 ，踮起脚尖可以增高 ，但仍无法被识 别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为 （如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确 到 ，参考数据 ） 17．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴 对称图形，其示意图如图2．已知 ， ， ， ， ． （结果精确到01 ，参考数据： ， ， ， ， ， ）。(1)连结 ，求线段 的长．(2)求点，B 之间的距离． 18．（2022·浙江绍兴·中考真题）圭表（如图 是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文 仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为 “圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至， 日影长度最短的那一天定为夏至．图2 是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表 垂直圭 ， 已知该市冬至正午太阳高度角（即 为 ，夏至正午太阳高度角（即 为 ，圭面上冬至线 与夏至线之间的距离（即 的长）为4 米．(1)求∠BD 的度数．(2)求表的长（最后结果精确到01 米）． （参考数据：s37°≈ ，s37°≈ ，t37°≈ ，t84°≈ ） 19．（2022·浙江金华·中考真题）图1 是光伏发电场景，其示意图如图2， 为吸热塔，在地平线 上 的点B， 处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点 旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面 反射后到达吸热器点F 处．已知 ，在点观测点F 的仰角为 ． （1）点F 的高度 为______m．（2）设 ，则 与 的数量关系是_______． 20．（2023·浙江金华·校考一模）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1 是新金婺大桥的效果 图．2022 年4 月13 日开始主塔吊装作业．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段 为主塔， 在离塔顶10 米处有一个固定点 米．在东西各拉一根钢索 和 ，已知 等于214 米．吊 装时，通过钢索 牵拉，主塔 由平躺桥面的位置，绕点旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时 ，此时一名工作人员在离M 米的B 处，在位于B 点正上方的钢索上点处挂彩旗． 正好 是他的身高 米．（1）主塔 的高度为 _____米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索 也始 终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要， 与水平桥面的最大张角在 到 之间即 ， 的取值范围是 _____．（注： ， ）．