专题08 整式中规律性探索的三种考法（解析版）

专题08 整式中规律探索的三种考法 类型一、数字类规律探索问题 例1．将一列有理数 ，2，3，4， ，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规 律可知，“峰1”中峰顶的位置（的位置）是有理数4，那么，“峰6”中的位置是有理数___ _，2022 应排在、B、、D、E 中____的位置．正确的选项是（ ） ． ， B．30，D ．29，B D． ， 【答】 【分析】观察不难发现，每个峰排列5 个数，求出5 个峰排列的数的个数，再求出，“峰 6”中位置的数的序数，然后根据排列的奇数为负数，偶数为正数解答；用 除以 5，根据商和余数的情况确定所在峰中的位置即可． 【详解】解：由题意得，每个峰排列5 个数，排列的奇数为负数，偶数为正数 ∵每个峰需要5 个数， ∴ ， ， “ ∴峰6”中位置的数的是 ， ∵ ， ∴2022 应排在、B、、D、E 中的位置， 故选：． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出每个峰有5 个数是解题的关键，难点在于 峰上的数的排列是从2 开始． 例2．一组按规律排列的式子： ， ， ， 那么第 个式子是 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母的变化得出分母变化的规律，根 据分数符号的变化规律得出分数符号的变化规律，即可得到该组式子的变化规律． 【详解】解：分子为 ，其指数为2，5，8，11，…其规律为 ， 分母为 ，其指数为1，2，3，4，…其规律为 ， 分数符号为 ， ， ， ， ，其规律为 ， 所以第 个式子 ．故选：． 【点睛】此题考查了探索规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变 化得出规律是解题的关键． 【变式训练1】找规律：观察算式 ； ； ； ； … (1)按规律填空 ； ． (2)由上面的规律计算： （要求：写出计算过程） 【答】(1)3025； (2)1622600 【分析】（1）根据题干中算式总结出公式： ， 根据规律计算即可； （2）根据规律用前50 项减前10 项即可； 【详解】（1）该列数的规律是： ， ， ， 故答为：3025， ； （2） ； 【点睛】本题考查了数字的变化规律，总结归纳出规律并应用规律是解题的关键． 【变式训练2】观察下列等式： ， ， ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出 ______． (2)计算下列各式的计算结果： ． (3)探究并计算： ． 【答】(1) ， ；(2) ；(3) 【分析】（1）根据已知等式做出猜想，再计算即可； （2）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果； （3）仿照（2）将：原式转换成 ，即可轻易算出 结果． 【详解】（1）解：猜想： ， ∴ ； （2） ； （3） 【点睛】本题考查了数字的变换规律问题，解题的关键是能够总结出规律等式 并应用于求和运算． 【变式训练3】对于实数 ，规定 ，例如 ， ，那么计算 的结果是 ． 【答】 【分析】通过计算，发现 ， ，据此即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， 且 ， ∴ 故答为： 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字得到 ． 类型二、图表类规律探索问题 例1．为给同学们创造更好的读书条件，学校准备新建一个长度为L 的读书长廊，并准备 用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按如图 所示的规律拼成图铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为06 ． （1）按图示规律，第一个图的长度 ，第二个图的长度 ． （2）请用代数式表示带有花纹的地面砖块数 与走廊的长度 之间的关系 ． 【答】 【分析】（1）观察题目中的已知图形，可得前两个图中有花纹的地面砖分别有：1，2 个， 第二个图比第一个图多1 个花纹的地面砖，所以可得第个图有花纹的地面砖有块；第一个 图边长 ，第二个图边长 ； （2）由（1）得出则第个图边长为 ． 【详解】解：（1）第一个图的长度 ， 第二个图的长度 ； 故答为： ，； （2）解：观察可得：第一个图中有花纹的地面砖有1 块，第二个图中有花纹的地面砖有2 块，……，故第个图中有花纹的地面砖有块； 第一个图边长 ， 第二个图边长 ， 则第个图边长为 ； 所以带有花纹的地面砖块数与走廊的长度 之间的关系为 ； 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了平面图形的有规律变化，以及列代数式等，解题的关键是分析、 归纳出其中的规律． 例2．如图所示，将形状大小完全相同的“ ”按照一定规律摆成下列图形，第1 幅图中“ ”的个数为 ，第2 幅图中“ ”的个数为 ，第3 幅图中“ ”的个数为 ， ，以 此类推，若 （ 为正整数），则 的值为 ． 【答】 【分析】先根据已知图形得出 ，代入到方程中，再将左边利用所得规律化简即 可． 【详解】解：由图形知 ， ， ，． 可转化为： ， ， ， ． 故答为：4043． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律是解题关键． 【变式训练1】观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6 个图形中共有个 ★． 【答】19 【分析】先根据图形得到规律第 个图形有 个★，再当 时，代入即可求 得答． 【详解】解：根据图形可得： 第1 个图形有 个★， 第2 个图形有 个★， 第3 个图形有 个★， 第4 个图形有 个★， …… 第 个图形有 个★， 第6 个图形中有 个★， 故答为：19． 【点睛】本题主要考查了整式—图形规律类，根据图形找到规律第 个图形有 个★，是解题的关键． 【变式训练2】观察与思考：我们知道 ，那么 结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下 列问题： ； ； ； ； (1)规律观察： ； (2)推算概括：用含的式子表示出 的值； (3)拓展应用：求 的值． 【答】(1)15；(2) ；(3)5050 【分析】（1）根据所给的式子进行分析即可得出结果； （2）结合（1）进行求解即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ；故答为：15； （2）由（1）得： ； （3） ． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律， 并灵活运用． 【变式训练1】我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”， 数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面 图： 用含的式子表示第个图的钢管总数． 【分析思路】 图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法，从图形排列中找规律；把图形看成 几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律． 如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用 表示第个图形钢管总数）． 【解决问题】 (1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗？像 的情形那样，在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律． ， ___________． (2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像（1）那样对每一个所给 图形添加分割线，提供与（1）不同的分割方式；并在所给横线上，请用数学算式表达你发 现的规律： ___________， ___________， ___________， ___________． (3)用含的式子列式，并计算第个图的钢管总数为___________． 【答】(1) ； (2) ， ， ， ； (3) ． 【分析】（1）根据所给的式子的形式进行解答即可； （2）结合图形的特点，对图形进行分割，从而可求得相应的图形中钢管的总数； （3）根据（1）（2）进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 故答为： ； （2）如图， ； ； ； ， 故答为： ， ， ， ； （3）∵ ； ； ； ，． ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． 【变式训练2】用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放： (1)第5 个图有 张黑色小正方形纸片； (2)第个图有 张黑色小正方形纸片； (3)第几个图中白色纸片和黑色纸片共有81 张？ 【答】(1)16；(2) ；(3)20 【分析】（1）观察图形，发现：黑色纸片在4 的基础上，依次多3 个； （2）根据（1）中的规律，用字母表示即可； （3）根据（2）的规律，得出 ，解之得出的值即可作出判断． 【详解】（1）∵第1 个图形中黑色纸片的数量 ， 第2 个图形中黑色纸片的数量 ， 第3 个图形中黑色纸片的数量 ，……， ∴第5 个图片中黑色纸片的数量为 ，故答为：16； （2）由（1）知，第个图中黑色纸片的数量为 ，故答为： ； （3）设第个图中共有81 张纸片，由 ，解得： ， 即第20 个图中共有81 张纸片． 【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论． 注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第个图中有 张黑色纸片． 类型二、程序类问题 例．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x 的值是1，可发现第一次输出的结果是 4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2023 次输出的结果是 ． 【答】4 【分析】由题意知，第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是 1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是2，……，可知三次为一个循环，由 ，进而可得第2023 次输出的结果． 【详解】解：由题意知，第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结 果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是2，……， ∴可知三次为一个循环， ∵ ， ∴第2023 次输出的结果是4， 故答为：4． 【点睛】本题考查了程序流程图与有理数计算，规律探究．解题的关键在于根据推导一般 性规律． 【变式训练1】按下面的程序计算： 若输入=100，输出结果是501；若输入=25，输出结果是631，若开始输入的值为正整数， 最后输出的结果为656，则开始输入的值可能有（ ） ．1 种 B．2 种 ．3 种 D．4 种 【答】 【分析】分三种情况讨论，当输入经过一次运算即可得到输出的结果为 当输入经过两 次运算即可得到输出的结果为 当输入经过三次运算即可得到输出的结果为 再列 方程，解方程即可得到答． 【详解】解：当输入经过一次运算即可得到输出的结果为 ， 当输入经过两次运算即可得到输出的结果为 当输入经过三次运算即可得到输出的结果为 ． 综上：开始输入的值可能是5 或26 或131 ． 故选：． 【点睛】本题考查的是程序框图的含义，一元一次方程的解法，分类思想的应用，掌握以 上知识是解题的关键． 【变式训练2】按如图所示的运算程序，能使输出结果的值为11 的是（ ） ．x＝3，y＝1 B．x＝2，y＝2 ．x＝2，y＝3 D．x＝0，y＝15 【答】 【分析】把各项中的x 与y 的值代入运算程序中计算得到结果，即可作出判断． 【详解】、把x＝3，y＝1 代入运算程序中得：输出结果为9+2＝11，符合题意； B、把x＝2，y＝2 代入运算程序中得：4 4 ﹣＝0，不符合题意； 、把x＝2，y＝3 代入运算程序中得：4 6 ﹣＝﹣2，不符合题意； D、把x＝0，y＝15 代入运算程序得：0 3 ﹣＝﹣3，不符合题意， 故选：． 【点睛】此题考查计算机的程序计算，能正确理解程序图的计算过程及要求是解题的关键 【变式训练3】按图示的程序计算，若开始输入的x 为正整数，最后输出的结果为67，则x 的值是（ ） ．2 或7 B．2 或22 ．2 或22 或7 D．2 或12 或22 【答】 【分析】根据运算程序列出方程求得相应的x 值，直到x 不是正整数为止即可解答． 【详解】解：∵最后输出的结果为67， 3 ∴x+1=67，解得：x=22； 当3x+1=22 时，解得：x=7； 当3x+1=7 时，解得：x=2； 当3x+1=2 时，解得：x= ， ∵开始输入的x 为正整数， ∴x= 不合题意．∴x 的值可能为：2 或7 或22． 故选：． 【点睛】本题主要考查了运算程序、一元一次方程的应用等知识点，根据运算程序正确列 出关于x 的一元一次方程是解题的关键． 课后训练 1．定义一种对正整数 的“ ”运算：①当 为奇数时，结果为 ；②当 为偶数时， 结果为 其中 是使 为奇数的正整数，并且运算可以重复进行，例如，取 ， 则：若 ，则第 次“ 运算”的结果是( ) ． B． ． D． 【答】B 【分析】分别计算出前次“ 运算”的结果即可得到规律，根据规律求解即可． 【详解】解：当 时，第1 次“F 运算”的结果是 ， 第 次“ 运算”的结果是 ， 第次“ 运算”的结果是 ， 第 次“ 运算”的结果是 ， 第次“ 运算”的结果是 ， 第次“ 运算”的结果是 ， … ∴可知每次运算为一个循环，运算的结果为 ， ， ， ， ， 循环出现， ∵ ， ∴第 次“ 运算”的结果与第次“F 运算”的结果相同，即为 ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，正确进行计算找到数字间的规律是解题的关 键． 2．如图所示的运算程序中，如果开始输入的x 的值为 ，我们发现第一次输出的结果为 ，第二次输出的结果为2，…，则第2023 次输出的结果为（ ） ． B．2 ． D． 【答】 【分析】计算出第次，第 次的输出结果，发现输出结果以 、 、 为一个循环组 依次循环，然后计算即可． 【详解】解：∵第次输出的结果为 ， 第 次输出的结果为 ， ∴第次输出的结果为 ， 第 次输出的结果为 ， ∴输出结果以 、 、 为一个循环组依次循环， ∵ ， ∴第2023 次输出的结果为 ， 故选：． 【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类，找出变化规律是解题的关键． 3．将正整数1 至1050 按一定规律排列如图所示，从表中任取一个 的方框，方框中九 个数的和可能是（ ）． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 1 3 14 15 1 6 17 1 8 19 2 0 21 22 2 3 24 2 5 26 2 7 28 … … … … … … … ．2025 B．2018 ．2016 D．2007 【答】D 【分析】组成 方框的九个数不能从第六列、第七列开始，故因此确定 且 ，然后依据数据规律逐一分析适合题意的答即可． 【详解】观察表格中的数据可知，能组成3 方框 的值需满足： 且 ，这里k 为正整数（即从第六列、第七列开始的 方框不存在）． 方框 中九个数的和 ，故九个数之和必须满足 是9 的倍数，将 变形得： ， 对于选项，由于 ，属于 型，故错误； 对于B 选项，由于 不是9 的倍数，故B 错误； 对于选项，由于 ，属于 型，故错误； 对于D 选项，由于 ，不属于 型，故D 正确． 组成的 方框为 ，九个数之和为2007． 故选：D． 【点睛】本题考查了规律型的数字变化类，根据题意恰当地表示出九个数的代数式并结合 方框所处的位置分析是解题的关键． 4．如图是由相同的菱形按一定规律摆放而成，第1 个图形有3 个菱形，第2 个图形有7 个 菱形，第3 个图形有13 个菱形，按此规律排列下去，第9 个图形的菱形个数为（ ） ．73 B．81 ．91 D．109 【答】 【分析】根据图形，将每个图形分为上下两部分，分别数出每个图形两部分中菱形的个数， 总结出数量变化的一般规律即可． 【详解】解：由图可知： 第一个图形：上面由3 个菱形，下面有0 个菱形， 第二个图形：上面有6 个菱形，下面有1 个菱形， 第三个图形：上面有10 个菱形，下面有3 个菱形， 第四个图形：上面有15 个菱形，下面有6 个菱形，…… 第个图形：上面有 个菱形，下面有 个菱形， ∴第9 个图形的菱形个数为： ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，总结出变化的一 般规律． 5．如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1， 5，12，22…为五边形数，则第7 个五边形数是（ ） ．62 B．70 ．84 D．108 【答】B 【分析】观察图形得到第1 个五边形数为1，第2 个五边形数为 ，第3 个五边形数 为 ，第4 个五边形数为 ，即每个五边形数是从1 开始，后面的 数都比前面一个数大3 的几个数的和，且数的个数等于序号数，则第7 个五边形数为 ． 【详解】解：∵第1 个五边形数为1， 第2 个五边形数为 ， 第3 个五边形数为 ， 第4 个五边形数为 ， ∴第5 个五边形数为 ， 第6 个五边形数为 ， 第7 个五边形数为 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按 规律变化的因素，然后推广到一般情况． 6．如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”．经观察可以发现：图①中共有3 个正方形， 图②中共有7 个正方形，图③中共有15 个正方形，照此规律“生长”下去，图⑤中共有正 方形的个数是（ ） ．31 B．32 ．63 D．64 【答】 【分析】根据图形，可以得到正方形个数的变化特点，从而可以得到图⑤中正方形的个数． 【详解】解：由图可得， 第①个图形中正方形的个数为： ， 第②个图形中正方形的个数为： ， 第③个图形中正方形的个数为： ， … 则第⑤个图形中正方形的个数为： ， 故选：． 【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现正方形个数的变化特 点，求出图⑤中正方形的个数． 7．下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1 个小正 方形，第②个图形中有5 个小正方形，第③个图形中有11 个小正方形，…，按此规律排列 下去，第⑦个图形中的小正方形个数为（ ）个 ．40 B．49 ．55 D．71 【答】 【分析】由已知图形中点的分布情况知：横放是图形序号的平方减去1，竖着摆放的数与 序号相同，再进行相加即可． 【详解】解：根据图形可得 第①个图正方形个数为： ； 第②个图正方形个数为： ； 第③个图正方形个数为： ； 第④个图正方形个数为： ； 所以，第⑦个图形中的小正方形个数为 （个） 故选： 【点睛】本题考查了规律型中的图形变化问题，要求