第二章 有理数及其运算压轴题考点训练（解析版）

第二章 有理数及其运算压轴题考点训练 评卷人 得分 一、单选题 1．﹣2 的平方等于（ ） ．±4 B．2 ．﹣4 D．4 【答】D 【分析】根据有理数的乘方的定义解答． 【详解】﹣2 的平方是：4， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，主要考查学生的计算能力和辨析能力． 2．规定 ※b= ，则（-2）※ =（ ） ．12 B．12 ． D． 【答】 【分析】运用新定义运算法则进行计算． 【详解】解：（-2）※ = ，故正确． 故选：． 【点睛】本题属于新定义运算，主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算 顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如 果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键． 3．已知某种型号的纸100 张的厚度约为1m，那么这种型号的纸13 亿张的厚度约为（ ） ．13×105km B．13×104km ．13×103km D．13×102km 【答】D 【详解】试题解析：根据题意得：13×108÷100÷105=13×102（km）， 故选D 4．若m 与3 互为相反数，则|m 3| ﹣ 的值为（ ） ．0 B．6 ． D． 【答】B 【分析】利用互为相反数两数之和为0 列出方程，求出方程的解即可得到m 的值，再代入 即可． 【详解】解：根据题意得：m+3＝0， 解得：m＝﹣3， 把m＝﹣3 代入|m﹣3|＝6， 故选：B． 【点睛】此题考查相反数及绝对值的问题，关键是互为相反数两数之和为0． 5．已知||＝5，|b|＝2，|－b|＝b－，则＋b 的值是（ ）． ．－7 B．－3 ．－7 或－3 D．以上都不对 【答】 【详解】由绝对值的定义可知，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0， 本题中，||＝5，所以=±5，|b|＝2， 所以b=±2， 又因为|－b|＝b－， 所以-b≤0， 所以≤b，的取值只能为-5， 当b=2 时，+b=-5+2=-3， 当b=-2 时，+b=-5-2=-7． 所以＋b 的值是－7 或－3． 故本题选． 6．下列说法正确的是（ ） ．0 是最小的整数 B．若 ，则 ．互为相反数的两数之和为零 D．数轴上两个有理数，较大的数离原点较远 【答】 【分析】根据各个选项中的说法可以判断其是否正确，从而可以解答本题 【详解】解：0 不是最小的整数，故选项错误， 若 ，则 ，故选项B 错误， 互为相反数的两个数的和为零，故选项正确， 数轴上两个有理数，绝对值较大的数离原点较远，故选项D 错误， 故选 【点睛】本题考查了数轴、有理数，解题的关键是明确题意，可以判断题目中的各种说法 是否正确 7．如果 ， ，是非零有理数，那么 的所有可能的值为（ ）． ． ， ，0，2，4 B． ， ，2，4 ．0 D． ，0，4 【答】D 【分析】分类讨论：①、b、均是正数，②、b、均是负数，③、b、中有一个正数，两个 负数，④、b、有两个正数，一个负数，化简原式即可去求解． 【详解】①、b、均是正数，原式= = ； ②、b、均是负数，原式= = ； ③、b、中有一个正数，两个负数，原式= = ； ④、b、中有两个正数，一个负数，原式= = ； 故选D． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，关键是分情况讨论，然后逐一求解． 8．有理数、b 在数轴上的位置如图所示，且||＜|b|，下列各式中正确的个数是（ ） ①+b＜0；②b﹣＞0；③ ；④3﹣b＞0；⑤﹣﹣b＞0． ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【答】 【分析】数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数．原点左边的数为负数，原点 右边的数为正数．从图中可以看出b＜0＜，|b|＞||，再根据有理数的运算法则判断即可． 【详解】根据数轴上，b 两点的位置可知，b＜0＜，|b|＞||， ①根据有理数的加法法则，可知+b＜0，故正确； ② b ∵＜，∴b-＜0，故错误； ③ || ∵ ＜|b|， ∴ ∵ <0, ， ， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小 ∴ ，故正确； ④3﹣b=3+（- b） 3>0,-b>0 ∵ 3 ∴﹣b>0，故正确； ⑤ > ∵﹣b ∴- ﹣b>0 故①③④⑤正确，选 【点睛】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，本部分的题主要根据，数轴上左 边的点表示的数总比右边的点表示的数要小，及有理数的运算规律来判断式子的大小 评卷人 得分 二、填空题 9．某种计算机完成一次基本运算的时间约为000000001s，把000000001s 用科学记数法表 示为 ． 【答】1×10-8 【详解】试题解析：000000001=1×10-8 考点：科学记数法—表示较小的数． 10．把下列各数﹣15，0， ，25，﹣（﹣1），﹣| 4| ﹣ 按从小到大的顺序用“ ”连接 起来 ． 【答】 【分析】根据有理数的大小比较，先计算 便可比较了 【详解】解： ． 【点睛】本题考查有理数的比较大小，负数小于0，0 小于正数，掌握这个是关键． 11．已知4 个有理数： ，在这4 个有理数之间用“ ”连接进行四则运 算，每个数只用一次，使其结果等于24，你的算法是 ． 【答】 （答不唯一） 【分析】根据“24 点”游戏规则列出算式即可． 【详解】解： 故答为： （答不唯一） 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清“24 点”游戏规则是解题的关键 12．如图1，在一条可以折叠的数轴上有，B，三点，其中点，点B 表示的数分别为－8 和 ＋5，现以点为折点，将数轴向右对折，点对应的点 落在B 的右边；如图2，再以点B 为 折点，将数轴向左折叠，点 对应的点 落在B 的左边．若 ，B 两点之间的距离为1， 设B，两点之间的距离为x，则x＝ ． 【答】6 【分析】由折叠得， ，根据 ，B 两点之间的距离为1，得出 ， 再根据B= 求解即可． 【详解】解：由折叠得： ， ∵ ，B 两点之间的距离为1， ∴ ， ∵表示-8，B 表示+5， ∴B=5-(-8)=5+8=13， ∴ ， ∴ ， ∴B= ， ∴x=6 故答为：6． 【点睛】本题考查了数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关 键． 13．绝对值不大于4 且绝对值大于15 的所有整数和为 【答】0 【详解】分析： 根据绝对值的几何意义进行分析解答即可 详解： ∵绝对值不大于4 且绝对值大于15 的所有整数是数轴上表示15 的点到表示4 的点（包括 4）之间的所有整数，和数轴上表示-15 的点到表示-4 的点（包括-4）之间的所有整数， ∴符合条件的整数有：2，3，4 和-2，-3，-4 共6 个， -2+(-3)+(-4)+2+3+4=0 ∵ ∴符合条件的所有整数的和为0 故答为0 点睛：能根据：“一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离”找到所有符 合条件的整数是正确解答本题的关键 14．已知，、B、三点在数轴上的位置如图所示，将点向右移动1 个单位得到点B，将点B 向右移动2 个单位得到点，点、B、所表示的有理数分别是、b、，且b＞0，若这三个数的 和与其中的一个数相等，则的值为 ． 【答】﹣2 或﹣ 【详解】试题解析：设的值为x，则b 的值为x+1，的值为x+3， 当x+x+1+x+3=x 时，x= 2 ﹣， = 2 ﹣，b= 1 ﹣，=1， b＞0，符合题意； 当x+x+1+x+3=x+1 时，x=﹣ ， =﹣ ，b=﹣ ，= ， b＞0，符合题意； 当x+x+1+x+3=x+3 时，x=﹣ ， =﹣ ，b= ，= ， b＜0，不合题意， 故答为﹣2 或﹣ ． 15．已知有理数、b 表示的点在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答】b+1 【分析】根据图示，可知有理数，b 的取值范围b＞，＜-1，然后根据它们的取值范围去绝 对值并求|b-|-|+1|的值． 【详解】解：根据图示知：b＞，＜-1， |b-|-|+1| ∴ =b--（--1） =b-++1 =b+1． 故答为：b+1． 【点睛】本题主要考查了关于数轴的知识以及有理数大小的比较，绝对值的知识，正确把 握相关知识是解题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 16．暴雨天气，交通事故频发，一辆警车从位于一条南北走向的主干道上的某交警大队出 发，一整天都王这条主干道上执勤和处理事故，如果规定向北行驶为正，那么这辆警车这 天处理交通事故行车的里程（单位：千米）如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 请问： (1)第几个交通事故刚好发生在该交警大队门口？ (2)当交警处理完最后一个事故时，该警车在哪个位置？ (3)如果警车的耗油量为每千米01 升，那么这一天该警车从出发值勤到回到交警大队共耗油 多少？ 【答】(1)第5 个交通事故刚好发生在某交警大队门口 (2)当交警车辆处理完最后一个事故时，该车辆在交警大队南边6 千米的位置 (3)这一天该警车从出发值勤到回到交警大队共耗油42 升 【分析】（1）处理交通事故行车的里程和为0 时，表示交通事故刚好发生在某交警大队门 口； （2）求出处理交通事故行车的里程之和，即可得到答； （3）求出警车从出发执勤到回到交警大队所行驶的路程，再乘耗油量即可得到答． 【详解】（1）∵ ， ∴第个交通事故刚好发生在某交警大队门口； （2）∵ ， ∴当交警车辆处理完最后一个事故时，该车辆在交警大队南边千米的位置； （3） （升）， 答：这一天该警车从出发值勤到回到交警大队共耗油 升． 【点睛】本题考查有理数的加法、有理数的乘法应用，解题的关键是掌握加法法则及理解 正负数的意义． 17．计算题． （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． （5） ． 【答】（1） ；（2） ；（3） ；（4）5；（5）1 【分析】（1）利用加法交换律和结合律进行简便运算即可； （2）先算乘方，然后再按四则混合运算法则计算即可； （3）将 写成100- ，然后再按乘法分配律解答即可； （4）直接运用法分配律解答即可； （5）先算乘方，然后再按四则混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式= ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数的四则混合运算和有理数的简便运算，掌握相关 运算法则是解答本题的关键． 18．已知： 是最小的正整数，且 满足 ， 请回答问题： （1）请直接写出 的值， _________， __________， _________． （2） 所对应的点分别为 ，点 在数轴上运动，点 到点 的距离是____ __，点 到点 的距离是__________，点 到点 的距离之和的最小值是_____． （3）在（1）（2）的条件下，点 开始在数轴上运动，若点 以每秒1 个单位长 度的速度向左运动，同时，点 和点 分别以每秒2 个单位长度和5 个单位长度的速度向 右运动，假设秒钟过后，若点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表 示为 ．请问： 的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不 变，请求其值． 【答】（1）-1，1，5；（2）2，4，6；（3）不变，定值为2 【分析】（1）根据b 是最小的正整数，即可确定b 的值，然后根据非负数的性质，几个非 负数的和是0，则每个数是0，即可求得，的值； （2）先根据数轴上两点之间的距离可得点到点B 的距离以及点B 到点的距离，再根据绝对 值的几何意义回答即可； （3）先用t 表示出B 和B，从而得出B-B=2． 【详解】解：（1）∵ 是最小的正整数， b=1 ∴ ， ∵ ， -5=0 ∴ ，+b=0， =5 ∴ ，=-1， 故答为：-1，1，5； （2）由题意可得： 点到点B 的距离是1-（-1）=2， 点B 到点的距离是5-1=4， 当点P 与点B 重合时，点P 到、B、三点的距离之和最小， 且为：2+4+0=6， 故答为：2，4，6； （3）由题意可得：点B 始终在点左侧， 则t 秒后， 点：-1-t，点B：1+2t，点：5+5t， B=5+5t-（1+2t）=3t+4， B=1+2t-（-1-t）=3t+2， B-B=3t+4- ∴ （3t+2）=2， B-B ∴ 的值不随着时间的变化而改变，定值为2． 【点睛】本题考查了绝对值与数轴，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和 “形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学 习中要注意培养数形结合的数学思想． 19．已知：是最小的两位正整数，且 满足 ，请回答问题： （1）请直接写出 的值： ， = ． （2）在数轴上 所对应的点分别为、B、 ，点P 为该数轴上的动点，其对应的数为 ，点P 在点与点之间运动时（包含端点），则P＝ ，P＝ ． （3）在（1）（2）的条件下，若点M 从出发，以每秒1 个单位长度的速度向终点移动， 当点M 运动到B 点时，点从出发，以每秒3 个单位长度向点运动，点到达点后，再立即以 同样的速度返回点，设点M 移动时间为t 秒，当点开始运动后，请用含t 的代数式表示 M、两点间的距离． 【答】（1）=-26，b=-10，=1； （2）P=m+26，P=10-m； （3）分五种情况：①当16＜t≤24 时， M= -2t+48；②当24＜t≤28 时， M=2t-48；③当28 ＜t≤30 时， M=-4t+120；④当30＜t≤36 时， M=4t-120；⑤当36＜t≤40 时， M=3t-84 【分析】（1）根据题意可以求得、b、的值，从而可以解答本题； （2）根据数轴上两点的距离公式：B=xB-x，可以表示P 和P 的长； （3）先计算t 的取值，因为点M 从出发，以每秒1 个单位长度的速度向终点移动，且 =36，所以需要36 秒完成，又因为当点M 运动到B 点时，即16 秒后，点从出发，以每秒3 个单位长度向点运动，所以点还需要运动24 秒，所以一共需要40 秒，再分别计算M、两 次相遇的时间，分五种情况讨论，根据图形结合数轴上两点的距离表示M 的长． 【详解】解：（1）∵是最小的两位正整数，，b 满足（+26）2+|b+|=0， =10 ∴ ，+26=0，b+=0， =-26 ∴ ，b=-10，=10， 故答为-26，-10，10； （2）∵点P 为点和之间一点，其对应的数为x( )， P=m+26 ∴ ，P=10-m； 故答为m+26，10-m； （3）点运动的总时间为：2（36÷3）=12×2=24， 此时，t=24+16=40， 设t 秒时，M、第一次相遇， 3（t-16）=t， t=24， 分五种情况： ①当16＜t≤24 时，如图1，M 在的右侧，此时M=t-3（t-16）=-2t+48， ②当24＜t≤28 时，如图2，M 在的左侧，此时M=3（t-16）-t=2t-48， ③M、第二次相遇（点从点返回时）：t+3（t-16）=36×2， t=30， 当28＜t≤30 时，如图3，点M 在的左侧，此时M=36×2-t-3（t-16）=-4t+120， ④当30＜t≤36 时，如图4，点M 在的右侧，此时M=3（t-16）-36-（36-t）=4t-120， ⑤当36＜t≤40 时，如图5，点M 在点处，此时M=3（t-16）-36=3t-84， 【点睛】本题考查非负数的性质、绝对值、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的 性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长，有难度，属于中考常考题型． 20．在数学活动中，小明为了求 的值(结果用表示)，设计如图所示 的几何图形． 请你利用这个几何图形求 的值． 【答】 【分析】把一个面积为1 的正方形分成两个面积为 的长方形，接着把面积为 的长方形 分成两个面积为 的正方形，再把面积为 的正方形分成两个面积为 的三角形，…，由 图形揭示的规律进行解答即可得 【详解】由图可知 ， ， ， … ， 所以 【点睛】本题考查了规律题——图形的变化类，认真观察，通过计算从中发现规律是解题 的关键 21．点 在数轴上分别表示有理数 两点之间的距离表示为 ，在数轴上、 B 两点之间的距离 ． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2 和6 两点之间的距离是_______；数轴上表示1 和 的两点之间的距离是_ ______． (2)若x 表示一个有理数，则 的最小值 ________． (3)若x 表示一个有理数，且 ，则满足条件的所有整数x 的和为________． (4)若x 表示一个有理数，当x 为______，式子 有最小值为________． 【答】(1) (2) (3) 或0 或1 或2 或3 (4)3，6 【分析】（1）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值； （2）根据绝对值几何意义即可得出结论； （3）根据绝对值几何意义即可得出结论； （4）式子 可看作是数轴上表示 的点到 、3、4 三点的距离之和， 据此即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示2 和6 两点之间的距离是 ， 数轴上表示1 和 的两点之间的距离是 ． 故答为：4，5； （2）解：根据绝对值的定义有： 可表示为点 到1 与 两点距离之和，根 据几何意义分析可知： 当 在 与1 之间时， 的最小值为5． 故答为：5； （3）解：当 时， ， 解得： ， 此时不符合 ，舍去； 当 时， ， 此时 或 ， ， ， ； 当 时， ， 解得： ， 此时不符合 ，舍去． 故答为： 或0 或1 或2 或3； （4）解： 式子 可看作是数轴上表示 的点到 、3、4 三点的距 离之和， 当 为3 时， 有最小值， 的最小值 ． 故答为：3，6． 【点睛】考查了列代数式，绝对值，两点间的距离公式，（4）中明确 的几何意义是解题的关键． 22．如图，已知数轴上点表示的数为8，B 是数轴上位于点左侧一点，且B=22，动点P 从 点出发，以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B 表示的数 ；点P 表示的数 （用含t 的代数式表示） （2）若M 为P 的中点，为BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段M 的长度是 ． （3）动点Q 从点B 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q 同 时出发，问多少秒时P、Q 之间的距离恰好等于2？ （4）动点Q 从点B 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q 同 时出发，问点P 运动多少秒时追上点Q？ 【答】(1) 14 ﹣ ，8 5t ﹣ ；(2)11；(3)若点P、Q 同时出发，25 或3 秒时P、Q 之间的距离恰好 等于2；(4)点P 运动11 秒时追上点Q．