第12讲 反比例函数的图象、性质及应用（讲义）（解析版）

第12 讲 反比例函数的图象、性质及应用 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 反比例函数的相关概念 题型01 用反比例函数描述数量关系 题型02 判断反比例函数 题型03 根据反比例函数的定义求字母的值 考点二 反比例函数的图象与性质 题型01 判断反比例函数图象 题型02 反比例函数点的坐标特征 题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式 题型04 由反比例函数解析式判断其性质 题型05 由反比例函数图象分布象限，求k 值 题型06 判断反比例函数经过象限 题型07 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围 题型08 已知反比例函数增减性，求k 值 题型09 由反比例函数的性质比较大小 题型10 求反比例函数解析式 题型11 与反比例函数有关的规律探究问题 考点三 反比例系数k 的几何意义 题型01 一点一垂线 题型02 一点两垂线 题型03 两点一垂线 题型04 两点两垂线 题型05 两点和原点 题型06 两曲一平行 考点四 反比例函数与一次函数综合 题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合 题型02 一次函数与反比例函数交点问题 题型03 一次函数与反比例函数综合应用 考点五 反比例函数的实际应用 题型01 行程问题 题型02 工程问题 题型03 物理问题 题型04 分段问题 题型05 几何问题 考点要求 新课标要求 命题预测 反比例函数相关 概念  理解与掌握反比例函数相关概念 反比例函数是非常重要的函数，年年 都会考，总分值为15 分左右，常考考点 为: 反比例函数图象的性质k 的几何意 义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数 与一次函数的交点问题以及反比例函数的 应用与综合题等其中前三个考点多以选 择、填空题的形式出题，后三个考点则是 基础解答题以及压轴题的形式出题在填空 题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比 较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规 则几何图形的性质一起出题,多数题目的技 巧性较强，复习中需要多加注意另外压轴 题中也常以反比例函数为背景，考察一些 新定义类问题 综合反比例函数以上特点，考生在复 习该考点时，需要准备堂握其各性质规 律，并日多注意其与几何图形结合题的思 考探究 反比例函数的图 象与性质  能画反比例函数的图象，根据图象和 表达式y= k x (k ≠0)探索并理解k>0 和k<0 时图象的变化情况  能根据已知条件确定反比例函数的表 达式 反比例系数k 的 几何意义  理解与掌握反比例系数k 的几何意义 反比例函数与一 次函数综合 反比例函数的实 际应用  能用反比例函数解决简单实际问题 考点一 反比例函数的相关概念 反比例函数的概念：一般地，形如y= k x （k为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数反比例函数的解析式也可以 写成xy=k（k≠0、xy≠0）、y=k x −1（k ≠0）的形式 反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数y，等号右边是一个分式； ②k ≠0； ③分母中含有自变量x，且指数为1 题型01 用反比例函数描述数量关系 【例1】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠 杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即F1 L1=F2 L2．如图，铁架台左侧钩码的个数与位 置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F 与力臂L 满足的函数关系是（ ） ．正比例函数关系 B．一次函数关系 ．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答】 【分析】根据杠杆平衡条件：F1 L1=F2 L2，并结合题意可得左侧F1 L1是定值，从而进行判断． 【详解】由杠杆平衡条件：F1 L1=F2 L2， ∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力 F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡， ∴右侧力F 与力臂L 的乘积是定值，即右侧力F 与力臂L 满足反比例函数关系． 故选： 【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数中，自变量x 与函数值y 的积是定值是解题的关键． 【变式1-1】（2023·北京朝阳·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量： ①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x； ②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口n； ③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） 1 反比例函数y= k x （k ≠0）的自变量x的取值为一切非零实数，函数y的取值是一切非零实数 2 反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式． 3 反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k ．①② B．①③ ．②③ D．①②③ 【答】 【分析】当两个变量的积为定值时，两个变量之间的函数关系可以用形如y= k x （k 为常数，k ≠0）的式子 表示，由此逐项判断即可． 【详解】解：由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系， ①矩形的面积¿ x⋅y，因此矩形的面积一定时，一边长y 与它的邻边x 可以用形如y= k x (k ≠0)的式子表示， 即满足所给的函数图象； ②耕地面积¿ S⋅n，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S 与全村总人口可以用形如y= k x (k ≠0)的式 子表示，即满足所给的函数图象； ③汽车的行驶速度¿ s t ，因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s 与行驶时间t 不可以用形如y= k x (k ≠0)的式 子表示，即不满足所给的函数图象； 综上可知：①②符合要求， 故选． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 【变式1-2】（2022·北京海淀·北京市十一学校校考二模）右图是一种古代计时装置（称为“漏刻”）的示 意图：水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均 匀升高，那么，就可以根据标尺上的刻度来反映浮子的高度从而计时．现向贮水壶内注水，则在受水壶注 满水之前，浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是（ ） ．一次函数 B．二次函数 ．反比例函数 D．无法确定 【答】 【分析】根据漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀解答即可． 【详解】解：∵漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高 ∴浮子的高度与对应注水时间成正比 ∴浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是一次函数 故选． 【点睛】本题考查了判断函数关系，读懂材料，掌握一次函数、二次函数、反比例函数的特点是解答本题 的关键． 题型02 判断反比例函数 【例2】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）下列函数中，不是反比例函数的是（ ） ．y=−3 x B．y=−3 2 x ．y= 3 x−1 D．3 xy=2 【答】 【分析】根据反比例函数解析式y= k x (k ≠0)判断求解． 【详解】解：根据反比例函数解析式y= k x (k ≠0)，知 y=−3 x ，符合定义，本选项不符合题意； B y=−3 2 x = −3 2 x ，符合定义，本选项不符合题意； y= 3 x−1，不符合定义，本选项符合题意； D 3 xy=2，得y= 2 3 x ，符合定义，本选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，理解解析式的特征是解题的关键． 【变式2-1】（2022·福建南平·统考一模）下面四个函数中，图象为双曲线的是（ ） ．y=5 x B．y=2 x+3 ．y= 4 x D．y=x 2+2 x+1 【答】 【分析】根据一次函数，反比例函数及二次函数的函数解析式进行判断． 【详解】解： y=5 x，是正比例函数，图象是直线，故该选项不正确，不符合题意； B y=2 x+3，是一次函数，图象是直线，故该选项不正确，不符合题意； y= 4 x ，是反比例函数，图象是双曲线，故该选项正确，符合题意； D y=x 2+2 x+1，是二次函数，图象是抛物线，故该选项不正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查函数的表达式，解题关键是掌握一次函数，反比例函数，二次函数的表达式． 题型03 根据反比例函数的定义求字母的值 【例3】（2022 上·山东枣庄·九年级校考期末）已知函数y=(m+1)x m 2−5是关于x的反比例函数，则m的值 是 ． 【答】±2 【分析】根据反比例函数的定义：形如y= k x （k为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数，即可求出m的值． 【详解】∵函数y=(m+1)x m 2−5是关于x的反比例函数， ∴m+1≠0，m 2−5=−1， ∴m=±2， 故答为：±2 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【变式3-1】（2022·江苏南京·校联考一模）已知反比例函数y＝k x 的图象经过点（1，3）、（m，），则 m 的值为 ． 【答】3 【分析】把点的坐标分别代入解析，即可求得k 及m 的值． 【详解】解：把点（1，3）代入y＝k x 得k=3 故反比例函数的解析式为y=3 x 把点（m，）代入y=3 x 得m=3 故答为：3 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，理解在函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解决本 题的关键． 【变式3-2】（2023·浙江杭州·校考二模）已知点A(−2,m−1)在反比例函数y=−2 x 的图象上，则m=¿ ． 【答】2 【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出m 值． 【详解】解：∵点A(−2,m−1)在反比例函数y=−2 x 的图象上， ∴−2×(m−1)=−2， ∴m=2． 故答为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积是定值k；理解点坐标与 解析式的关系是解题的关键． 【变式3-3】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学统考二模）如果反比例函数y=k−1 x 的图象经 过点(−2,1)，则k 的值是（ ） ．1 B．−2 ．−1 D．3 【答】 【分析】把点(−2,1)的坐标代入反比例函数解析式中得到一元一次方程并求解即可． 【详解】解：∵反比例函数y=k−1 x 的图象经过点(−2,1)， ∴1= k−1 −2 ．解得k=−1．故选：． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握该知识点是解题关键． 考点二 反比例函数的图象与性质 一、反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的 两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为 原点． 性 质 表达 式 y= k x （k为常数，k ≠0） 图象 k>0 k<0 经过 一、三象限（x、y 同号） 二、四象限（x、y 异号） 在反比例函数中，k≠0 与x 的指数为-1 这两个条件必须同时具备，解决此类问题的容易忽略k≠0 的 条件，从而得出错误答 象限 增减 性 在每个象限内，y 随x 的增大而减小 在每个象限内，y 随x 的增大而增大 对称 性 ①图象关于原点对称，即若（，b）在双曲线的一支上，则（-，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线y=x 对称，即若（，b）在双曲线的一支上，则（b，）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线y=−x对称，即若（，b）在双曲线的一支上，则（-b，-）在双曲线的另一支上 即：反比例函数的图象关于直线y=±x 成轴对称,关于原点成中心对称 反比 例函 数解 析式 的确 定方 法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为y= k x （k 为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y 的值带入解析式，得到一个关于待定系数k 的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k 值代入所设解析式中 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的 坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式． 题型01 判断反比例函数图象 【例1】（2022·黑龙江绥化·校考三模）当长方形的面积S 是常数时，长方形的长与宽b 之间关系的函数图 象是（ ） 1 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这 个前提．当k＞0 时，在每一象限（第一、三象限）内y 随x 的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0 时， y 随x 的增大而减小．同样，当k＜0 时，也不能笼统地说y 随x 的增大而增大． 2 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k 的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和 函数的增减性，也可以推断出k 的符号。 3 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的 两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． ． B． ． D． 【答】 【分析】根据题意得到函数关系式为ab=S（常数），于是得到、b 是成反比例的量，根据函数关系式即 可得到结论． 【详解】解：由长方形的面积公式得，a= S b ，且b>0， 故选项符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了函数的图象，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【变式1-1】（2023·安徽亳州·统考三模）如图，在△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，且始终保 持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ= y（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据△ABC是等腰三角形，∠BAC=20°，得到∠ABC=∠ACB=80°，推出 ∠ABP=∠ACQ=100°，根据∠PAQ=100°推出∠PAB+∠CAQ=80°，根据三角形的外角等于不 相邻的两内角的和，得到∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°，推出∠AQC=∠PAB，推出 △APB∽△QAC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得x 与y 的函数关系式，即可进行判断． 【详解】∵△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2， ∴∠ABC=∠ACB=80° ∴∠ABP=∠ACQ=100° 又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100° ∴∠PAB+∠CAQ=80° ∵∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80° ∴∠AQC=∠PAB ∴△APB∽△QAC ∴PB AC = AB QC ，即x 2= 2 y ． 则函数解析式是y= 4 x ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，反比例函数等，熟练掌握等腰三角形性质，三角形外 角性质，相似三角形判定与性质，反比例函数图形与性质，是解决本题的关键． 【变式1-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD， CF ⊥BD，垂足分别为E、F，已知AE=2，且∠CBF=∠EAF，设EF=x，BF= y，假设x、y 能组 成函数，则y 与x 的函数的图象为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】首先根据平行四边形的性质得到S△ABD=S△BCD，然后证明出△AEF ∽△BFC，然后利用相似 三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ABD=S△BCD， ∵AE⊥BD，CF ⊥BD， ∴CF=AE=2，∠AEF=∠BFC=90 o， ∵∠CBF=∠EAF，∠AEF=∠BFC， ∴△AEF ∽△BFC， ∴EF CF = AE BF ， ∴x 2= 2 y ， ∴y= 4 x ， ∴y 与x 的函数的图象为双曲线在第一象限内的部分． 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质等知识，解此题的关键是证明出 △AEF ∽△BFC． 【变式1-3】（2023·河南信阳·统考一模）参照学习函数y= 2 x 的过程与方法，探究函数y= 2 x−2 (x≠2)的 图象与性质． x … −2 −1 0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 7 2 4 5 6 … y= 2 x … −1 −2 ■ 4 2 4 3 1 4 5 2 3 4 7 1 2 2 5 1 3 … y= 2 x−2 … −1 2 −2 3 −1 m −2 −4 ■ 4 2 4 3 1 2 3 1 2 … (1) m=¿ __________________． (2)请画出函数y= 2 x−2 (x≠2)的图象； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当x<2时，y 随x 的增大而___________；（填“增大”或“减小”） ②y= 2 x−2的图象是由y= 2 x 的图象向__________平移__________个单位长度而得到的； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 【答】(1)−4 3 (2)见解析 (3)①减小；②右；2；③(2,0) 【分析】（1）把x=1 2代入函数y= 2 x−2 (x≠2)即可解答； （2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可； （3）数形结合，观察函数图象即可得到答． 【详解】（1）解：把x=1 2代入y= 2 x−2， 得y= 2 1 2−2， ∴m=−4 3 ， 故答为−4 3 ； （2）函数图象如图所示： （3）解：①当x<2时，y随x的增大而减小； ②y= 2 x−2的图象是由y= 2 x 的图象向右平移2 个单位长度而得到的； ③图象关于点(2,0)中心对称； 故答为：①减小；②右；2；③(2,0)． 【点睛】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得 到函数性质． 题型02 反比例函数点的坐标特征 【例2】（2023·广西北海·统考模拟预测）下列各点在反比例函数y= 2 x 图象上的是（ ） ．(−1,2) B．(2,−1) ．(1,3) D．(−1,−2) 【答】D 【分析】将每个选项中点的横坐标代入反比例函数解析式中，看函数值是否一致，如果一致，说明点在函 数图象上，反之则不在． 【详解】．当x =−1时，y= 2 x = 2 −1=−2≠2，故该选项不正确，不符合题意； B．当x=2时，y= 2 x =2 2=1≠−1，故该选项不正确，不符合题意； ．当x=1时，y= 2 x =2 1=2≠3，故该选项不正确，不符合题意； ．当x =−1时，y= 2 x = 2 −1=−2，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查点是否在反比例函数图象上，掌握反比例函数变量的求法是解题的关键． 【变式2-1】（20