九下专题04 二次函数的三种实际应用问题（教师版）

专题04 二次函数的三种实际应用问题 类型一、图形运动问题 例1．如图，矩形 中， ， ，动点 和 同时从点 出发，点 以每秒 的速度沿 的方向运动，到达点 时停止，点 以每秒 的速度沿 的方向运动，到达点 时停止．设点 运动 (秒)时， 的面积为 ，则 关于 的函数的图象大致为( ) ． B． ． D． 【答】B 【详解】解：点E 从点运动到点D，用时2s，点F 从点到点B，用时2s，从点B 运动到点， 用时1s，从点运动到点D，用时2s， ∴y 与x 的函数图象分三段： ①当0≤x≤2 时，E＝2x，F＝4x，∴y＝ •2x•4x＝4x2， 这一段函数图象为抛物线，且开口向上，由此可排除选项和选项D； ②当2＜x≤3 时，点F 在线段B 上，E＝4，此时y＝ ×4×8＝16， ③当3＜x≤5 时， y＝ ×4×(4＋8＋4−4x)＝32−8x，由此可排除选项． 故选：B． 【变式训练1】如图，矩形 中， ，动点P 沿着 的路径匀速 运动，过点P 作 ，垂足为Q，设点P 的运动路程为x，以B，，P，Q 为顶点的四 边形的面积为y，则y 与x 的大致函数图象为( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：∵由勾股定理得 ，分类讨论如下： (1)如图1，当点P 在 上移动时(四点围图为梯形)，∴ ， ，∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ； (2)如图2，当点P 在 上移动时(四点围图为矩形)， ∵点P 的运动路程为x，∴P=x-5， ∵ ，∴ ； 故依据函数解析式得图象如图3， 故选：． 【变式训练2】如果△B 和△DEF 都是边长为2 的等边三角形，他们的边B，EF 在同一条 直线l 上，点，E 重合，现将△B 沿着直线l 向右移动，直至点B 与点F 重合时停止移动， 在此过程中，设点B 移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y 随x 变化的函 数图像大致为( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：如图1 所示：当0＜x≤2 时，过点G 作G⊥BF 于． ∵△B 和△DEF 均为等边三角形，∴△GE 为等边三角形．∴GE＝E＝G＝x，∠GE＝60°， ∴G＝Gs60°＝ E＝ x，∴y＝ E•G＝ x2， 当x＝2 时，y＝ ，且抛物线的开口向上．如图2 所示：2＜x≤4 时，过点G 作G⊥BF 于． y＝ F•G＝ (4﹣x)2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：． 类型二、拱桥问题 例1．2022 年2 月，在北京冬奥会跳台滑雪中，中国选手谷爱凌、苏翊鸣夺金，激起了人 们对跳台滑雪运动的极大热情．某跳台滑雪训练场的横截面如图所示，以某一位置的水平 线为 轴，过跳台终点 作水平线的垂线为 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点 正上方4 米处 的点 滑出，滑出后沿抛物线 运动．当运动员从点 滑出运动到离 处的水平距离为4 米时，距离水平线的高度恰好为8 米． (1)求抛物线 的解析式(不要求写自变量 的取值范围)； (2)运动员从 点滑出后，当运动员距离点 的水平距离为多少米时，运动员达到最大高度， 此时，距离水平线的高度是多少米？ (3)运动员从 点滑出后，当运动员距离点 的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖 直距离达到最大值，最大值是多少米？ 【答】(1) ； (2)当运动员距离 的水平距离为米时，运动员达到最大高度，高度为 米； (3)当运动员距离 的水平距离为 米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值 为 米． 【解析】(1)解： 抛物线 经过点 ， ， ，解得 ． 抛物线 的解析式为： ． (2)解： ， 当运动员距离 的水平距离为米时，运动员达到最大高度，最大高度为 米． (3)解：设运动员与小山坡的竖直距离为，则 ， 当 时，取得最大值，最大值为 ． 当运动员距离 的水平距离为 米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值 为 米． 【变式训练1】鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时 刻的鹰眼系统预测画面(如图1)和截面示意图(如图2)，攻球员位于点，守门员位于点，的 延长线与球门线交于点B，且点，B 均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线． 已知B=28m，B=8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s(水平距离=水平速度×时间) 与离地高度的鹰眼数据如下表： s/m … 9 12 15 18 21 … /m … 42 48 5 48 42 … (1)根据表中数据预测足球落地时，s= m； (2)求关于s 的函数解析式； (3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度 不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为 25m/s，最大防守高度为25m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为18m． ①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明； ②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度． 【答】(1)30；(2) ； (3)①守门员不能成功防守；说明见解析；②守门员的最小速度为 m/s 【解析】(1)解：由函数图象信息可得：顶点坐标为： 所以预测足球落地时， 故答为：30 (2)解：由数据表得抛物线顶点(15，5)，故设解析式为 ， 把(12，48)代入 得 所以解析式为 ． (3)解：设守门员到达足球正下方的时间为t s． ①由题意得15t=20+25t，解得t= ，即s=24 m，把s=24 代入解析式得 ，而 ， 所以守门员不能成功防守． ②当=18m 且守门员刚好到达足球正下方时，此时速度最小．所以把=18 代入解析式得： 解得：s=27 或s=3(不合题意舍去) 所以足球飞行时间 ，守门员跑动距离为 (m)，所以守门员速度 为 m/s． 【变式训练2】图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时，小球的飞行 路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度(单位： )与飞行时间(单 位：)之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示． 根据相关信息解答下列问题． 飞行时间 0 1 2 飞行高度 0 15 20 (1)求小球的飞行高度(单位： )关于飞行时间(单位：)的二次函数关系式； (2)小球从飞出到落地要用多少时间？ (3)小球的飞行高度能否达到 ？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明 理由． 【答】(1) ；(2) ；(3)不能，理由见解析 【解析】(1)由题意可设关于的二次函数关系式为 ， 因为当 ，2 时， ，20，∴ ，解得： ． ∴关于的二次函数关系式为 ． (2)当 ， ，解得： ， ．∴小球从飞出到落地所用的时间为 ． (3)小球的飞行高度不能达到 ． 理由如下：当 时， ，方程即为 ， ∵ ，∴此方程无实数根． 即小球飞行的高度不能达到 ． 【变式训练3】如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一 部分。据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理 中的“杠杆原理”． 在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部(原点处)，石块从投石机竖 直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙B．已知，石块运动轨 迹所在抛物线的顶点坐标是 ， ， ， ， ． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙B； (3)分别求出 和 时，石块与斜坡在竖直方向上的最大距离． 【答】(1) ；(2)石块不能飞越防御墙B，见解析 (3) 时石块与斜坡在竖直方向上的最大距离为 米； 时石块与斜 坡在竖直方向上的最大距离为 米 【解析】(1) 抛物线的顶点坐标是 ， ， 设石块运行的函数关系式为y＝(x﹣50)2+25， 将 代入，得 ，解得 ， 抛物线的表达式为 ； (2) ，把x＝75 代入 ，得 ， ， ． ， 21 ∵ ＞20，∴石块不能飞越防御墙B． (3)解：设直线的解析式为y＝kx(k≠0)． ， ， 把(75，12)代入，得12＝75k，∴k＝ ． 故直线的解析式为y＝ x． 设直线上方的抛物线上的一点P 的坐标为(t， )． 过点P 作PQ⊥x 轴，交于点Q，则Q(t， )． ∴PQ＝ - ＝ ， ∴当t＝ 时，PQ 取最大值，最大值为 ． 在竖直方向上 ，石块与斜坡在竖直方向上的最大距离是 米． 当 时， 是对称轴， 时，石块与斜坡在竖直方向上的最大距离是 米． 【变式训练4】如图，篮球场上F 的长为25 米，篮球运动员小明站在左方的点处向右抛球， 球从离地面2 米的处抛出，球的运动轨迹可看作一条抛物线，在距点4 米的B 处达到最高 点，最高点距离地面4 米；篮球在点D 处落地后弹起，弹起后在点E 处落地，且弹起后的 轨迹与抛出后的轨迹形状相同，但高度减少为原来最大高度的一半．以点为坐标原点，建 立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线D 的函数表达式； (2)求篮球第二次落地点E 与点之间的距离； (3)若运动员小易在点E 处拿球前进到点G 处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3 米的地方 出手，球出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同，高度相等，并且恰好投入离地面3 米的篮筐中，求EG 的长？ 【答】(1) ；(2)177 米；(3)17 米 【解析】(1)解：设篮球开始飞出到第一次落地时抛物线的表达式为 ， ∵ ， ，∴ ， 由已知：当 时， ，即 ，∴ ， ∴抛物线 的函数表达式为 ； (2)解：令 ，则 ， 解得： ， (舍去)， ∴篮球第一次落地距点约97 米； 如图，第二次篮球弹出后的距离为DE， 根据题意： ，相当于将抛物线D 向下平移了2 个单位， ∴ ，解得： ， ， ∴ ，∴ (米)， ∴篮球第二次落地点E 距点的距离约为177 米； (3)解：∵运动员小易在点E 处拿球前进到点G 处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3 米的 地方出手，即此时 ，∴ ，解得 ， (舍去)， ∴ 米． 类型三、销售利润问题 例1．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50 元．规定每件售价不低于进货 价，经市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如表： 售价x(元/件) 55 65 75 销售量y(件) 1500 1300 1100 (1)求出y 与x 之间的函数表达式；(不需要求自变量x 的取值范围) (2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利30000 元，又想尽量给客户实惠，该如何给这 种衬衫定价？ (3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总 利润为(元)，求与x 之间的函数关系式，x 为多少时，有最大值，最大利润是多少？ 【答】(1)y＝﹣20x+2600；(2)80 元 (3)＝﹣20(x 90) ﹣ 2+32000；售价定为75 元时，可获得最大利润，最大利润是27500 元 【解析】(1)解：设y 与x 之间的函数关系式为 ，则 ，解得 ， ∴y 与x 之间的函数表达式是 ． (2)解：由题意知， ，解得 ， ∵尽量给客户优惠， ∴这种衬衫定价为80 元． (3)解：由题意可得， ， ∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价， ∴ ，解得 ， ∵ ，抛物线开口向下， ∴当x＝75 时，取得最大值，此时＝27500 元， ∴售价定为75 元时，可获得最大利润，最大利润是27500 元． 【变式训练1】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比肉粽的进价 每盒便宜10 元，某商家用8000 元购进的肉粽和用6000 元购进的豆沙粽盒数相同．在销售 中，该商家发现肉粽每盒售价50 元时，每天可售出100 盒；每盒售价提高1 元时，每天少 售出2 盒，设肉粽每盒售价x 元，y 表示该商家每天销售肉棕的利润(单位：元)． (1)肉粽和豆沙粽每盒的进价分别为多少元 (2)若每盒利润率不超过50%，问肉粽价格为多少元时，商家每天获利1350 元？ (3)若x 满足 ，求商家每天的最大利润． 【答】(1)肉粽每盒40 元，豆沙粽每盒30 元；(2)55 元；(3)1600 元 【解析】(1)解：设肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价 元． 则 ，解得 ，经检验 是方程的解， ． 答：肉粽每盒40 元，豆沙粽每盒30 元； (2)解：∵ 肉粽进价每盒40 元，每盒利润率不超过50%，∴ ， 由题意得， ，整理得， ，解得 (舍 去)， ． 答：肉粽价格为55 元时，商家每天获利1350 元； (3)解：设商家的利润为y 元，则 ， 配方得， ， ∵ 时，y 随x 的增大而增大， ， ∴当 时，y 取最大值， ．答：最大利润为1600 元． 【变式训练2】某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y(件)是售价 x(元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润(元)的三组对应值如表： 售价x(元/件) 60 70 80 周销售量y(件) 100 80 60 周销售利润(元) 200 0 2400 2400 (1)求y 关于x 的函数解析式； (2)直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值； (3)由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件 ，物价部门规定该商品售价不得超过 70 元/件，该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售 最大利润是2000 元，求m 的值． 【答】(1) ；(2)进价每件40 元，当 时，有最大值为 元；(3)5 【解析】(1)解：设 ，将 ， 分别代入得 解得： ，∴y 关于x 的函数解析式为 ． (2)设进价为z 元，则100(60-z)=2000,解得z=40， 故进价为40 元/件． ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ， ∴当 时， 有最大值为 元； (3) ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ， ∴当 时，随x 的增大而增大． 又∵ ，∴当 时， 有最大值： ．解得： ． 【变式训练3】冰墩墩和雪容融是2022 年北京冬季奥运会的吉祥物，据反馈冰墩墩、雪容 融玩偶一经上市，非常畅销，小许选两款玩偶各50 个，决定在店进行销售．售后统计，一 个冰墩墩玩偶利润为30 元/个，一个雪容融玩偶利润为5 元/个，调研发现：冰墩墩的数量 在50 个的基础上每增加3 个，平均每个利润减少1 元；而雪容融的利润始终不变；小许计 划第二次购进两种玩偶共100 个进行售卖．设冰墩墩的数量比第一次增加 个，第二次冰 墩墩售完后的利润为 元． (1)用含 的代数式表示第二次冰墩墩售完后的的利润 ； (2)如何安排购买方，使得第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答】(1) (2)购进冰墩墩62 个，雪容融38 个或购进冰墩墩63 个，雪容融37 个时，第二次售卖两种 玩偶的销售利润最大，最大利润是1802 元 【解析】(1)由题意，第二次购进冰墩墩的数量为(50+x)个，平均每个的利润减少 元，则 第二次冰墩墩售完后的的利润 ； 整理得： ． (2)第二次购进冰墩墩的数量为(50+x)个，第二次购买雪容融的数量为 个， ∴第二次售卖两种玩偶的销售利润 , ∴ , 由题意知，x 为正整数，所以当x=12 或13 时，最大，最大值为1802； 当x=12 时，50+x=62，50-x=38；当x=13 时，50+x=63，50-x=37； 即购进冰墩墩62 个，雪容融38 个或购进冰墩墩63 个，雪容融37 个时，第二次售卖两种 玩偶的销售利润最大，最大利润是1802 元． 【变式训练4】某商贸公司购进某种水果的成本为20 元/ ，经过市场调研发现，这种水 果在未来48 天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为 ( 为整数)，已知日销售量y(千克)与时间t(天)之间的变化规律符 合一次函数关系，且y 与t 的关系如表： 时间t(天) 1 3 6 10 2 0 40 … 日销售量 118 114 108 100 8 0 40 … (1)试求在第30 天的日销售量是多少？ (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 【答】(1)60 kg；(2)第10 天；1250 元 【解析】(1)设y＝kt+b，把t＝1，y＝118；t＝3，y＝114 代入得到： 解得 ，∴y＝﹣2t+120． 将t＝30 代入，得：y＝﹣2×30+120＝60．答：在第30 天的日销售量是60 kg． (2)设第t 天的销售利润为元． 当1≤t≤24 时，由题意 ， ∴t＝10 时，最大值为1250 元． 当25≤t≤48 时， ， ∵对称轴t＝58，＝1＞0， ∴在对称轴左侧随t 增大而减小， ∴t＝25 时，最大值＝1 085， 答：第10 天利润最大，最大利润为1250 元．