专题02 勾股定理实际应用的三种考法（原卷版）

专题02 勾股定理实际应用的三种考法 类型一、最短路径问题 例1．固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为 ，沿其相邻三个面的对 角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面 从点爬行到点B 的最短路程为（ ） ． B． ． D． 例2．如图，一大楼的外墙面 与地面 垂直，点P 在墙面上，若 米，点P 到 的距离是8 米，有一只蚂蚁要从点P 爬到点B，它的最短行程是（ ）米． ． B． ． D． 【变式训练1】如图，长方体的长为15m，宽为10m，高为20m，点B 离点5m，一只蚂蚁 如果要沿着长方体的表面从点爬到点B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ） m． ．25 B．20 ．24 D．10 【变式训练2】如图，在一个长B 为18m，宽D 为7m 的长方形草坪BD 上，放着一根长方 体的木块 ，已知木块的较长边与D 平行，横截是边长为2 米的正方形，一只蚂蚁从点爬过 木块到达处需要走的最短路程是 米． 【变式训练3】棱长分别为 两个正方体如图放置，点P 在 上，且 ， 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点P，需要爬行的最短距离是 ． 【变式训练4】问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80m，宽为50m 的长方形地毛毯 上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽 ，木块从正 面看是一个边长为20m 的等边三角形．求一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中 用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接 ． (2)线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是_____． (3)问题解决：如图②，展开图中 _____， _____． (4)这只蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程是_____． 类型三、特殊将军饮马问题 例．如图，圆柱形玻璃杯高为12m、底面周长为18m，在杯内离杯底4m 的点处有一滴蜂 蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4m 与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为 多少m？ 【变式训练1】如图， ， 两个工厂位于一段直线形河的异侧， 厂距离河边 ， B 厂距离河边 ，经测量 ，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理 厂 ． (1)设 ，请用 的代数式表示 的长； (2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂 的位置应怎样来确定此时需要管道多长？ (3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想 的最小值为多少？ 【变式训练2】如图，点 、 在直线 的同一侧， 于点 ， 于点 ， ， ．点 是直线 上的一个动点， 的最小值为 ， 的最大值为 ，则 的值为 ． 类型二、台阶问题 例．如图，是一段楼梯，高B 是15m，斜边是25m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要 地毯（ ） ．25m B．3m ．35m D．4m 【变式训练1】如图是楼梯的一部分，若 ， ， ，一只蚂蚁在处发现处 有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ） ． B．3 ． D． 【变式训练2】如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、 ，和B 是这 个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台 阶面爬行到点B 的最短路程为 dm． 课后训练 1．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12m，在容器内壁离容器底部 4 m 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 m 的点处，若 蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 m，则该圆柱底面周长为（ ）m． ．9 B．10 ．18 D．20 2．如图，在 中， ， ，点E 的边 上， ，点P 是线段上一动点，点F 是线段 上一动点， ．当 的值最小时， 3．在一张长 ，宽 的长方形纸片上，如图放置一根直棱柱的木块，它 的底面为正方形，它的侧棱平行且大于纸片的宽 ，一只蚂蚁从点处到点处走的最短路 程是 ，则该四棱柱的底面边长是 ． 4．棱长分别为 的两个正方体如图放置，点 ， ， 在同一直线上，顶点 在棱 上，点 是 的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点 爬到点 ，它爬行的最短距 离是 ． 5．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长 度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿B 剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B 绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是多少？