专题02 勾股定理实际应用的三种考法（解析版）

专题02 勾股定理实际应用的三种考法 类型一、最短路径问题 例1．固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为 ，沿其相邻三个面的对 角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面 从点爬行到点B 的最短路程为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为 ，将图②展开，连接 交 于点 ， 线段 的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可知： 为等边三角形， 为等腰直角三角形， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵正方体的棱长为 ， ∴ ， ， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ； 故选 【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键，是将立体图像展开，根据两点之间线段 最短，确定最短路径． 例2．如图，一大楼的外墙面 与地面 垂直，点P 在墙面上，若 米，点P 到 的距离是8 米，有一只蚂蚁要从点P 爬到点B，它的最短行程是（ ）米． ． B． ． D． 【答】D 【分析】可将室的墙面 与地面 展开，连接 ，根据两点之间线段最短，利用 勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过P 作 于G，连接 ， （米）， （米）， （米）， （米）， （米） 这只蚂蚁的最短行程应该是 米， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通 常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 【变式训练1】如图，长方体的长为15m，宽为10m，高为20m，点B 离点5m，一只蚂蚁 如果要沿着长方体的表面从点爬到点B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ） m． ．25 B．20 ．24 D．10 【答】 【分析】分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结B；把右侧面展开到正面上， 连结B，；把向上的面展开到正面上，连结B；然后利用勾股定理分别计算各情况下的B， 再进行大小比较． 【详解】把左侧面展开到水平面上，连结B，如图1 把右侧面展开到正面上，连结B，如图2 把向上的面展开到正面上，连结B，如图3 ∵ ∴ ∴需要爬行的最短距离为25m 故选：． 【点睛】本题考查了平面展开及其最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形 后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直 角三角形解决问题． 【变式训练2】如图，在一个长B 为18m，宽D 为7m 的长方形草坪BD 上，放着一根长方 体的木块 ，已知木块的较长边与D 平行，横截是边长为2 米的正方形，一只蚂蚁从点爬过 木块到达处需要走的最短路程是 米． 【答】 【分析】解答此题要将木块表面展开，再构建直角三角形，然后根据两点之间线段最短， 再利用勾股定理进行解答． 【详解】解：如图，由题意可知，将木块展开， 展开图的长相当于是B+2 个正方形的宽， ∴长为18+2×2=22 米；宽为7 米． 于是最短路径为： （米）． 故答为： ． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，两点之间线段最短的性质，勾股定理的应用， 有一定的难度，要注意培养空间想象能力． 【变式训练3】棱长分别为 两个正方体如图放置，点P 在 上，且 ， 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点P，需要爬行的最短距离是 ． 【答】 m． 【分析】求出两种展开图 的值，比较即可判断； 【详解】解：如图，有两种展开方法： 方法一∶ ， 方法二∶ ． 故需要爬行的最短距离是 m． 故答为： m． 【点睛】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中 考常考题型． 【变式训练4】问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80m，宽为50m 的长方形地毛毯 上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽 ，木块从正 面看是一个边长为20m 的等边三角形．求一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中 用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接 ． (2)线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是_____． (3)问题解决：如图②，展开图中 _____， _____． (4)这只蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程是_____． 【答】(1)见解析； (2)两点之间线段最短； (3)120m，50m； (4)130m 【分析】（1）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接 即 可； （2）根据题（1）即可求解； （3）根据题意可得，展开图中 等于长方形地毛毯的长和两个三角形边长之和，展开图 中 等于长方形地毛毯的宽； （4）根据勾股定理计算 的长即可求解． 【详解】（1）如图所示即为所求： （2）线段 的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短， 故答为：两点之间线段最短； （3）根据题意可得：展开图中的 m， m． 故答为：120m，50m； （4）由题（1）可得：在Rt 中， 由勾股定理可得： m， 故答为：130m． 【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养 空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短． 类型三、特殊将军饮马问题 例．如图，圆柱形玻璃杯高为12m、底面周长为18m，在杯内离杯底4m 的点处有一滴蜂 蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4m 与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为 多少m？ 【答】15m 【分析】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作点关于DF 的对称点B，分别连接BD、B，过点作E⊥D 于点E，则B 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 根据勾股定理即可求得B 的长． 【详解】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作点关于DF 的对称点B，分别连接BD、B，过点作E⊥D 于点E，如图所示 则DB=D=4m 由题意及辅助线作法知，M 与分别为G 与DF 的中点，且四边形ME 为长方形 ∴E=M=9m，E=M=4m ∴DE=D－E=12－4=8(m) ∴BE=DE+DB=8+4=12(m) 在Rt△BE 中，由勾股定理得： 即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15m 【点睛】本题考查了勾股定理，两点间线段最短，关键是把空间问题转化为平面问题解决， 这是数学上一种重要的转化思想． 【变式训练1】如图， ， 两个工厂位于一段直线形河的异侧， 厂距离河边 ， B 厂距离河边 ，经测量 ，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理 厂 ． (1)设 ，请用 的代数式表示 的长； (2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂 的位置应怎样来确定此时需要管道多长？ (3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想 的最小值为多少？ 【答】(1) (2)连接 与 的交点就是污水处理厂 的位置，此时最少需要管道 (3) 的最小值为 【分析】（1）在 和 中，根据勾股定理可得 ， 的长，进而即可求解； （2）连接 与 的交点就是污水处理厂 的位置，过点 作 ⊥ 于 ，在 △ 中，勾股定理即可求解； （3）当 、 、 共线时，求出 的值即为原式的最小值，在 △ 中，勾股定理即 可求解． 【详解】（1）解：在 和 中，根据勾股定理可得 ， ， ∴ ， （2）根据两点之间线段最短可知，连接 与 的交点就是污水处理厂 的位置． 过点 作 ⊥ 于 ，则有 ， ． ． 在 △ 中， ， 此时最少需要管道 ． （3）根据以上推理，可作出下图， 设 ， ， ， ， 当 、 、 共线时，求出 的值即为原式的最小值． 在 △ 中， ， ， 由勾股定理可得： ， 的最小值为 ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【变式训练2】如图，点 、 在直线 的同一侧， 于点 ， 于点 ， ， ．点 是直线 上的一个动点， 的最小值为 ， 的最大值为 ，则 的值为 ． 【答】 【分析】作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，则点 即为所求点，过 点 作 的延长线于点 ，则 的长即为 的最小值，利用勾股定理即 可求出 的长即 的值，延长 交 于点 ，当 移动到 点时， 值最大， 过点 作 ，利用勾股定理即可求出 的长即 的值，最后求出结果即可． 【详解】解：如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ， 则点 即为所求点， 过点 作 的延长线于点 ，则 的长即为 的最小值为， ， ， ， ， 的最小值为 ， 如图，延长 交 于点 ， ， ， 当 移动到 点时， 值最大， ， ， 过点 作 ，则 ， ， ， ， 的最大值为 ， ， 故答为： ． 【点睛】本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边 关系是解答此类问题的关键． 类型二、台阶问题 例．如图，是一段楼梯，高B 是15m，斜边是25m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要 地毯（ ） ．25m B．3m ．35m D．4m 【答】 【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股 定理求得B，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： B= 因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和 所以地毯的长度至少是15+2=35（m） 故选． 【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理 【变式训练1】如图是楼梯的一部分，若 ， ， ，一只蚂蚁在处发现处 有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ） ． B．3 ． D． 【答】D 【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩 形，蚂蚁要从点到点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答． 【详解】解：将台阶展开，如图， 因为D=E+BE=3+1=4，D=2， 所以2=D2+D2=20， 所以= ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长 方形的长和宽是解题的关键． 【变式训练2】如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、 ，和B 是这 个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台 阶面爬行到点B 的最短路程为 dm． 【答】17 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为 ， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm， 由勾股定理得： ， 解得 ． 故答为：17． 【点睛】本题考查了平面展开 最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判 断出长方形的长和宽即可解答． 课后训练 1．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12m，在容器内壁离容器底部 4 m 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 m 的点处，若 蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 m，则该圆柱底面周长为（ ）m． ．9 B．10 ．18 D．20 【答】 【分析】将容器侧面展开，建立关于上边沿的对称点’，根据两点之间线段最短可知’B 的长 度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2 即为 所求． 【详解】解：如图， 将容器侧面展开，作关于EF 的对称点 ，连接 ，则 即为最短距离， 根据题意： ， ， ． 所以底面圆的周长为9×2=18m 故选：． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股 定理进行计算是解题的关键． 2．如图，在 中， ， ，点E 的边 上， ，点P 是线段上一动点，点F 是线段 上一动点， ．当 的值最小时， 【答】 10 / 【分析】根据勾股定理即可求出 ；作点E 关于 的对称点 ，过点 作 于 点F，交 于点P，通过证明 得出 ， ，进而得出 ，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：在 中，由勾股定理可得： ， 作点E 关于 的对称点 ，过点 作 于点F，交 于点P． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理可得： ， 即 ，解得： ．故答为：10， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾 股定理，根据题意做出辅助线构建全等三角形，根据勾股定理列出方程求解． 3．在一张长 ，宽 的长方形纸片上，如图放置一根直棱柱的木块，它 的底面为正方形，它的侧棱平行且大于纸片的宽 ，一只蚂蚁从点处到点处走的最短路 程是 ，则该四棱柱的底面边长是 ． 【答】1 【分析】将直棱柱两侧面展开拼接在长方形纸片上，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图所示，将直棱柱两侧面展开拼接在长方形纸片上， 即为最短路径， 设四棱柱的底面边长是 ，根据勾股定理得 ， 则 ， 解方程得 或 （舍去）， 故四棱柱的底面边长是1 ， 故答为：1． 【点睛】本题考查了勾股定理、最短路径问题、直棱柱侧面展开图等知识，根据勾股定理 列方程是解题关键． 4．棱长分别为 的两个正方体如图放置，点 ， ， 在同一直线上，顶点 在棱 上，点 是 的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点 爬到点 ，它爬行的最短距 离是 ． 【答】 【分析】分两种情况展开，求最短距离，情况一：将 翻折至和 共面，使得 点和点P 在同一平面，连接两点即为最短距离；情况二，求出最短距离，然后进行比较即 可得出。 【详解】情况一:如下图，将 翻折至和 共面，过点P 作E 的垂线交E 于点 M，连接P ∵两个正方体的棱长分别为 B=8m ∴ ，BE=MP=6m ∵点P 是 的中点 EM=3m ∴ M=8+6+3=17m ∴ ∴在Rt MP △ 中，P= 情况二:如下图展开 则E=8+6=14m EP=6+3=9m ∴在Rt EP △ 中, P= ∵ ＜ ∴最短距离为 故答为： 【点睛】本题考查勾股定理在实际中的应用，当求立体图形两点间最短距离时，我们通常 将这两点先想办法转化到同一个平面内 5．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长 度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿B 剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B 绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是多少？ 【答】(1)；(2) ；(3) 【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在 求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点B 绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及 的高为直角三 角形的斜边长的4 倍． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形， 展开应该是两线段，且有公共点 ． 故选：； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为 的长度． 圆柱底面的周长 ，圆柱的高 ， 该长度最短的金属丝的长为 ． （3）解：若将金属丝从点B 绕四圈到达点， 则所需金属丝最短长度是以周长及 的高为直角三角形的斜边长的4 倍： ． 【点睛】本题考查了平面展开 最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一 个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成 矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．