模型15 全等三角形——雨伞模型-解析版

全等三角形 模型（十五）——雨伞模型 【条件】P 是∠B 的平分线，B⊥P 【结论】①△B △D ≌ ，②B=D，③B=D 角平分线＋垂直＝延长 【证明】延长B 交于D， 在△B 和△D 中 ∠B＝∠D ＝ ∠B＝∠D ∴△B≌△D B ∴＝D,B＝D 1．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）如图， B 中，＝B，∠B＝90°，D 平分∠B 交B 于点D，过点B 作BE⊥D， 交D 延长线于点E，F 为B 的中点，连接F，交D 于点G，连接BG． （1）线段BE 与线段D 有何数量关系？并说明理由； 角平分线+垂线,轻轻延长等腰现 （2）判断 BEG 的形状，并说明理由． 【答】（1）BE＝ D，见解析；（2） BEG 是等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）延长BE、交于点，先证明△BE≌△E，得BE＝E＝ B，再证明△B≌△D，得B＝D，则BE＝ D； （2）先证明F 垂直平分B，则G＝BG，再证明∠B＝∠B＝45°，则∠GB＝∠GB＝225°，于是∠EGB＝∠GB+∠GB＝ 45°，可证明△BEG 是等腰直角三角形． 【详解】证：（1）BE＝ D，理由如下： 如图，延长BE、交于点， ∵BE⊥D， ∴∠EB＝∠E＝90°， ∵D 平分∠B， ∴∠BE＝∠E， 在△BE 和△E 中， ， ∴△BE≌△E（S）， ∴BE＝E＝ B， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝180°﹣∠B＝90°＝∠D， ∴∠B＝90°﹣∠＝∠D， 在△B 和△D 中， ， ∴△B≌△D（S）， ∴B＝D， ∴BE＝ D． （2）△BEG 是等腰直角三角形，理由如下： ∵＝B，F＝BF， ∴F⊥B， ∴G＝BG， ∴∠GB＝∠GB， ∵＝B，∠B＝90°， ∴∠B＝∠B＝45°， ∴∠GB＝ ∠B＝225°， ∴∠GB＝∠GB＝225°， ∴∠EGB＝∠GB+∠GB＝45°， ∵∠BEG＝90°， ∴∠EBG＝∠EGB＝45°， ∴EG＝EB， ∴△BEG 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质， 并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键． 2．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线 分别交x 轴、y 轴于 两点， 且 满足 ，且 是常数，直线 平分 ，交x 轴于点D． （1）若 的中点为M，连接 交 于点，求证： ； （2）如图2，过点作 ，垂足为E，猜想 与 间的数量关系，并证明你的猜想． 【答】（1）见解析；（2） ,证明见解析． 【分析】（1）由已知条件可得 ，进而得 ，由直线 平分 及直角三角形斜边上中 线的性质得 ，再由三角形的外角定理，分别求得 ，根据角度的等量代换，即可得 ，最后由等角对等边的性质即可得证； （2）如图，延长 交 轴于点 ，先证明 ，得 ，再证明 ，即可得 ． 【详解】（1） ， ， ， ， 直线 平分 ， ， 为 的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． （2） ， 证明：如图，延长 交 轴于点 ， 直线 平分 ， ， ， ， 又 ， （S）， ， ， ， 即 ， ， 又 ， （S）， ， 即 ． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的定义，非负数之和为零，三角形角平分线的定义，三角形中线的性质，三 角形外角定理，三角形全等的性质与判定，等角对等边，熟练掌握以上知识，添加辅助线是解题的关键． 1．（2022·广东·丰顺县小胜中学九年级开学考试）如图，在△B 中，点D 为边B 的中点，点E 在△B 内，E 平分 ∠B，E E ⊥ 点F 在B 上，且BF=DE （1）求证：四边形BDEF 是平行四边形 （2）线段B，BF，之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论 【答】（1）见解析；（2） ，理由见解析 【分析】（1）延长E 交B 于点G，证明 ，得E 为中点，通过中位线证明DE B，结合BF=DE，证 明BDEF 是平行四边形 （2）通过BDEF 为平行四边形，证得BF=DE= BG，再根据 ，得=G，用B-G=BG，可证 【详解】（1）证明：延长E 交B 于点G E ∵ E ∴ 在 和 ∴ GE=E ∴ BD=D ∵ DE ∴ 为 的中位线 DE ∴ B DE=BF ∵ ∴四边形BDEF 是平行四边形 （2） 理由如下： ∵四边形BDEF 是平行四边形 BF=DE ∴ D ∵，E 分别是B，G 的中点 BF=DE= ∴ BG ∵ G= ∴ BF= （B-G）= （B-）． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助 线，是解题的关键． 2．（2022·江苏·八年级专题练习）已知，如图 中， ， ， 的平分线 交 于点 ， ， 求证： 【答】见解析 【分析】延长BD 交的延长线于F，先证得△E BF ≌△ ，得出E=BF；再证△BD FD ≌△ ，得出BD=DF；由此得出结论即 可． 【详解】证明：如图， 延长 交 的延长线于 ， 平分 【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键． 1．在△B 中，B=，将线段绕着点逆时针旋转得到线段D，旋转角为 ，且 ，连接D、BD． （1）如图1，当∠B=100°， 时，∠BD 的大小为_________； （2）如图2，当∠B=100°， 时，求∠BD 的大小； （3）已知∠B 的大小为m（ ），若∠BD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出 的大小． 【答】（1）30°；（2）30°；（3） 为 或 或 ． 【分析】（1）由 ， ，可以确定 ，旋转角为 ， 时 是等边 三角形，且 ，知道 的度数，进而求得 的大小； （2）由 ， ，可以确定 ，连接 、 ． ， ， ，由 ．依次证明 ， ．利用角度相等可以 得到答． （3）结合（1）（2）的解题过程可以发现规律， 是等边三角形时， 在 内部时， 在 外部 时，求得答． 【详解】解：（1）解（1）∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ 为等边三角形， ∴ ． 又∵ ， ∴ 为等腰三角形， ∴ ， ∴ ． （2）方法1：如图作等边 ，连接 、 ． ， ． ， ， ． ， ． ．① ， ， ．② ，③ 由①②③，得 ， ， ． ， ， ． ， ， ． ． ．④ ， ， ．⑤ ，⑥ 由④⑤⑥，得 ． ． ． ． ． 方法2 如下图所示，构造等边三角形DE，连接E． ∵在等腰三角形D 中， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 可证 ． 结合角度，可得 ， ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 方法3 如下图所示，平移D 至E，连接ED，EB，则四边形DE 是平行四边形． ∵ ， ∴四边形DE 是菱形， ∴ ， ． ∴ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， 是等腰三角形， ∴ ， ， ∴ ． ∴ ． （3）由（1）知道，若 ， 时，则 ； ①由（1）可知，设 时可得 ， ， ， ． ②由（2）可知，翻折 到△ ，则此时 ， ， ， ③以 为圆心 为半径画圆弧交 的延长线于点 ，连接 ， ， ． 综上所述， 为 或 或 时， ． 【点睛】本题是一道几何结论探究题，解答这类题目的关键是要善于从探究特殊结论中归纳出一般性解题方法， 并灵活运用这种方法解答一般性的问题，真正达到举一反三的目的．