模型16 全等三角形——半角模型-解析版

全等三角形 模型（十六）——半角模型 一：正方形中的半角模型 【条件】如图①两个角共顶点，②其中一个角（45）是另一个角（90）的一半 【结论】①EF=BE+DF ①∶延长B 至点P，使得BP=DF 连接P, 第一次全等 第二次全等 在△BP 和△DF 中 在△EP 和△EF 中 B=D（正方形边长相等） P=F ∠BP=∠DF=90º ∠PE=∠FE BP=DF（构造） E=E △BP △DF ∴ ≌ （SS） ∴△EP △EF ≌ （SS） P=F ∴ ，∠1=∠2 PE=EF ∴ ∠2+∠3=45º ∵ 即PB+BE=EF ∠1+∠3=45º, DF+BE =EF ∴ ∴ ∠PE=∠FE ∴ E ② 平分∠BEF，F 平分∠DFE 由①得： △EP △EF ≌ ， 则∠4=∠5，∠FE=∠P 又△PB △FD ≌ ， ∠P=∠FD ∴ ， ∠FE=∠FD ∴ E ∴ 平分∠BEF，F 平分∠DFE △EF ③ 的周长等于正方形边长的2 倍 ③由①得：EF=BE+DF， △EF ∴ 的周长＝EF+E+F＝BE+DF+E+F =B+D， △EF ∴ 的周长等于正方形边长的 ④如图：作M⊥EF ,则M=B 过作M⊥EF， 则∠ME=∠B=90 由①得∠1=∠2，E=E， △BE △ME ∴ ≌ （S） M=B ∴ ⑤如图： ∠EF=45º，则EF²=BE²+F² 【证明】 如图，过点 作P⊥F 且P=F 连接PE ∠B= ∠PF=90º ∵ ，∠1=∠2 第一次全等 第二次全等 在△BP 和△F 中 在△EP 和△EF 中 B= P=F ∠2=∠1 ∠PE=∠FE P=F E=E △BP △F ∴ ≌ （SS） ∴△EP △EF ≌ （SS） BP=F ∴ ，∠BP=∠=45º PE=EF ∴ ∠EF=45º ∵ 在Rt△PBE 中，PE²=PB²+BE² ∠1+∠3=45º, ∴ 即EF²=F²+BE² ∠2+∠3 =45º ∴ 二：等腰三角形中的半角模型 【条件】 如图，△B 是等边三角形，△BD 是等腰三角形， 且∠BD=120°，∠MD=60º， 【结论】①M= BM+; ②△M 的周长等于△B 边长的 2 倍; ③MD 是∠BM 的平分线，D 是∠M 的平分线 【证明】∵△BD 是等腰三角形，且∠BD=120°， ∴∠BD=∠DB=30° 见半角，旋全角，盖半角，得半角。 ∵△B 是等边三角形， ∴∠B = ∠B = ∠B=60°, ∴∠DB= ∠D=90° 延长 B 至点F，使BF=，连接DF， 如图在△BDF 和△D 中，DB=D,∠DBF=∠D,BF=, △BDF △D(SS ∴ ≌ ）， ∠BDF=∠D,∠F=∠D,DF=D ∴ ∠MD=60°, ∠BDM+∠D=60°, ∠BDM+∠BDF=60° ∵ ∴ ∴ ， 即∠FDM=60°=∠MD 在△DM 和△DMF 中，D=DF,∠MD= ∠MDF, DM=DM, △DM △DMF ∴ ≌ （SS）， M=MF=BM+, ∴ ∠F=∠MD=∠D，∠FMD=∠DM， △M ∴ 的周长是 M＋＋M=M＋MB＋＋=B＋=2 边长 三：对角互补且邻边相等的半角模型 【条件】如图，∠B＋∠D=180°，∠BD= 2∠EF，B=D， 【结论】①EF=BE+FD; ②E 是∠BEF 的平分线，F 是∠DFE 的平分线 1．（2022·山东·龙口市培基学校八年级期中）如图，正方形BD 的边长为6，点E，F 分别在边B，B 上，若F 是B 的中点，且∠EDF＝45°，则DE 的长为 _____． 【答】2 【分析】延长B 到点G，使G=F，连接DG，EF，利用SS 证明△DG≌△DF，得∠DF=∠GD，DG=DF，再证明 △GDE≌△FDE（SS），得GE=EF，设E=x，则BE=6 x，EF=x+3，再利用勾股定理解决问题． 【详解】解：延长B 到点G，使G＝F，连接DG，EF， ∵D＝D，∠DG＝∠DF， ∴△DG≌△DF（SS）， ∴∠DF＝∠GD，DG＝DF， ∵∠EDF＝45°， ∴∠EDG=∠DE+∠DG＝∠DE+∠DF＝45°， ∵DE＝DE， ∴△GDE≌△FDE（SS）， ∴GE＝EF， ∵F 是B 的中点， ∴G=F=BF=3， 设E＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3， 由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2， 解得x＝2， ∴E＝2， ∴DE＝ ， 故答为：2 ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型的处理 策略是解题的关键． 2．（2021·全国·九年级专题练习）在 中， ，点 在 边上， ．若 ，则 的长为__________． 【答】 【分析】将E 绕点顺时针旋转90°得到G，连接GB，GF，可得△E≌△BG，从而得FG2＝E2＋BF2，再证明 △EF≌△GF，从而得EF2＝E2＋BF2，进而即可求解． 【详解】解：将E 绕点顺时针旋转90°得到G，连接GB，GF， ∵∠BE＋∠E＝∠BG＋∠BE＝90° ∴∠E＝∠BG． ∵在△E 与△BG 中， ∵ ， ∴△E≌△BG（SS）， ∴∠＝∠BG＝45°，E＝BG， ∴∠FBG＝∠FB＋∠BG＝90°． 在Rt△FBG 中，∠FBG＝90°， ∴FG2＝BG2＋BF2＝E2＋BF2． 又∵∠EF＝45°， ∴∠FG＝∠EG−∠EF＝45°＝∠EF． ∵在△EF 与△GF 中， ， ∴△EF≌△GF（SS）． ∴EF＝GF， ∴EF2＝E2＋BF2， ∵ ， BF= ∴ ， 故答是： ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及旋转变换，二次根式的化简，通过旋转变换，构造全等三角 形，是解题的关键． 1．（2022·浙江·南海实验学校旌旗山初中校区八年级期末）已知：边长为4 的正方形BD，∠EF 的两边分别与射线 B、D 相交于点E、F，且∠EF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形BD 中，B＝D，∠BD＝∠B＝∠D＝90°， ∴把△BE 绕点逆时针旋转90°至△DE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'F＝ 度，…… 根据定理，可证：△EF≌△E'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E 在线段B 的延长线上，探究EF、BE、DF 之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△B 中，B＝，D、E 在B 上，∠B＝2∠DE．若S△B＝14，S△DE＝6，求线段BD、DE、E 围成的三角 形的面积． 【答】(1)45 (2)DF＝BE+EF，证明见解析 (3)2 【分析】（1）把 绕点 逆时针旋转 至 ，则 、 、 在一条直线上， ，再证 △ ，得 ，进而得出结论； （2）将 绕点 逆时针旋转 得到 ，由旋转的性质得 ，再证 △ ，得 ，进而得出结论； （3）将 绕点 逆时针旋转得到 ，连接 ，则 ，得 ，因此 ，同（2）得 △ ，则 ， ，得 、 、 围成的三角形 面积 ，即可求解． （1） 解：如图1，∵正方形BD 中，B＝D，∠BD＝∠B＝∠D＝90°， ∴把△BE 绕点逆时针旋转90°至 ， 则F、D、 在一条直线上， ≌△BE， ∴ ＝BE，∠ ＝∠BE， ＝E， ∴∠ ＝∠ED+∠ ＝∠ED+∠BE＝∠BD＝90°， 则∠ ＝∠ ﹣∠EF＝45°， ∴∠EF＝∠ ， ∴△EF≌△ （SS）， ∴ ， ∵ ， ∴EF＝BE+DF． 故答为：45； （2） 解：DF＝BE+EF 理由如下： 将△BE 绕点逆时针旋转90°得到△ ， ∴△ ≌△BE， ∴E＝ ，BE＝ ，∠ ＝∠BE， ∴∠ ＝∠BE+∠ ＝∠ +∠ ＝∠BD＝90°， 则∠ ＝∠ ﹣∠EF＝45°， ∴∠ ＝∠EF＝45°， 在△EF 和△ 中， ， ∴△EF≌△ （SS）， ∴ ， ∵ ， ∴DF＝BE+EF； （3） 解：将△BD 绕点逆时针旋转得到△ ，连接 ， 则△ ≌△BD， ∴D'＝BD， ∴ ， 同（2）得：△DE≌△ （SS）， ∴ ， ， ∴BD、DE、E 围成的三角形面积为 、 、E 围成的三角形面积 ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角 形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考 题型． 2．（2022·陕西西安·七年级期末）问题背景： 如图1，在四边形BD 中 ， ， ，E、F 分别是B，D 上的点，且∠EF＝60°，探 究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G，使DG＝BE，连接 G，先证明 ，再证明 ，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化BD，四周修有步行小径，且B＝D，∠B＋∠D＝180°，在小径B，D 上 各修一凉亭E，F，在凉亭E 与F 之间有一池塘，不能直接到达，经测量得 ，BE＝10 米，DF＝15 米，试求两凉亭之间的距离EF． 【答】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之间的距离EF 为25 米 【分析】（1）根据△BE≌△DG 可得BE=DG，根据△EF≌△GF 得EF=GF，进而求得结果； （2）延长D 至，使D=BE，可证得△D≌△BE，进而证得△F≌△FE，进一步求得EF． 【详解】解：问题背景：∵∠D=90°，∠D+∠DG=180°， ∴∠DG=90°， 在△BE 和△DG 中， ， ∴△BE≌△DG（SS）， ∴E=G，∠BE=∠DG， ∵∠EF=60°，∠BD=120°， ∴∠BE+DF=120°-60°=60°， ∴∠GF=∠DG+∠DF=∠BE+∠DF=60°=∠EF， 在△EF 和△GF 中， ， ∴△EF≌△GF（SS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， 故答为：EF=BE+DF； 实际应用：如图2，延长D 至，使D=BE，连接， ∵∠B+∠D=180°，∠D+∠D=180°， ∴∠D=∠B， 在△D 和△BE 中， ， ∴△D≌△BE（SS）， ∴E=，∠BE=∠D， ∵∠EF= ∠BD， ∴∠F=∠D+∠DF=∠BE+∠DF=∠BD-∠EF=∠EF， 在△EF 和△F 中， ， ∴△EF≌△GF（SS）， ∴EF=F， ∵F=D+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， ∵BE=10 米，DF=15 米， ∴EF=10+15=25（米）． 【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形 并两次证全等是解题的关键． 3．（2022·江苏·八年级专题练习）问题情境 在等边△B 的两边B，上分别有两点M，，点D 为△B 外一点，且∠MD＝60°，∠BD＝120°，BD＝D． 特例探究 如图1，当DM＝D 时， （1）∠MDB＝ 度； （2）M 与BM，之间的数量关系为 ； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠D 时，在的延长线上取点E，使E＝BM，连接DE，猜想M 与BM，之间的数量关系，并加 以证明． 拓展应用 （4）△M 的周长与△B 的周长的比为 ． 【答】（1）30；（2）M＝BM+；（3）M＝BM+，证明见解析；（4） 【分析】（1）先证明△MD 是等边三角形，则M＝DM＝D，再证明Rt△DBM≌Rt△D（L），得∠BDM＝∠D＝30°； （2）由（1）得DM＝2BM，可得结论M＝2BM＝BM+； 归纳证明：先证△DBM≌△DE（L），得DM＝DE，∠BDM＝∠DE，再证△MD≌△ED（SS），得M＝E，可得结论M ＝BM+； 拓展应用： （3）首先根据题意利用SS 证明△DBM≌△DE，然后证明△MD≌△ED，根据全等三角形对应相等通过线段之间的转 化即可得到M＝BM+； （4）由（3）得到M＝BM+，则△M 的周长＝2B，△B 的周长＝3B，即可得出结论． 【详解】特例探究： 解：（1）∵DM＝D，∠MD＝60°， ∴△MD 是等边三角形， ∴M＝DM＝D， ∵∠BD＝120°，BD＝D， ∴∠DB＝∠DB＝30°， ∵△B 是等边三角形， ∴∠B＝∠B＝60°， ∴∠DBM＝∠D＝90°， ∵BD＝D，DM＝D， ∴Rt△DBM≌Rt△D（L）， ∴∠MDB＝∠D＝30°， 故答为：30； （2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝M，Rt△DBM≌Rt△D（L）， ∴BM＝， ∴DM＝M＝2BM＝BM+， 即M＝BM+； 归纳证明 （3）解：猜想：M＝BM+，证明如下： ∵△B 是等边三角形， ∴∠B＝∠B＝60°， ∵BD＝D，∠BD＝120°， ∴∠DB＝∠DB＝30°， ∴∠MBD＝∠D＝90°． ∴∠MBD＝∠ED＝90°， 又∵BD＝D，BM＝E， ∴△DBM≌△DE（SS）， ∴DM＝DE，∠MDB＝∠ED， ∵∠MD＝60°，∠BD＝120°， ∴∠MDB+∠D＝60°， ∴∠ED＝∠D+∠ED＝∠MDB+∠D＝60°， ∴∠ED＝∠MD， 又∵D＝D， ∴△MD≌△ED（SS）， ∴M＝E＝E+＝BM+； 拓展应用 （4）解：由（1）（2）得：M＝BM+， ∴△M 的周长＝M+M+＝M+BM++＝B+＝2B， ∵△B 是等边三角形， ∴B＝B＝， ∴△B 的周长＝3B， ∴△M 的周长与△B 的周长的比为 ＝ ， 故答为： ． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形 的性质，全等三角形的判定和性质． 1．（1）如图①，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且 ．请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系：__________； （2）如图②，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且 ，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 所在直线上的点，且 ．请画出图形（除图②外），并直接写出线段 ， ， 之间的数量关系． 【答】（1） ；（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析， 【分析】（1）延长EB 到G，使BG=DF，连接G．证明△GE 和△EF 全等，则EF=GE，则EF=BE+DF，证明△BE 和△EF 中全等，那么G=F，∠1= 2 ∠，∠1+ 3= 2+ 3= ∠ ∠ ∠ ∠EF= ∠BD．从而得出EF=GE； （2）思路和作辅助线的方法同（1）； （3）根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF． 【详解】（1）延长 至 ，使 ，连接 ， ∵ ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ∵ ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故答为： （ ）（）中的结论仍成立， 证明：延长 至 ，使 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， , ∵ ， ∴ ， ∴ 即 ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ，即 ． （） ， 证明：在 上截取 使 ， 连接 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确的 全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形 2．如图，在等边三角形B 中，点E 是边上一定点，点D 是直线B 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF，连 接F． （1）如图1，若点D 在边B 上，直接写出E，F 与D 之间的数量关系； （2）如图2，若点D 在边B 的延长线上，请探究线段E，F 与D 之间存在怎样的数量关系？并说明理由； （3）如图3，若点D 在边B 的延长线上，请直接写出E，F 与D 之间的数量关系． 【答】（1）E＋F＝D；（2）F＝E＋D，理由见解析；（3）D＝E＋F 【分析】（1）在D 上截取=E，易证 E 是等边三角形，得E=E=，证明 DE≌ FE，得D=F，即可得出结论； （2）先证 GE 为等边三角形，再证 EGD≌ EF，得到GD＝F，又因为GD＝G＋D，得F＝G＋D，则F＝E＋ D； （3）先证 GE 为等边三角形，再证G＝E＝EG， ∠GE＝60°，ED＝EF，∠DEG＝∠FE，得 EGD≌ EF，则GD ＝F，即可得到E +F＝D． 【详解】（1）证明：E+F=D， 理由如下：在D 上截取=E，连接E，如图1 所示： ∵ B 是等边三角形， ∴∠E=60°， ∴ E 是等边三角形， ∴E=E=，∠E=60°， ∵ DEF 是等边三角形， ∴DE=FE，∠DEF=60°， ∴∠DE+∠EF=∠FE+∠EF=60°， ∴∠DE=∠FE， 在 DE 和 FE 中， ， ∴ DE≌ FE（SS）， ∴D=F， ∴D=+D=E+F， ∴E+F=D； （2）解：F＝E＋D 理由如下： ∵ B 是等边三角形， ∴∠＝∠B＝∠B＝60°， 作 ，交B 于点G，如图2 所示 ∴∠EG＝∠B＝60°，∠GE＝∠＝60°， ∴∠EG＝∠GE＝∠B＝60°， ∴ GE 为等边三角形， ∴G＝E＝EG， ∵ EDF 为等边三角形， ∴ED＝EF，∠DEF＝60°， ∴∠DEG＝∠FE， ∴ EGD≌ EF（SS）， ∴GD＝F， 又GD＝G＋D ∴F＝E＋D． （3）∵ B 是等边三角形， ∴∠＝∠B