专题10 一次函数的三种压轴应用问题（教师版）

专题10 一次函数的三种压轴应用问题 类型一、分配方问题 例．某水果超市欲购进甲，乙两种水果进行销售．甲种水果每千克的价格为元，如果一次 购买超过40 千克，超过部分的价格打八折，乙种水果的价格为26 元/千克．设水果超市购 进甲种水果x 千克，付款y 元，y 与x 之间的函数关系如图所示． (1)＝____ (2)求y 与x 之间的函数关系式； (3)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共80 千克，且甲种水果不少于30 千克，但又 不超过50 千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额(元)最少？ 【答】(1)30；(2) ；(3)甲购进30 千克，乙购进50 千克时付款总额最 少 【解析】(1)解：由题意得： ，故答为：30； (2)解：当 时， ， 当 时， ，∴ ； (3)解：设购买甲种水果m 千克，则购买乙种水果 千克， 由题意得： ， 当 时， ∵ ，∴随m 的增大而增大，∴当m=30 时，有最小值2200 元， 当 时， ∵ ，∴随m 的增大而减小，∴当m=50 时，有最小值2220 元， 2200<2220 ∵ ，∴当购买甲种水果30 千克，乙种水果50 千克时，付款总额最少， 答：购买甲种水果30 千克，乙种水果50 千克时，付款总额最少． 【变式训练1】为了净化空气，美化校环境，某学校计划种植，B 两种树木．已知购买20 棵种树木和15 棵B 种树木共花费2680 元；购买10 棵种树木和20 棵B 种树木共花费2240 元． (1)求，B 两种树木的单价分别为多少元． (2)如果购买种树木有优惠，优惠方是:购买种树木超过20 棵时，超出部分可以享受八折优 惠．若该学校购买m(m＞0，且m 为整数)棵种树木花费元，求与m 之间的函数关系式． (3)在(2)的条件下，该学校决定在，B 两种树木中购买其中一种，且数量超过20 棵，请你帮 助该学校判断选择购买哪种树木更省钱． 【答】(1)种树木的单价为80 元，B 种树木的单价为72 元；(2) ； (3)当20＜m＜40 时，选择购买B 种树木更省钱；当m＝40 时，选择购买两种树木的费用相 同；当m＞40 时，选择购买种树木更省钱 【解析】(1)解:设种树木的单价为α 元，B 种树木的单价为b 元． 根据题意，得 ，解得: ，答:种树木的单价为80 元，B 种树木的单 价为72 元； (2)解：根据题意得，当0＜m≤20 时，＝80m； 当m＞20 时，＝80×20+80×08(m 20) ﹣ ＝64m+320，∴与m 之间的函数关系式为＝ ； (3)解：根据题意购买B 种数目的费用为72m 当64m+320＞72m 时，解得m＜40，即当20＜m＜40 时，选择购买B 种树木更省钱； 当64m+320＝72m 时，解得m＝40，即当m＝40 时，选择购买两种树木的费用相同； 当64m+320＜72m 时，解:m＞40，即当m＞40 时，选择购买种树木更省钱． 答:当20＜m＜40 时，选择购买B 种树木更省钱；当m＝40 时，选择购买两种树木的费用 相同；当m＞40 时，选择购买种树木更省钱． 【变式训练2】我校为了丰富校活动，计划购买乒乓球拍和羽毛球拍共100 副，其中乒乓 球拍每副50 元，羽毛球拍每副100 元， (1)若购买两种球拍刚好用去8000 元，则购买两种球拍各多少副？ (2)若购买羽毛球拍的数量不少于乒乓球拍的数量，请设计一种购买方使所需总费用最低， 并求出该购买方所需总费用． 【答】(1)购买乒乓球40 副，羽毛球60 副； (2)购买乒乓球50 副，羽毛球50 副时所需总费用最低，该购买方所需总费用为7500 元 【解析】(1)解：设购买乒乓球副，则购买羽毛球(100－)副， 根据题意，得：50+100(100－)=8000，解得：=40，100－40=60(副)， 答：购买乒乓球40 副，羽毛球60 副； (2)解：设购买乒乓球x 副，则购买羽毛球(100－x)副，设总费用为元， ∵购买羽毛球拍的数量不少于乒乓球拍的数量，∴100－x≥x，解得： x≤50， 设总费用为元，根据题意，=50x+100(100－x)=－50x+10000， ∵－50＜0，∴随x 的增大而减小，∴当x=50 时，最小，最小值为－50×50+10000=7500 元， 答：购买乒乓球50 副，羽毛球50 副时所需总费用最低，该购买方所需总费用为7500 元． 【变式训练3】某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12 万元，售价145 万元； 每件乙种商品进价8 万元，售价10 万元，且它们的进价和售价始终不变． (1)现准备购进甲、乙两种商品共20 件，所用资金不低于190 万元不高于200 万元，该公司 有哪几种进货方？ (2)在第(1)小题的条件下，该公司采用哪种进货方可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)利用第(2)小题中所求得的最大利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方． 【答】(1)有三种进货方：①购甲种商品8 件，乙种商品12 件；②购甲种商品9 件，乙种商 品11 件；③购甲种商品10 件，乙种商品10 件 (2)乙种商品10 件时，可获得最大利润，最大利润是45 万元 (3)购甲种商品1 件，乙种商品4 件时，可获得最大利润为105 万元 【解析】(1)解：设购进甲种商品 件，乙种商品 件，根据题意得 ，解得 ， 为非负整数， 取8，9，10，有三种进货方： ①购甲种商品8 件，乙种商品12 件； ②购甲种商品9 件，乙种商品11 件； ③购甲种商品10 件，乙种商品10 件． (2)设利润为 元，则 ， 购甲种商品10 件，乙种商品10 件时，可获得最大利润，最大利润是45 万元． (3)①全进甲，能购买3 件，利润为 万元； ②全进乙，能购买5 件，利润为 万元； ③甲进1 件，同时乙进4 件，利润为 万； ④甲进2 件，同时乙进2 件，利润为 万元； ⑤甲进3 件，同时乙进1 件，利润为 万元； 所以购甲种商品1 件，乙种商品4 件时，可获得最大利润为105 万元． 类型二、最大利润问题 例．某书店计划同时购进，B 两类图书，已知购进3 本类图书和4 本B 类图书共需288 元； 购进6 本类图书和2 本B 类图书共需306 元， (1)，B 两类图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店计划用4500 元全部购进两类图书，设购进类x 本，B 类y 本． ①求y 关于x 的关系式； ②进货时，类图书的购进数量不少于60 本，已知类图书每本的售价为38 元，B 类图书每 本的售价为50 元，若书店全部售完可获利元，求关于x 的关系式，并说明应该如何进货才 能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 【答】(1)，B 两类图书每本的进价分别是36 元和45 元． (2)① ；②应该购进类图书60 本，B 类图书52 本才能使书店所获利润最大， 最大利润为380 元． 【解析】(1)解：设，B 两类图书每本的进价分别是和b 元． 依题意可列方程组： ，解得： ．故，B 两类图书每本的进价分别是 36 元和45 元． (2)解：①根据题意即得出关系式为： ． ②∵ ，∴ 根据题意可知： ，且 ， 将 代入 ，得： ， 整理得： ． ∵ ，∴随x 的增大而变小，∴当 时，有最大值，最大值为 ． 将 代入 ，得： ． 故应该购进类图书60 本，B 类图书52 本才能使书店所获利润最大，最大利润为380 元． 【变式训练1】为了防范疫情，顺利复学，某市育局决定从甲、乙两地用汽车向 、 两 校运送口罩，甲、乙两地分别可提供口罩40 万个、10 万个； 、 两校分别需要口罩30 万个、20 万个两地到 、 两校的路程如表(每万个口罩每千米运费为2 元)． 设甲地运往 校 万个口罩： 路程(千米) 甲地 乙地 校 10 20 校 15 15 (1)根据题意，在答题卡中填该表： 运送口罩的个数(万个) 运费(元 甲地 乙地 甲地 乙地 校 校 (2)设总运费为 元，求 与 的函数关系式；当甲地运往 校多少万个口罩时总运费最少？ 最少的运费是多少元？ 【答】(1) ， ， ， ； (2)当甲地运往 校30 万个口罩时总运费最少，最少的运费是1200 元 【解析】(1)解： 甲地运往 校 万个， 乙地运往 校 万个，甲地运往 校 万个， 乙地运往 校 万个， 甲地运往 校费用为 元，乙地运往 校费用为 元， 故答为： ， ， ， ； (2)解: 由题意可得 ， ， ， 是一次函数， 随 的增大而减小， 当 时， 有最小值， 最小值 元， 当甲地运往 校30 万个口罩时总运费最少，最少的运费是1200 元 【变式训练2】为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2 瓶型消毒液和3 瓶B 型消毒液共需41 元，5 瓶型消毒液和2 瓶B 型消毒液共需53 元． (1)这两种消毒液的单价各是多少元？ (2)学校准备购进这两种消毒液共90 瓶，且型消毒液的数量不超过67 瓶，请设计出最省钱 的购买方，并求出最少费用． 【答】(1)型消毒液的单价是7 元，B 型消毒液的单价是9 元； (2)最省钱的购买方是购进型消毒液67 瓶，购进B 型消毒液23 瓶，最低费用为676 元 【解析】(1)解：(1)设种消毒液的单价是 元， 型消毒液的单价是 元． 由题意得： ，解之得， ，答： 种消毒液的单价是7 元， 型消毒液的 单价是9 元． (2)设购进 种消毒液 瓶，则购进 种 瓶，购买费用为 元．则 ， ∵k=-2＜0，∴ 随着 的增大而减小， 最大时， 有最小值． ∵ ≤67，由于 是整数， 最大值为67， 即当 时，最省钱，最少费用为 元．此时， ． 最省钱的购买方是购进 种消毒液67 瓶，购进 种23 瓶． 【变式训练3】某扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行盆景的培植和销售，在第一 期培植销售完成后，统计发现，若2 盆种盆景和1 盆B 种盆景共获利润340 元；如果3 盆 种盆景和2 盆B 种盆景共获利润560 元． (1)每盆种盆景、B 种盆景的利润各是多少元？ (2)为更好服务于农户，扶贫小组决定进行二期盆景培植，培植种、B 种盆景的总数量100 盆，若要求第二期种盆景的数量不超过B 种盆景数量的3 倍，当种、B 种盆景各多少盆时， 总利润最高，最高利润是多少？ 【答】(1)每盆种盆景的利润为120 元，每盆B 种盆景的利润为100 元； (2)第二期种盆景75 盆，B 种盆景25 盆，利润Q 最大，最大总利润是11500 元 【解析】(1)解：设每盆种盆景的利润分别为x 元，每盆B 种盆景的利润各y 元， 由题意得： 解得： ， 答：每盆种盆景的利润为120 元，每盆B 种盆景的利润为100 元； (2)解：设第二期种盆景m 盆，B 种盆景盆，利润为Q 由题意得： ，由①可得：m＝100﹣代入②③，得： ， 20 ∵﹣ ＜0，∴Q 随的增大而减小，∴当=25 时，Q 最大，∴=25，m=100 25=75 ﹣ 时， Q= 20×25+12000=11500( ﹣ 元)， 答：第二期种盆景75 盆，B 种盆景25 盆，利润Q 最大，最大总利润是11500 元 类型三、几何问题 例．如图，l1和l2分别是走私船和我公安快艇航行路程与时间的函数图象，请结合图象解 决下列问题： (1)在刚出发时，我公安快艇距走私船 海里； (2)求出l1和l2的解析式； (3)求公安快艇追上走私船的时间． 【答】(1)5；(2)y1=t+5，y2=15t；(3)10 分钟时公安快艇追上走私船的时间． 【解析】(1)解：当t=0 时，y1=5，y2=0，∴5-0=5， ∴在刚出发时，我公安快艇距走私船5 海里；故答为：5； (2)解：设图象l1的解析式为y1=kt+b(k≠0)， 将(0，5)，(4，9)代入y1=kt+b，得： ，解得： ，∴图象l1的解析式为 y1=t+5； 设图象l2的解析式为y2=mt(m≠0)， 将(4，6)代入y2=mt，得：4m=6，解得：m=15， ∴图象l2的解析式为y2=15t； (3) 解：∵y1=y2，t+5=15t， ∴t=10， 10 ∴ 分钟时公安快艇追上走私船的时间． 【变式训练1】为发展旅游经济，某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客．设某旅游 团路人数为x 人，非节假日购票款为 (元)，节假日购票款为 (元)， 、 与x 之间的函 数图像如图所示． (1)非节假日门票定价为______元/人． (2)求当 时， 与x 之间的函数关系式。 (3)导游小王于5 月1 日带团，5 月20 日(非节假日)带B 团都到该景区旅游，共付门票款 1900 元，、B 团队游客合计50 人(两团游客人数超过10 人)，求、B 两个团队游客各有多少 人？ 【答】(1)30；(2)y2=40x+100；(3)团有30 人，B 团有20 人 【解析】(1)由图可知：非节假日中，人数为10 人时，购票款为300 元，∴非节假日门票定 价为30 元/人； (2)当x＞10 时，设y2=kx+b， ∵函数图象经过点(10，500)和(20，900)，∴ ，解得： ，∴x＞10 时， y2=40x+100； (3)设团有人，则B 团的人数为(50-)人， 当0≤≤10 时，50+30(50-)=1900，解得=20(不符合题意舍去)， 当＞10 时，40+100+30(50-)=1900，解得=30，∴50-=50-30=20， 答：团有30 人，B 团有20 人． 【变式训练2】一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀 速行驶．设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示从两车出发至 快车到达乙地过程中y 与x 之间的函数关系． (1)根据图中信息，求线段B 所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离． (2)已知两车相遇时快车比慢车多行驶20 千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t 时，求 t 的值． (3)若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙 地返回到甲地过程中y 关于x 的函数的大致图象． 【答】(1)直线B 的解析式为 ，甲乙两地之间的距离为200 千米 (2) ；(3)见解析 【解析】(1)由题意得直线B 经过点(15，50)，(2，0)， 设直线B 的解析式为y=kx+b，则 解得 ∴直线B 的解析式为 ∵当x=0 时，y=200 ∴甲乙两地之间的距离为200 千米； (2)设快车的速度为m 千米/时，慢车的速度为千米/时， 由题意可得 解得 ，∴快车的速度为55 千米/时，∴ ， (3)∵快车速度为55 千米/时．慢车的速度为45 千米/时．∴当快车到达乙地，所用时间为： 小时， ∵快车与慢车相遇时的时间为2 小时，∴y=( -2)×(55+45)= ，∴点坐标为： ， 此时慢车还没有到达甲地，若要到达甲地，这个过程慢车所用时间为：200÷45 小时， 当慢车到达甲地，此时快车已经驶往甲地时间为： 小时， ∴此时距甲地： 千米，∴D 点坐标为： 再一直行驶到甲地用时 小时．∴E 点坐标为： 故图象如图所示： 【变式训练3】四名同学两两一队，从学校集合进行徒步活动，目的地是距学校10 千米的 前海公．由于乙队一名同学迟到，因此甲队两名同学先出发．24 分钟后，乙队两名同学出 发．甲队出发后第30 分钟，一名同学受伤，处理伤口，稍作休息后，甲队由一名同学骑单 车载受伤的同学继续赶往目的地，若两队与学校的距离s(千米)与时间t(小时)之间的函数关 系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)甲队在队员受伤前的速度是 千米/时，甲队骑上自行车后的速度为 千米/时； (2)求乙队与学校的距离 与t 之间的函数关系式； (3)直接写出当t≥1 时，什么时候甲乙两队相距1 千米？ 【答】(1)4，8；(2) ；(3)在 条件下，当 或 或 时，甲乙两队相 距1 千米 【解析】(1)解：甲队在队员受伤前的速度是 (千米/时)， 甲队骑上自行车后的速度为 (千米/时)，故答为：4，8． (2)解：设 ，由题意，将点 代入得： ，解得 ， 则乙队与学校的距离 与之间的函数关系式 ． (3)解：设当 时， ， 将点 代入得： ，解得 ，则 ， 联立 ，解得 ，因此，分以下三种情况： ①当 时，乙队在前，甲队在后，则 ，解得 ，符合题设； ②当 时，甲队在前，乙队在后，则 ，解得 ，符合题设； ③当 时，甲队已到达目的地，乙队尚未到达目的地，则 ， 解得 ，符合题设； 综上，在 条件下，当 或 或 时，甲乙两队相距1 千米． 课后训练 1．周末老张和小胜相约从各自的家出发去体育馆打羽毛球，且老张家，小胜家，体育馆顺 次在同一直线上，老张先从家出发4 分钟后来到小胜家和小胜汇合，汇合时间忽略不计， 两人以老张的速度一起走了4 分钟后，小胜发现自己装备带错了需回家换装备，于是立即 加速回家用了少许时间取了装备后又以加速后的速度赶往体育馆，老张仍以原速前行，结 果小胜比老张提前1 分钟到达体育馆．若老张与小胜两人和体育馆之间的距离 (米)与小胜 出发的时间 (分钟)之间的函数图象如图所示．则以下说法错误的是( )． ．小胜加速后的速度为250 米/分钟 B．老张用了24 分钟到达体育馆 ．小胜回家后用了06 分钟取装备 D．小胜取了装备后追上老张时距离老张家3025 米 【答】D 【详解】、小胜加速后用 m 走了 m， 速度为 m/m，故选项正确，不符合题意； B、老张全程速度不变，和小胜一起用4 分钟走了 m， 速度为 m/m，由图可知小胜家到体育馆距离为3000m， 老张用时 m，再加上之前找小胜家用的4 分钟， 总共用时24 分钟，故选项B 正确，不符合题意； 、因老张用20 分钟到体育馆，所以小胜花19 分钟到，所以小胜赶往体育馆用时 m， 所以图中他逗留家中的时间为 m，故选项正确，不符合题意； D、64 分钟时，老张走了 m， 距离体育馆还剩 m，小胜开始返回体育馆， 设t 分钟时小胜追上老张，得 ，解得 ， 此时从家开始老张总共用了 分钟， 距离老张家 m，故选项D 错误，符合题意， 故选：D． 2．为增强师生体质，提高师生的运动积极性，某校举办了“缤纷越野跑”比赛，三百多名 师生积极参与比赛．越野跑全程25 千米，小陈同学与刘老师同时出发，刘老师全程保持匀 速运动，小陈跑了一段时间后，因体力不支，以200 米/分的速度跑了一段，最后以原速冲 刺与刘老师同时到达．小陈和刘老师距终点的距离y(单位：米)与运动时间x(单位：分)之间 的函数关系如图所示，下列说法错误的是( ) ．刘老师的速度为250 米/分 B．小陈的冲刺速度为5 米/秒 ．刘老师追上小陈花了75 分钟 D．第9 分钟时刘老师与小陈相距50 米 【答】 【详解】2