专题21.3 期中期末专项复习之平行四边形二十二大必考点（原卷版）

专题213 平行四边形二十二大必考点 【人版】 【考点1 格点中利用无刻度直尺作平行四边形】..................................................................................................1 【考点2 利用平行四边形的判定与性质求面积】..................................................................................................3 【考点3 利用平行四边形的判定与性质求长度】..................................................................................................4 【考点4 利用平行四边形的判定与性质求角度】..................................................................................................5 【考点5 利用平行四边形的判定与性质求最值】..................................................................................................6 【考点6 利用动点判断平行四边形】.....................................................................................................................7 【考点7 平行四边形的判定与性质的实际应用】..................................................................................................9 【考点8 根据矩形的判定与性质求线段长】.......................................................................................................10 【考点9 根据矩形的判定与性质求角度】........................................................................................................... 11 【考点10 根据矩形的判定与性质求面积】.......................................................................................................... 12 【考点11 矩形与折叠问题】..................................................................................................................................14 【考点12 根据菱形的判定与性质求线段长】......................................................................................................15 【考点13 根据菱形的判定与性质求角度】.......................................................................................................... 16 【考点14 根据菱形的判定与性质求面积】.......................................................................................................... 18 【考点15 根据正方形的判定与性质求线段长】..................................................................................................20 【考点16 根据正方形的判定与性质求角度】......................................................................................................21 【考点17 根据正方形的判定与性质求面积】......................................................................................................23 【考点18 中点四边形】.......................................................................................................................................... 24 【考点19 特殊四边形的证明】..............................................................................................................................26 【考点20 特殊四边形的动点问题】......................................................................................................................28 【考点21 特殊四边形的最值问题】......................................................................................................................29 【考点22 特殊四边形的存在性问题】..................................................................................................................31 【考点1 格点中利用无刻度直尺作平行四边形】 【例1】（2022 春·吉林长春·八年级校考期末）如图，在6×6 格中，每个小正方形的边长为 1，点, B 在格点上．请根据条件画出符合要求的图形． 1 (1)在图甲中画出以点为顶点且一边长为❑ √5的平行四边形．要求：各顶点均在格点上． (2)在图乙中画出线段B 的中点． 要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． 【变式1-1】（2022 春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期末）如图，每个小正方形的边长都是 1，A、B、C、D均在格的格点上． (1)∠BCD是直角吗？请证明你的判断． (2)找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等． 【变式1-2】（2022 春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在10×10的正方形格中（每个 正方形的边长为1），点A和点B都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图． (1)图1 中，以AB为边作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6； (2)图2 中，以AB为对角线作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10． 【考点2 利用平行四边形的判定与性质求面积】 【例2】（2022 春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，F 是□ABCD的边CD 上的点，Q 是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若 S△APD=2cm 2，S△BQC=8cm 2，则阴影部分的面积为（ ）cm 2． 1 ．24 B．17 ．18 D．10 【变式2-1】（2022 秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，△ABC中，∠ABC=90°， ∠CAB=60°，AC=4．作出△ABC共于点成中心对称的△A B 'C '，其中点B 对应点为 B '，点对应点为C '，则四边形C B 'C ' B的面积是（ ） ．128 B．64 ❑ √3 ．64 D．32❑ √3 【变式2-2】（2022 秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，分别以直角三角形的三边向外作 等边三角形，然后将较小的两个等边△AFG和△BDE放在最大的等边△ABC内（如图）， DE与FG交于点P，连结AP，FE．欲求△GEC的面积，只需要知道下列哪个三角形的 面积即可（ ） ．△APG B．△ADP ．△DFP D．△FEG 【变式2-3】（2022 春·全国·八年级专题练习）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点 P作EF ∥BC，GH ∥AB，且CG=3 BG，S▱BEPG=1.5，则S▱AEPH=¿__． 【考点3 利用平行四边形的判定与性质求长度】 【例3】（2022·辽宁丹东·校考一模）如图，在▱ABCD中，∠BAD=120°，连接BD， 作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E 作EF ⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1， 1 则AB的长是（ ） ．2 B．1 ．3 D．❑ √2 【变式3-1】（2022 春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，∠B＝45°，B＝2，B＝2❑ √2，点P 为B 上一动点，Q∥B，Q∥P，Q 、Q 交于点Q，则四边形PQ 的形状是______，连接PQ， 当PQ 取得最小值时，四边形PQ 的周长为_____． 【变式3-2】（2022·广东佛山·石门中学校考一模）如图，在△ABC中，D，E 分别为BC， AC上的点，将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，连接BF，CF，∠BFC =90°，若 EF ∥AB，AB=4 ❑ √3，EF =10，则AE的长为 _____． 【变式3-3】（2022 春·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD， ∠B=∠D，点E为BC延长线上一点，连接、E，E 交CD于点，∠DCE的平分线交AE 于点G．若AB=2 AD=10，点H为CD的中点，HE=6，则AC的长为（ ） ．9 B．❑ √97 ．10 D．3 ❑ √10 1 【考点4 利用平行四边形的判定与性质求角度】 【例4】（2022 春·湖北武汉·八年级校考期末）如图，AB=13，点D 为AB上一动点， CD⊥AB于D，CD=8，点E 在线段CD上，CE=3，连接BE．当BE+ AC最小时， ∠ACD的度数为（ ） ．75° B．60° ．45° D．30° 【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，在△ABC的BC边的同侧分别作等 边△ABD，等边△BCF和等边△ACE，AB＝3，AC ＝4，BC ＝5，求∠DFE的度 数． 【变式4-2】（2022 秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在四边形BD 中，D//B，对角线、 BD 交于点，且＝． (1)求证： ①△E≌△F； ②四边形BD 为平行四边形； (2)过点作EF⊥BD，交D 于点E，交B 于点F，连接BE，若∠BD＝100°，∠DBF＝32°，求 ∠BE 的度数． 【变式4-3】（2022 春·甘肃定西·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，O是对角线 BD的中点，点E是BC边上一点，连接EO并延长交AD边于点F、交CD延长线于点G． OE=OF，AD=BC． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形． 1 （2）若∠A=62°，∠G=40°，求∠BEG的度数． 【考点5 利用平行四边形的判定与性质求最值】 【例5】（2022 春·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中有A (0,3)， D (5,0)两点．将直线l1：y=x向上平移2个单位长度得到直线l2，点B在直线l2上，过点B 作直线l1的垂线，垂足为点C，连接AB，BC，CD，则折线ABCD的长AB+BC+CD的 最小值为______． 【变式5-1】（2022 秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在矩形ABCD中， AB=12，AD=10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP=CQ，连结CP、QD，则 PC+QD的最小值为（ ） ．22 B．24 ．25 D．26 【变式5-2】（2022 春·河北保定·八年级统考期末）如图，已知▱ABCD的顶点、分别在直 线x=1和x=4上，是坐标原点，则对角线B 长的最小值为（ ） 1 ．4 B．5 ．6 D．7 【变式5-3】（2022 秋·全国·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知四边形AMNB各顶点 坐标分别是：A(0,−2)，B(2,2), M (3,a), N (3,b)，且MN=1, a<b，那么四边形 AMNB周长的最小值为（ ） ．6+2❑ √5 B．6+❑ √13 ．❑ √34+2❑ √5+1 D．❑ √34+❑ √13+1 【考点6 利用动点判断平行四边形】 【例6】（2022 春·山西晋城·八年级统考期末）综合与探究：直线y=x+2与x轴和y轴分别 交于点、B，直线CD与AB交于点，与y轴交于点D(0,8)，过点作CE⊥x轴于点E，点E 的横坐标为3． (1)求直线CD的解析式； (2)点P 是x轴上一动点，过点P(t ,0)作x轴垂线分别与直线AB、CD交于点M、，求线段 MN的长（用t表示）； (3)在（2）的条件下，t为何值时，以M、、、E 为顶点的四边形是平行四边形． 【变式6-1】（2022 春·八年级课时练习）如图在平面直角坐标系中，A (−8,0)，C (0,26)， AB∥y轴且AB=24，点P从点A出发，以1 个单位长度¿s的速度向点B运动；点Q从点C 同时出发，以2 个单位长度¿s的速度向点O运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个 动点也随之停止运动，设运动的时间为t秒． 1 (1)当四边形BCQP是平行四边形时，求t的值； (2)当PQ=BC时，求t的值； (3)当PQ恰好垂直平分BO时，求t的值． 【变式6-2】（2022 秋·山东威海·八年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC， AD=3，BC=8，E 是BC的中点，点P 以每秒1 个单位长度的速度从点出发，沿AD向点 D 运动；点Q 同时以每秒2 个单位长度的速度从点出发，沿CB向点B 运动，点P 停止运动 时，点Q 也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点P，Q，E，D 为顶点的四边形是 平行四边形？ 【变式6-3】（2022 春·湖南长沙·八年级长沙市第二十一中学校考期末）如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速 度从点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向 点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动． (1)PD=¿_________，CQ=¿__________;(用含t的式子表示) (2)当运动时间t为多少秒时，PQ∥CD； (3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【考点7 平行四边形的判定与性质的实际应用】 【例7】（2022 春·八年级课时练习）如图，一块草地的中间有一条弯路，AC ∥BD， 1 CE∥DF．请给出一种方，把道路改直，且草地的种植面积保持不变． 【变式7-1】（2022 春·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校期中）村庄和村庄B 位于一条小 河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使与B 之 间的距离最短？ 【变式7-2】（2022 秋·浙江温州·八年级乐清外国语学校校考期末）某风力发电设备如图1 所示，其示意图如图2，已知三个叶片OA ，OB，OC均匀地 (∠AOB=∠BOC=∠COA )分布在支点上，OH垂直地面MN．当光线与地面的夹角为 60°，叶片CO与光线平行时，测得叶片影子PQ的长为12 米，则叶片的长为______米；当 转动过程中叶片B 垂直光线（这片刻时间忽略不计，光线与地面的夹角还是60°），则叶 片影子的长度是_______米． 【变式7-3】（2022 春·江苏·八年级期末）如图1 是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一 个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2 是遮阳蓬支架完全 展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且 G，F，B 三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形． 1 (1)若遮阳蓬完全展开时，CE长2 米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的 影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是______． 【考点8 根据矩形的判定与性质求线段长】 【例8】（2022 春·江苏南通·八年级统考期末）如图，在矩形BD 中，AB=5，E，F 是对 角线上两点，AE=CF，过点E，F 分别作的垂线，与边B 分别交于点G，．若 BG=1,CH=4，则EG+FH=¿（ ） ．❑ √41 B．❑ √34 ．4 ❑ √2 D．4 【变式8-1】（2022 春·广东珠海·八年级统考期末）四边形ABCD中，AD∥BC，AD与 BC之间的距离为4，AB=AD=CD=5，则边BC的长为______． 【变式8-2】（2022 春·广西防城港·八年级统考期末）如图，已知平行四边形BD，延长B 到E，使BE=AB，连接BD，ED，E，若ED=AD． (1)求证：CD=BE； (2)求证：四边形BED 是矩形； (3)连接，若AD=❑ √7，CD=2，求的长． 【变式8-3】（2022 春·湖北武汉·八年级统考期末）如图1，已知D∥B，B∥D，∠B＝∠． 1 (1)求证：四边形BD 为矩形； (2)如图2，M 为D 的中点，为B 的中点，B＝2．若∠B＝2∠DM，求B 的长． 【考点9 根据矩形的判定与性质求角度】 【例9】（2022 春·河南安阳·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，对角线，BD 相交于 点，AE⊥BD于点E，DF ⊥AC于点F，且AE=DF． (1)求证：四边形BD 是矩形． (2)若∠BAE:∠EAD=4:5，求∠EAO的度数． 【变式9-1】（2022 春·陕西延安·八年级延安市实验中学校考期中）如图，在□BD 中，对角 线与BD 相交于点，且=BD，∠D=30°，求∠B 的度数． 【变式9-2】（2022 春·江苏泰州·八年级校考期末）如图，