专题16.6 期末专项复习之整式的乘法与因式分解十八大必考点（原卷版）

专题166 整式的乘法与因式分解十八大必考点 【人版】 【考点1 幂的基本运算】.........................................................................................................................................1 【考点2 幂的逆运算】............................................................................................................................................. 2 【考点3 利用幂的运算进行比较大小】................................................................................................................. 2 【考点4 幂的混合运算】.........................................................................................................................................3 【考点5 利用幂的运算进行简便计算】................................................................................................................. 3 【考点6 幂的运算中的新定义问题】.....................................................................................................................4 【考点7 整式的乘法】............................................................................................................................................. 5 【考点8 整式乘法的应用】.....................................................................................................................................6 【考点9 利用乘法公式求值】.................................................................................................................................7 【考点10 乘法公式的几何背景】............................................................................................................................8 【考点11 整式乘除的计算与化简】...................................................................................................................... 10 【考点12 整式混合运算的应用】..........................................................................................................................11 【考点13 因式分解的概念】..................................................................................................................................12 【考点14 因式分解（提公因式与公式法综合）】..............................................................................................13 【考点15 因式分解（十字相乘法）】..................................................................................................................13 【考点16 因式分解（分组分解法）】..................................................................................................................15 【考点17 利用因式分解求值】..............................................................................................................................15 【考点18 因式分解的应用】..................................................................................................................................16 【考点1 幂的基本运算】 【例1】（2022·湖南娄底·七年级期末）如果a 2n−1a n+5=a 16，那么n的值为（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 【变式1-1】（2022·广东·德庆县德庆中学七年级期末）解答下列问题： （1）已知3 m=5，3 n=2，求3 3m+2n+1的值； （2）若3 x+4 y−3=0，求27 x⋅81 y的值． 【变式1-2】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知3 x=4 ,3 y=6,3 z=12，则x、y、z 三者之 间关系正确的是（ ） ．xy=2z B．x+y=2z ．x+2y=2z D．x+2y=z 【变式1-3】（2022·黑龙江·大庆市第十九中学七年级期末）已知5=2b=10，那么 ab a+b 的值 为________ 1 【考点2 幂的逆运算】 【例2】（2022·四川·渠县流江初级实验中学七年级期末）如果3＝5，3b＝10，那么9 a−b的 值为( ) ．1 2 B．1 4 ．1 8 D．不能确定 【变式2-1】（2022·安徽·合肥新华实验中学七年级期末）如果2 m=5，2 n=3，求： (1)2 m+2n的值； (2)8 m的值． 【变式2-2】（2022·北京昌平·七年级期末）将幂的运算逆向思维可以得到a m+n=a m⋅a n， a m−n=a m÷ a n，a mn=(a m) n，a mb m=(ab) m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向 运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)5 2021×( 1 5 ) 2021=¿ ______ ； (2)若3×9 m×27 m=3 11，求m的值； 【变式2-3】（2022·四川省渠县中学七年级期末）（1）已知4m＝，8＝b，用含，b 的式子 表示下列代数式： ①求：2 2m+3n的值． ②求：2 2m−6n的值． （2）已知2×8x×16＝223，求x 的值． 【考点3 利用幂的运算进行比较大小】 【例3】（2022·福建省罗源第二中学八年级期末）若＝3555，b＝4444 ，＝5333，比较、b、的 大小（ ） ．＞b＞ B．b＞＞ ．＞＞b D．＞b＞ 【变式3-1】（2022·江苏·江阴市华士实验中学七年级期末）阅读下列材料: 若a 3=2,b 5=3，则，b 的大小关系是_____ b (填“<”或“>”) 解:因为a 15=(a 3) 5=2 5=32,b 15=(b 5) 3=3 3=27,32>27，所以a 15>b 15， 所以a>b 解答下列问题: (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_ ．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 ．幂的乘方 D．积的乘方 (2)已知x 5=2, y 7=3，试比较x 与y 的大小． 【变式3-2】（2022·内蒙古·赤峰市松山区大庙中学八年级期末）阅读探究题：． 【阅读材料】 1 比较两个底数大于1 的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数 （或底数）的大小， 如：2 5>2 3，5 5>4 5 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：27 10与3 25， 解：27 10=(3 3) 10=3 30，∵30>25，∴3 30>3 25 [类比解答]比较25 4，125 3的大小． [拓展拔高]比较3 555，4 444，5 333的大小． 【变式3-3】（2022·河北石家庄·七年级期末）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数， 不同指数的两个幂a b和a c (a≠1)，当b>c时，则有a b>a c；若对于同指数，不同底数的两 个幂a b和c b，当a>c时，则有a b>c b，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写 出比较的具体过程] (1)比较大小：5 20______4 20，9 61______27 41；（填“>”、“<”或“=”） (2)比较2 33与3 22的大小； (3)比较3 12×5 10与3 10×5 12的大小． 【考点4 幂的混合运算】 【例4】（2022·福建漳州·七年级期末） 计算 (1) (m−n) 2⋅(n−m) 3⋅(n−m) 4 (2) (b 2n) 3(b 3) 4n÷(b 5) n+1 (3) (a 2) 3−a 3⋅a 3+(2a 3) 2 (4) (−4 a m+1) 3÷[2(2a m) 2⋅a] 【变式4-1】（2022·陕西西安·七年级期末）计算：(2 x 3⋅x 5) 2+(−x ) 2⋅(−x 2) 3⋅(x 2) 4． 【变式4-2】（2022·重庆市第十一中学校七年级期末）计算： (1)x⋅x 2⋅x 3+( x 2) 3−2( x 3) 2； (2)(−4 a m+1) 3+[2(2a m) 2⋅a]． 【变式4-3】（2022·黑龙江·巴彦县第一中学八年级期末）计算：（1）x 2⋅x 4+(x 3) 2−5 x 6 （2）(−2a) 6−(−3a 3) 2+[−(2a) 2] 3 【考点5 利用幂的运算进行简便计算】 【例5】（2022·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期末）计算 0.25 100×( −1 2 ) 101 ×8 101=¿_________． 【变式5-1】（2022·湖南怀化·七年级期末）计算（﹣025）2022×42021的结果是（ ） 1 ．﹣1 B．1 ．025 D．44020 【变式5-2】（2022·上海杨浦·七年级期末）用简便方法计算：−3 5×(−2 3 ) 5 ×(−5) 6 【变式5-3】（2022·福建·泉州市第九中学八年级期末）阅读：已知正整数、b、，显然， 当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂a b和c b，当a>c时，则 有a b>c b，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：5 20_________4 20 （填写>、<或=）． (2)比较2 33与3 22的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算4 2021×0.25 2020−8 2021×0.125 2020． 【考点6 幂的运算中的新定义问题】 【例6】（2022·山东省青岛第五十一中学七年级期末）阅读材料： 定义：如果10 a=n，那么称为的劳格数，记为a=d (n)， 例如：10 2=100，那么称2 是100 的劳格数，记为2=d (100)． 填空：根据劳格数的定义，在算式a=d (1000)中，______相当于定义中的，所以 d (1000)=¿______； 直接写出d (10 −8)=¿______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若、b、m、均为正数，且10 a=p，10 b=q， 根据劳格数的定义：d ( p)=a，d (q)=¿______， ∵10 a⋅10 b=pq ∴10 a+b=pq，这个算式中，______相当于定义中的，______相当于定义中的， ∴d ( pq)=¿______，即d ( pq)=d ( p)+d (q)， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：d( m n )=¿______． 【变式6-1】（2022·北京·清华附中八年级期末）定义一种新运算(a，b)，若a c=b，则 (a，b)=c，例(2，8)=3，(3，81)=4．若(3，5)+(3，7)=(3，x )，则x的值为_____ _． 【变式6-2】（2022·江苏连云港·七年级期末）阅读下列材料：小明为了计算 1+2+2 2+⋅⋅⋅+2 2020+2 2021的值，采用以下方法： 设S=1+2+2 2+⋅⋅⋅+2 2020+2 2021① 则2S=2+2 2+⋅⋅⋅+2 2021+2 2022② ②−¿①得，2S−S=S=2 2022−1． 1 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）2+2 2+⋅⋅⋅+2 20=¿______； （2）求1+ 1 2 + 1 2 2 +⋅⋅⋅+ +1 2 50=¿______； （3）求(−2)+(−2) 2+⋅⋅⋅+(−2) 100的和；（请写出计算过程） （4）求a+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+na n的和（其中a≠0且a≠1）．（请写出计算过程） 【变式6-3】（2022·山东德州·八年级期末）一般地，个相同的因数相乘••…•，记为；如 2×2×2＝23＝8，此时3 叫做以2 为底8 的对数，记为lg28（即lg28＝3），一般地，若＝b （＞0 且≠1，b＞0），则叫做以为底b 的对数，记为lgb（即lgb＝），如34＝81，则4 叫 做以3 为底81 的对数，记为lg381（即lg381＝4）． （1）计算下列各对数的值：lg24＝ ；lg216＝ ；lg264＝ ； （2）你能得到lg24、lg216、lg264 之间满足怎样的关系式： ； （3）由（2）的结果，请你归纳出lgM、lg、lgM 之间满足的关系式： ； （4）根据幂的运算以及对数的含义验证（3）的结论． 【考点7 整式的乘法】 【例7】（2022·福建·大同中学八年级期末）计算(2 x+3 y−4 ) (2 x+ay+b)得到的多项式不 含x、y 的一次项，其中，b 是常数，则a−b的值为（ ） ．1 B．−1 ．−7 D．7 【变式7-1】（2022·江西景德镇·七年级期末）小邢同学在计算( x+a)( x+b)中的“b”看成 了“6”，算的结果为x 2+3 x−18，而且小颖同学在计算( x+a)( x+b)时将“+a”看成了 “−a”，算的结果为x 2−x−12． (1)求出、b 的值； (2)计算出( x+a)( x+b)的正确结果， 【变式7-2】（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级期末）我国南宋数学家杨辉用“三 角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 (a+b) n(n=1，2，3，4，⋯)的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1 1 (a+b) 1=a+b 1 2 1 (a+b) 2=a 2+2ab+b 2 1 3 3 1 (a+b) 3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 1 4 6 4 1 (a+b) 4=a 4+4 a 3b+6a 2b 2+4 ab 3+b 4 …… …… 请依据上述规律，写出( x−2 x ) 2022 展开式中含x 2020项的系数是（ ） 1 ．2022 B．−4044 ．−2020 D．4042 【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）设a1,a2,a3,⋯a2021,a2022都是正数， M=(a1+a2+…+a2021)(a2+a3+…+⋯a2022)，N=(a1+a2+a2022)(a2+a3+⋯a2021)，试比较 M、的大小． 【考点8 整式乘法的应用】 【例8】（2022·浙江宁波·七年级期末）如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张， 长和宽分别为b、a的长方形纸片一张，其中a<b．把纸片、按图②所示的方式放入纸片内， 已知图②中阴影部分的面积满足S1=8 S2，则a，b满足的关系式为（ ） ．3b=4 a B．2b=3a ．3b=5a D．b=2a 【变式8-1】（2022·山东泰安·期末）如图①所示，在一个边长为a的正方形纸片上剪去两 个小长方形，得到一个如图②的图，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图 ③所示，则新长方形的面积可表示为__________． 【变式8-2】（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期末）如图，一个长方形中剪下两个大 小相同的正方形（有关线段的长如图所示）留下一个“T”型的图形（阴影部分） (1)用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简． 1 (2)若y=3 x=30米，“T”型区域铺上价格为每平方米20 元的草坪，请计算草坪的造价． 【变式8-3】（2022·浙江·余姚市舜水中学七年级期末）如图，长为10，宽为x的大长方形 被分割成7小块，除阴影部分，B 外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短 一边长为y． (1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________．（用含y的代数式表示） (2)分别用含x，y的代数式表示阴影部