专题11.1 期中期末专项复习之相交线与平行线十八大必考点（原卷版）

专题111 相交线与平行线十八大必考点 【人版】 【考点1 同位角、内错角、同旁内角的判断】.....................................................................................................1 【考点2 三线八角中的截线问题】.........................................................................................................................2 【考点3 根据平行线的判定与性质进行证明】.....................................................................................................4 【考点4 直线旋转中的平行线的判定】................................................................................................................. 6 【考点5 与垂线有关的角度计算或证明】............................................................................................................. 7 【考点6 利用平行线的判定与性质计算角度】.....................................................................................................8 【考点7 平行线的性质在生活中的应用】........................................................................................................... 10 【考点8 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】................................................................................12 【考点9 平行线的运用（单一辅助线）】........................................................................................................... 13 【考点10 平行线的运用（多条辅助线）】.......................................................................................................... 15 【考点11 平行线在折叠问题的运用】.................................................................................................................. 17 【考点12 平行线在三角尺中的运用】..................................................................................................................18 【考点13 平行线中的规律问题】..........................................................................................................................20 【考点14 平行线中的转角问题】..........................................................................................................................22 【题型15 生活中的平移现象】..............................................................................................................................24 【题型16 图形的平移】.......................................................................................................................................... 25 【题型17 利用平移的性质求解】..........................................................................................................................26 【题型18 利用平移解决实际问题】......................................................................................................................27 【考点1 同位角、内错角、同旁内角的判断】 【例1】（2022·河南新乡·七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（ ） ．∠1 和∠2 是同旁内角 B．∠1 和∠3 是对顶角 ．∠3 和∠4 是同位角 D．∠1 和∠4 是内错角 【变式1-1】（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形， 如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）从左至右依次表示（ ） 1 ．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角 ．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角 【变式1-2】（2022·河北保定·七年级期末）如图所示，下列说法错误的是( ) ．∠与∠1 是内错角 B．∠2 与∠3 是内错角 ．∠与∠B 是同旁内角 D．∠与∠3 是同位角 【变式1-3】（2022·河南·商水县希望初级中学七年级期末）如图所示，同位角有a对，内 错角有b对，同旁内角有c对，则a+b−c的值是____________ 【考点2 三线八角中的截线问题】 【例2】（2022·四川省广元市宝轮中学七年级期末）如图，已知∠1 和∠2 是内错角，则下 列表述正确的是（ ） ．∠1 和∠2 是由直线D、被E 所截形成的 1 B．∠1 和∠2 是由直线D、被BD 所截形成的 ．∠1 和∠2 是由直线D、DB 被E 所截形成的 D．∠1 和∠2 是由直线D、DB 被所截形成的 【变式2-1】（2022·山东济宁·七年级期末）如图，∠ABD与∠BDC是（ ）形成的内错 角 ．直线AD、BC被直线BD所截 B．直线AB、CD被直线BD所截 ．直线AB、CD被直线AC所截 D．直线AD、BC被直线AC所截 【变式2-2】（2022·甘肃·陇西县巩昌中学七年级期末）如图，∠2 与∠3 是直线______、___ _被第三条直线_____所截形成的_______． 【变式2-3】（2022·全国·七年级）如图所示，从标有数字的角中找出： (1)直线D 和B 被直线所截构成的内错角 (2)直线D 和被直线D 所截构成的同位角 (3)直线和B 被直线B 所截构成的同旁内角 【考点3 根据平行线的判定与性质进行证明】 【例3】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求证： ∠B=∠C． 1 证明：∵∠1=∠2（已知）， ______ ∴ ∥______（________________________）． ∴∠A=∠BED（_____________________________）． ∵∠A=∠D（已知）， ∴∠BED=∠D（等量代换）． ______ ∴ ∥______（__________________________）． ∴∠B=∠C（______________________________）． 【变式3-1】（2022·黑龙江·逊克县师进修学校七年级期末）如图所示，AB∥CD，直线 EF 分别交B，D 于点G，，是∠DG 的平分线． (1)如果GM 是∠BGE 的平分线，（如图①）试判断并证明GM 和的位置关系； 证明：∵AB∥CD， ∴∠BGE＝______（两直线平行，同位角相等．） ∵GM 是∠BGE 的平分线， ______ ∴ ＝______¿ 1 2 ∠BGE ∵是∠DG 的平分线 ______ ∴ ＝______¿ 1 2 ∠DHG ∴∠MGE＝∠G（等量代换） ∴GM 和的位置关系是______，（___________________）． (2)如果GM 是∠G 的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明） (3)如果GM 是∠BG 的平分线，（如图③）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM 与 又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明． 【变式3-2】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图已知：B∥D，D∥EF，E 平分∠B， 1 ⊥E，有以下结论：①B∥EF；②2 1− 4=90° ∠ ∠ ；③2 3− 2=180° ∠ ∠ ；④∠3+1 2 4=135° ∠ ，其中， 正确的结论有____．（填序号） 【变式3-3】（2022·广东·广州市第四中学七年级期末）如图1，在四边形BD 中， AD∥BC，∠＝∠． (1)求证：∠B＝∠D； (2)如图2，点E 在线段D 上，点G 在线段D 的延长线上，连接BG，∠EB＝2∠G，求证： BG 是∠EB 的平分线； (3)如图3，在(2)的条件下，点E 在线段D 的延长线上，∠ED 的平分线D 交BG 于点，若 ∠BE＝66°，求∠BD 的度数． 【考点4 直线旋转中的平行线的判定】 【例4】（2022·河南洛阳·七年级期末）如图所示是跷跷板示意图，横板AB绕中点上下转 动，立柱OC与地面垂直，当横板AB的端着地时，测得∠OAC=28°，则在玩跷跷板时， 小明坐在点处，他上下最大可以转动的角度为（ ） 1 ．28° B．56° ．62° D．84° 【变式4-1】（2022·山东临沂·七年级期末）如图将木条，b 与钉在一起，∠1=75°，要使 木条与b 平行，木条顺时针旋转了35°，∠2 是（ ） ．25° B．35° ．40° D．50° 【变式4-2】（2022·云南昆明·七年级期末）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示， 其中边B，DF 在同一条直线上，现将三角板DEF 绕点D 顺时针旋转，当EF 第一次与B 平 行时，∠CDF的度数是（ ．15° B．30° ．45° D．75° 【变式4-3】（2022·湖南永州·七年级期末）如图，直线l1∥l2，现将一个含30°角的直角三 角板的锐角顶点B放在直线l2上，将三角板绕点B旋转，使直角顶点C落在l1与l2之间的区域， 边AC与直角l1相交于点D，若∠1=35°，则图中的∠2的值为（ ） 1 ．65° B．75° ．85° D．80° 【考点5 与垂线有关的角度计算或证明】 【例5】（2022·湖南·测试·编辑研五七年级期末）如图，已知∠1=∠，∠2= 3 ∠，FG⊥于G， 你能说明BD 与互相垂直吗？ 【变式5-1】（2022·安徽合肥·七年级期末）请补充完整下列推理过程及证明过程中的依据． 如图，已知DG // BA，EF ⊥BC，∠1=∠2．试证明：AD⊥BC． 解：因为DG // BA（已知）， 所以∠2=∠BAD（____________）． 因为∠1=∠2（已知）， 所以______（等量代换）， 所以EF //______（____________）． 所以∠EFB=¿______（两直线平行，同位角相等） 因为EF ⊥BC（已知）， 所以∠EFB=90°（____________）． 所以∠ADF=90°（等量代换）， 1 所以______（垂直的定义）． 【变式5-2】（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，AB⊥AC，垂足为A，∠1=30°， ∠B=60°． （1）AD与BC平行吗？为什么？ （2）根据题中的条件，能判断AB与CD平行吗？如果能，请说明理由：如果不能，添加 一个条件，使它们平行（不必说明理由）． 【变式5-3】（2022·全国·七年级）已知：直线M、PQ 被B 所截，且M∥PQ，点是线段B 上 一定点，点D 是射线上一动点，连接D． (1)在图1 中过点作E⊥D，与射线BQ 交于E 点． ①依题意补全图形； ②求证：∠D+∠BE＝90°； (2)如图2 所示，点F 是射线BQ 上一动点，连接F，∠DF＝α，分别作∠D 与∠FQ 的角平分 线交于点G，请用含有α 的代数式来表示∠DGF，并说明理由． 【考点6 利用平行线的判定与性质计算角度】 【例6】（2022·福建福州·七年级期末）如图，在△ABC中，点D，E 分别在B，上，点 F，G 在B 上，EF 与DG 交于点，∠1+∠2=180°，∠B=∠3． (1)判断DE 与B 的位置关系，并证明； (2)若∠AED+∠EFC=118°，求∠A的度数． 1 【变式6-1】（2022·河南漯河·七年级期末）已知：如图，∠＝∠DE，∠＝∠E． (1)若∠ED＝3∠，求∠的度数； (2)判断BE 与D 的位置关系，并证明你的猜想． 【变式6-2】（2022·广东湛江·七年级期末）如图所示，已知射线CB∥OA， ∠C=∠OAB=110°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，根 据上述条件，解答下列问题： (1)证明：OC ∥AB； (2)求∠EOB的度数； (3)若平行移动AB，那么∠OBC :∠OFC的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若 变化，请说明理由． 【变式6-3】（2022·北京密云·七年级期末）已知：点是∠B 的边上一点（点不与点重合）， 点D 是∠B 内部一点，射线D 不与B 相交． (1)如图1，∠B＝90°，∠D＝120°，过点作射线E，使得E//D．（其中点E 在∠B 内部）． ①依据题意，补全图1； ②直接写出∠BE 的度数． (2)如图2，点F 是射线B 上一点，且点F 不与点重合，当∠AOB=α (0°<α ≤180° )时， 过点F 作射线F，使得F//D（其中点在∠B 的外部），用含α的代数式表示∠D 与∠BF 的数 量关系，并证明． 1 【考点7 平行线的性质在生活中的应用】 【例7】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图线段B 和D 表示两面镜子，且直线B∥直线D， 光线EF 经过镜子B 反射到镜子D，最后反射到光线G 光线反射时，∠1= 2 ∠，∠3= 4 ∠，下列 结论：①直线EF 平行于直线G；②∠FG 的角平分线所在的直线垂直于直线B；③∠BFE 的角 平分线所在的直线垂直于∠4 的角平分线所在的直线；④当D 绕点G 顺时针旋转90 时，直 线EF 与直线G 不一定平行，其中正确的是（ ） ．①②③④ B．①②③ ．②③ D．①③ 【变式7-1】（2022·江苏宿迁·七年级期末）实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平 面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图有两块互相垂直的平面镜 MN , NP，一束光线AB射在其中一块MN上，经另外一块NP反射，两束光线会平行吗？ 若不平行，请说明理由，若平行，请给予证明 【变式7-2】（2022·浙江杭州·七年级期末）（1）若组成∠1和∠2的两条边互相平行，且 ∠1是∠2的2 倍小15°，求∠1的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB , EF与上拉杆CF形成的 ∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度． 当∠CDB=25°时，点，D，B 在同一直线上，求∠H的度数． 1 【变式7-3】（2022·湖南·师大附中梅溪湖中学七年级期末）梅溪湖公某处湖道两岸所在直 线（B∥D）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P 和Q，若灯P 射线自P 逆时针旋转至PB 便 立即回转，灯Q 射线自QD 逆时针旋转至便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照 射巡视．设灯 P 转动的速度是10 度/秒，灯Q 转动的速度是4 度/秒，湖面上点M 是音乐喷 泉的中心． （1）若把灯P 自P 转至PB，或者灯Q 自QD 转至Q 称为照射一次，请求出P、Q 两灯照射 一次各需要的时间； （2）12 秒时，两光束恰好在M 点汇聚，求∠PMQ； （3）在两灯同时开启后的35 秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？ 【考点8 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 【例8】（2022·河北唐山·七年级期末）己知三角形B，EF ∥AC交直线AB于点E， DF ∥AB交直线AC于点D． 1 (1)如图1，若点F 在边BC上，直接写出∠BAC与∠EFD的数量关系； (2)若点F 在边BC的延长线上，（1）中的数量关系还成立吗？若成立，给子证明；若不成 立，又有怎样的数量关系，请在备用图中画出图形并说明理由． 【变式8-1】（2022·湖北襄阳·七年级期末）如图，已知AM ∥BN，P 是射线M 上一动点 （不与点重合），B，BD 分别平分∠BP 与∠PB，分别交射线M 于点，D． (1)若∠A=50°，求∠CBD的度数； (2)在点P 的运动过程中，∠BP 与∠BD 的数量关系是否随之发生变化？若变化，请说明理由； 若不变，请求出∠BP 与∠BD 的数量关系； (3)当点P 运动到使∠B＝∠BD 时，探究∠B 与∠DB 的数量关系，并证明你的结论． 【变式8-2】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知：直线AB∥CD，经过直线AB上的定点 P的直线EF交CD于点O，点M，N为直线CD上的两点，且点M在点O右侧，点N的左侧 时，连接PM，PN，满足∠MPN=∠MNP． (1)如图1，若∠MPO=25°，∠MNP=50°，直接写出∠COP的度数为：______． (2)如图2，射线PQ为∠MPE的角平分线，用等式表示∠NPQ与∠POM之间的数量关 系，并证明． 【变式8-3】（2022·湖北孝感·七年级期末）在三角形B 中，点D 在线段上，DE∥BC交B 于点E，点F 在线段B 上（点F 不与点，E，B 重合），连接DF，过点D 作FG⊥FD交射 线B 于点G． 1 (1)如图1，点F 在线段BE 上， ①