专题21.3 期中期末专项复习之平行四边形二十二大必考点（解析版）

专题213 平行四边形二十二大必考点 【人版】 【考点1 格点中利用无刻度直尺作平行四边形】..................................................................................................1 【考点2 利用平行四边形的判定与性质求面积】..................................................................................................7 【考点3 利用平行四边形的判定与性质求长度】...............................................................................................10 【考点4 利用平行四边形的判定与性质求角度】...............................................................................................15 【考点5 利用平行四边形的判定与性质求最值】...............................................................................................20 【考点6 利用动点判断平行四边形】...................................................................................................................25 【考点7 平行四边形的判定与性质的实际应用】...............................................................................................31 【考点8 根据矩形的判定与性质求线段长】.......................................................................................................36 【考点9 根据矩形的判定与性质求角度】........................................................................................................... 42 【考点10 根据矩形的判定与性质求面积】.......................................................................................................... 47 【考点11 矩形与折叠问题】..................................................................................................................................54 【考点12 根据菱形的判定与性质求线段长】......................................................................................................59 【考点13 根据菱形的判定与性质求角度】.......................................................................................................... 65 【考点14 根据菱形的判定与性质求面积】.......................................................................................................... 71 【考点15 根据正方形的判定与性质求线段长】..................................................................................................79 【考点16 根据正方形的判定与性质求角度】......................................................................................................85 【考点17 根据正方形的判定与性质求面积】......................................................................................................95 【考点18 中点四边形】........................................................................................................................................ 100 【考点19 特殊四边形的证明】............................................................................................................................108 【考点20 特殊四边形的动点问题】....................................................................................................................119 【考点21 特殊四边形的最值问题】....................................................................................................................129 【考点22 特殊四边形的存在性问题】................................................................................................................140 【考点1 格点中利用无刻度直尺作平行四边形】 【例1】（2022 春·吉林长春·八年级校考期末）如图，在6×6 格中，每个小正方形的边长为 1，点, B 在格点上．请根据条件画出符合要求的图形． 1 (1)在图甲中画出以点为顶点且一边长为❑ √5的平行四边形．要求：各顶点均在格点上． (2)在图乙中画出线段B 的中点． 要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． 【答】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用数形结合的思想，画出平行四边形即可； （2）如图：取格点P、Q，连接PQ 交B 于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图甲中，四边形BD 即为所求． （2）解：如图乙中，点即为所求． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、平行四边形的性质等知识，灵活运用数形结合的思想 是解答本题的关键． 【变式1-1】（2022 春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期末）如图，每个小正方形的边长都是 1，A、B、C、D均在格的格点上． 1 (1)∠BCD是直角吗？请证明你的判断． (2)找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等． 【答】(1)∠BCD不是直角，证明见解析 (2)见解析（答不唯一） 【分析】（1）先根据勾股定理求出BC 2,C D 2,B D 2，再根据勾股定理的逆定理即可得； （2）先利用平行四边形的性质找到格点E，再利用等高模型画出图形即可． （1） 解：∠BCD不是直角，证明如下： ∵BC 2=5 2+2 2=29，C D 2=1 2+2 2=5，B D 2=4 2+4 2=32， ∴BC 2+C D 2≠B D 2， ∴∠BCD不是直角． （2） 解：如图，点E和四边形ABED即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理与格问题、勾股定理的逆定理、平行四边形的性质，解题的 关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型． 【变式1-2】（2022 春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在10×10的正方形格中（每个 正方形的边长为1），点A和点B都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图． 1 (1)图1 中，以AB为边作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6； (2)图2 中，以AB为对角线作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10． 【答】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据平行四边形的面积公式及对边平行的性质即可求解； (2)根据平行四边形的面积公式，利用数形结合的思想即可求解． （1）解：如下图所示，均以B 为边作平行四边形，且面积为6． （2）解：如下图所示，均以B 为对角线作平行四边形，且面积为10． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、性质及平行四边形的面积公式等知识，解题的关 键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【变式1-3】（2022 春·福建龙岩·八年级校考期中）由边长为1 的小正方形构成格，每个小 正方形的顶点叫做格点，点A、B，C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定9×12的格中完 成画图，画图过程用虚线表示画图结果用实线表示，并回答下列问题： 1 (1)直接写出AB的长是 ； (2)在图1中，画以点A、B、C为顶点且周长最大的平行四边形； (3)在图2 中，画△ABC的角平分线AD． 【答】(1)5 ❑ √2 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据格的特点结合平行四边形的性质，以AC为对角线画出平行四边形； （3）根据格的特点，延长AC至E，使得AE=5 ❑ √2，则△ABE是等腰三角形，再找到BE 的中点D，连接AD，即可求解． 【详解】（1）解：AB= ❑ √7 2+1 2=5 ❑ √2， 故答为：5 ❑ √2； （2）如图1 中，四边形ABCE即为所求作； （3）如图2 中，延长AC至E，使得AE=5 ❑ √2，则△ABE是等腰三角形，再找到BE的中 点D，连接AD，线段AD即为所求作． 1 【点睛】本题考查了画平行四边形，勾股定理与格问题，等腰三角形的性质，三线合一， 掌握以上知识是解题的关键． 【考点2 利用平行四边形的判定与性质求面积】 【例2】（2022 春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，F 是□ABCD的边CD 上的点，Q 是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若 S△APD=2cm 2，S△BQC=8cm 2，则阴影部分的面积为（ ）cm 2． ．24 B．17 ．18 D．10 【答】 【分析】连接EF，证明四边形EBCF是平行四边形，求出S△BEF=16cm 2，再得出 S△APD=S△EPF=2cm 2即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接EF， ∵F 是□ABCD的边CD上的点， ∴BE∥CF， ∴∠EBF=∠CFB，∠BEC=∠FCE， ∵BQ=FQ， ∴△EBQ≅△CFQ， ∴EQ=CQ， 1 ∴四边形EBCF是平行四边形， ∴S△BEF=2S△BQC=16cm 2 ∵S△AED=S△AEF， ∴S△APD=S△EPF=2cm 2， ∴S阴影=S△EPF+S△EBF=18cm 2， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题关键是熟练运用平行四边形的性质与 判定进行证明与计算． 【变式2-1】（2022 秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，△ABC中，∠ABC=90°， ∠CAB=60°，AC=4．作出△ABC共于点成中心对称的△A B 'C '，其中点B 对应点为 B '，点对应点为C '，则四边形C B 'C ' B的面积是（ ） ．128 B．64 ❑ √3 ．64 D．32❑ √3 【答】D 【分析】根据含30 度角的直角三角形的性质，勾股定理求得AC=2，根据中心对称的性 质以及平行四边形的判定定理，得出四边形C B 'C ' B是平行四边形，继而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AC=4． ∴∠ABC=30°,AB=2 AC=8, ∴BC=4 ❑ √3, ∵作出△ABC共于点成中心对称的△A B 'C '， ∴AB=A B ',AC=A C '， ∴四边形C B 'C ' B是平行四边形， 1 ∴四边形C B 'C ' B的面积为BC ×C C '=4 ❑ √3×8=32❑ √3， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的性质，含30 度角的直角三角形的性质， 勾股定理，得出四边形C B 'C ' B是平行四边形是解题的关键． 【变式2-2】（2022 秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，分别以直角三角形的三边向外作 等边三角形，然后将较小的两个等边△AFG和△BDE放在最大的等边△ABC内（如图）， DE与FG交于点P，连结AP，FE．欲求△GEC的面积，只需要知道下列哪个三角形的 面积即可（ ） ．△APG B．△ADP ．△DFP D．△FEG 【答】 【分析】先根据勾股定理得S△ABC=S△AFG+S△BDE，FG∥BC，CG∥PE，则四边形 EPG 是平行四边形，再由S四边形ECGP=S△DFP，可以得到S△CEG= 1 2 S△DFP． 【详解】解：由题意得S△ABC=S△AFG+S△BDE，FG∥BC，CG∥PE， ∴四边形CEPG是平行四边形， ∴S△CEG= 1 2 S四边形ECGP， ∵S△ABC=S△AFG+S四边形BFPE+S ❑ 四边形ECGP ❑ ， ∴S四边形ECGP=S△DFP， ∴S△CEG= 1 2 S△DFP， 故选：． 【点睛】本题主要考查了以直角三角形三边组成的图形的面积，平行四边形的性质与判定， 解题的关键在于能够正确理解题意． 【变式2-3】（2022 春·全国·八年级专题练习）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点 P作EF ∥BC，GH ∥AB，且CG=3 BG，S▱BEPG=1.5，则S▱AEPH=¿__． 1 【答】45##9 2 【分析】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明 S四边形AEPH=S四边形PFCG，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积 相等，由已知条件即可得出答． 【详解】解：∵EF ∥BC，GH ∥AB， ∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形， ∴S Δ PEB=S ΔBGP， 同理可得S Δ PHD=S Δ DFP，S Δ ABD=S ΔCDB， ∴S Δ ABD−S Δ PEB−S Δ PHD=S ΔCDB−S ΔBGP−S Δ DFP， 即S四边形AEPH=S四边形PFCG． ∵CG=3 BG，S▱BEPG=1.5， ∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=3×1.5=4.5； 故答为：45． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的 关键，即①两组对边分别平行⇔四边形为平行四边形，②两组对边分别相等⇔四边形为平 行四边形，③一组对边平行且相等⇔四边形为平行四边形，④两组对角分别相等⇔四边形 为平行四边形，⑤对角线互相平分⇔四边形为平行四边形． 【考点3 利用平行四边形的判定与性质求长度】 【例3】（2022·辽宁丹东·校考一模）如图，在▱ABCD中，∠BAD=120°，连接BD， 作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E 作EF ⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1， 则AB的长是（ ） ．2 B．1 ．3 D．❑ √2 【答】B 1 【分析】先根据平行四边形的判定与性质可得四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边 形的性质可得AB=DE，从而可得CE=2 AB，再根据含30 度角的直角三角形的性质可得 CE=2，由此即可得． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=120°， ∴AB∥CD，AB=CD，∠BCD=∠BAD=120°， ∵AE∥BD， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=DE， ∴CE=CD+DE=AB+ AB=2 AB， ∵∠BCD=120°， ∴∠ECF=60°， ∵EF ⊥BC， ∴∠CEF=30°， ∴CE=2CF=2×1=2， ∴AB=1， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30 度角的直角三角形的性质，熟练掌握 平行四边形的判定与性质是解题关键． 【变式3-1】（2022 春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，∠B＝45°，B＝2，B＝2❑ √2，点P 为B 上一动点，Q∥B，Q∥P，Q 、Q 交于点Q，则四边形PQ 的形状是______，连接PQ， 当PQ 取得最小值时，四边形PQ 的周长为_____． 【答】 平行四边形 ❑ √2+❑ √10##❑ √10+❑ √2 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；当PQ 是Q 和B 间距离 时PQ 取得最小值，计算四边形PQ 的周长即可． 【详解】解：如图，∵Q∥B，Q∥P， ∴四边形PQ 是平行四边形． 当PQ⊥B 时，PQ 取得最小值， ∵四边形PQ 是平行四边形， == ∴ 1 2，Q=P=1 2PQ， 1 ∵∠B=45°，B=2，B=2❑ √2， =2 ∴ ，∠B=45°， ∵QP⊥B， ∴∠P=45°， ∴P=P= ❑ √2 2 ， ∴PQ=❑ √2， ∴Q=❑ √PC 2+PQ 2= ❑ √( ❑ √2 2 ) 2 +(❑ √2) 2= ❑ √10 2 ， ∴四边形PQ 的周长为：2P+2Q=2× ❑ √2 2 +2× ❑ √10 2 =❑ √2+❑ √10， 故答为：平行四边形；❑ √2+❑ √10． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，垂线段最短的性质，综 合性较强． 【变式3-2】（2022·广东佛山·石门中学校考一模）如图，在△ABC中，D，E 分别为BC， AC上的点，将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，连接BF，CF，∠BFC =90°，若 EF ∥AB，AB=4 ❑ √3，EF =10，则AE的长为 _____． 【答】10−4 ❑ √3