第十三章 轴对称压轴题考点训练（解析版）

第十三章 轴对称压轴题考点训练 评卷人 得分 一、单选题 1．如图所示，把腰长为1 的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（ ） ．1+ B．1+ ．2- D． -1 【答】B 【详解】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为 ； 第一次折叠后，等腰三角形的底边长为 ，腰长为 ，所以周长为 故答为B 2．已知点M(2,2)，且M=2 ，在坐标轴上求作一点P，使△MP 为等腰三角形，则点P 的 坐标不可能是（ ） ．(2 ,0) B．(0,4) ．(4,0) D．(0,8 ) 【答】D 【分析】分类讨论：M=P；M=MP；PM=P，分别计算出相应的P 点，从而得出答． 【详解】∵M(2,2),且M=2 ,且点P 在坐标轴上 当 时 P 点坐标为： ，满足； 当 时： P 点坐标为： ，B 满足； 当 时： P 点坐标为： ，满足 故答选：D 【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键． 3．如图，△B 中，B＝，∠B＝90°，点D 在线段B 上，∠EDB＝ ∠B，BE⊥DE，DE 与B 相 交于点F，若BE＝4，则DF＝（ ） ．6 B．8 ．10 D．12 【答】B 【分析】过点D 作的平行线交BE 的延长线于，交B 于G，则可得DB=D，从而B=2BE，又 可证明△GB≌△FGD， 则DF=B，从而可求得DF 的长． 【详解】过点D 作的平行线交BE 的延长线于，交B 于G，如图所示 ∵D∥ ∴∠BD=∠B ∵∠EDB＝ ∠B ∴∠EDB＝ ∠BD ∴∠EDB=∠ED ∵BE⊥DE ∴∠DEB=∠DE ∴∠DBE=∠DE ∴DB=D 即△DB 是等腰三角形 ∴B=2BE=2×4=8 ∵B=，∠B=90° ∴∠B=∠B=45° ∴∠EDB=∠ED= ∠B=225° ∵BE⊥DE ∴∠EBD=90°-∠EDB=675° ∴∠BG=∠EBD-∠B=225° ∴∠BG=∠ED ∵∠BD=∠B=∠B=45° ∴GB=GD，∠BGD=90° 在Rt△GB 和Rt△FGD 中 ∴△GB≌△FGD ∴DF=B=8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助 线得到全等三角形是问题的关键． 4．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中（3，﹣ ）和B（3，﹣ ）是图形上的一对 对称点，若此图形上另有一点（﹣2，﹣9），则点对称点的坐标是（ ） ．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣ ） ．（﹣ ，﹣9） D．（﹣2，﹣1） 【答】 【分析】先利用点和点B 的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点关于直 线y=-4 的对称点即可． 【详解】解：∵（3，﹣ ）和B（3，﹣ ）是图形上的一对对称点， ∴点与点B 关于直线y＝﹣4 对称， ∴点（﹣2，﹣9）关于直线y＝﹣4 的对称点的坐标为（﹣2，1）． 故选：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m 对称，则 两点的纵坐标相同，横坐标和为2m；关于直线y=对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和 为2． 5．如图， 的角平分线与 的垂直平分线 交于点 ，垂足 分别为 ，若 ，则 的周长为（ ） ．19 B．28 ．29 D．38 【答】B 【分析】连接BD、D，证△BDE DF ≌△ ，可得F=BE，根据角平分线性质可知E=F，即可求周 长． 【详解】解：连接BD、D， D ∵ 平分∠ B， ， DE=DF ∴ ， D=D ∵ ， Rt DE Rt DF ∴ △ ≌ △ ， E=F=9 ∴ ， DG ∵ 垂直平分B， BD=D ∴ ， Rt BDE Rt DF ∴ △ ≌ △ ， BE=F ∴ ， 的周长=B++B=F-F+E+BE+B=2F+B=28， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解 题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形． 6．如图，等边 中， 、 分别为 、 边上的点， ，连接 、 交 于点 ， 、 的平分线交于 边上的点 ， 与 交于点 ，连接 下列说法： ； ； ； ；其 中正确的说法有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【答】 【分析】根据等边三角形的性质，证明 ；即可得①正确；证明 ， ，再由 ，即可得 ②正确；先证 ，得 ，再证 ，即可得 ③正确；先证 ，得 ，再证 ，由 ， 即可得④正确； 【详解】解： 是等边三角形， ， 在 和 中， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 的平分线交于 边上的点G， ， ， ，故②正确； 如下图，过点G 作 于T， 于， 于K， 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上：正确的有4 个； 故选． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性 质，三角形内角和定理，三角形的外角，解题的关键是证三角形全等． 7．如图，为线段E 上一动点（不与点，E 重合），在E 同侧分别作等边△B 和等边△ED，D 与BE 交于点，D 与B 交于点P，BE 与D 交于点Q 连接PQ．以下五个结论正确的是（ ） ① ；②PQ∥E； ③ ；④ ；⑤ ．①③⑤ B．①③④⑤ ．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答】 【分析】①由于△B 和△DE 是等边三角形，可知=B，D=E，∠B=∠DE=60°，从而证出 △D≌△BE，可推知D=BE；②由△D≌△BE 得∠BE=∠D，加之∠B=∠DE=60°，=B，得到 △QB≌△P（S），再根据∠PQ=60°推出△PQ 为等边三角形，又由∠PQ=∠DE，根据内错角相 等，两直线平行，可知②正确；③根据②△QB≌△P（S），可知③正确；④根据 ∠DQE=∠EQ+∠EQ=60°+∠EQ，∠DE=60°，可知∠DQE≠∠DE，可知④错误；⑤利用等边 三角形的性质，B∥DE，再根据平行线的性质得到∠BE=∠DE，于是 ∠B=∠D+∠BE=∠BE+∠DE=∠DE=60°，可知⑤正确． 【详解】解：∵等边△B 和等边△DE， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴D=BE， ① ∴ 正确， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，即 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵∠PQ=60°可知△PQ 为等边三角形， ∴ ， ∴PQ∥E②正确， ∵△QB≌△P， ∴P=BQ，③正确， ∵D=BE，P=BQ， ∴ ， 即DP=QE， ∵ ， ∴∠DQE≠∠DE， ∴DE≠DP，故④错误； ∵∠B=∠DE=60°， ∴∠BD=60°， ∵等边△DE， ∠ED=60°=∠BD， ∴B∥DE， ∴∠BE=∠DE， ∴∠B=∠D+∠BE=∠BE+∠DE=∠DE=60°， ⑤ ∴ 正确． 故选：． 【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判 定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大． 8．如图，已知，点（0，0）、B（4 ，0）、（0，4），在△B 内依次作等边三角形，使 一边在x 轴上，另一个顶点在B 边上，作出的等边三角形分别是第1 个△1B1，第2 个 △B12B2，第3 个△B23B3，…则第2017 个等边三角形的边长等于（ ） ． B． ． D． 【答】 【详解】根据锐角三函数的性质，由B= ，=1，可得∠B=90°，然后根据等边三角形的性 质，可知∠1B=60°，进而可得∠1=30°，∠1=90°，因此可推导出∠21B=30°，同理得到 ∠2B1=∠3B2=∠4B3=90°，∠21B=∠32B2=∠43B3=30°，故可得后一个等边三角形的边长等于前一个 等边三角形的边长的一半，即1=s∠1= ，B12= ，以此类推，可知第2017 个等边三 角形的边长为： 故选 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得 出：后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半 评卷人 得分 二、填空题 9．如图， 中， 垂直 于点 ，且 ，在直线 上方有一动点 满足 ，则点 到 两点距离之和最小时， 度． 【答】45 【分析】由三角形面积关系得出点 在与 平行，且到 的距离为 的直线上， 作点 关于直线的对称点 ，连接 交于点 ，则 ， ，此时点 到 两点距离之和最小，作 于 ，则 ，证明 是等腰 直角三角形，得出 ，由等腰三角形的性质得出 ，从而即可得 到答． 【详解】解： ， 点 在与 平行，且到 的距离为 的直线上， ， 作点 关于直线的对称点 ，连接 交于点 ，如图所示， ， 则 ， ，此时点 到 两点距离之和最小， 作 于 ，则 ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故答为：45． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形 的性质、三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系 中，点的坐标为 ，点B 为x 轴上一动点，以 为 边在直线 的右侧作等边三角形 ．若点P 为 的中点，连接 ，则 的长的最 小值为 ． 【答】9 【分析】如图所示，在x 轴上取 ，连接 ，证明 是等边三角形，得到 ，则 ，再证明 ，得到 ，则点的运动轨迹为直线（该直线经过点F 且 与直线 的夹角为60 度），设点的运动轨迹所在的直线交y 轴于，过点P 作 交 直线 于 ，当点运动到点 时， 的长有最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，在x 轴上取 ，连接 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 同理可得 ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点的运动轨迹为直线（该直线经过点F 且与直线 的夹角为60 度）， 设点的运动轨迹所在的直线交y 轴于，过点P 作 交直线 于 ， ∴当点运动到点 时， 的长有最小值， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵点P 为 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 的最小值为9， 故答为：9． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判 定，含30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形，从而得 到点的运动轨迹是直线是解题的关键． 11．如图， 和 都是等腰三角形，且 ，是 的中 点，若点D 在直线 上运动，连接 ，则在点D 运动过程中，线段 的最小值为 ． 【答】2 【分析】取 的中点为点 ，连接 ，先证得 ，得出 ，根据点 到直线的距离可知当 时， 最小，然后根据 所对的直角边等于斜边的一半 求得 时的 的值，即可求得线段 的最小值． 【详解】解：取 的中点为点 ，连接 ， ， ， 即 ， ， 为 中点， ， 在 和 中， ， ， ， 点 在直线 上运动， 当 时， 最小， 是等腰三角形， ， ， ， 线段 的最小值是为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、 所对的直角边等于斜边的一半、三角形全等 的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会 利用垂线段最短解决最值问题． 12．如图，四边形BD 中，∠B=90°，B=，∠D=45°，若△BD 的面积是18，则D 长为 ． 【答】6 【分析】过点作E D ⊥，交D 延长线于点E，连接BE；可证△D≌△BE，可得BE＝D， BE⊥D，垂足为E，由三角形面积公式可求BE×D＝36，可求解． 【详解】解：如图，过点作E D ⊥，交D 延长线于点E，连接BE； E D ∵⊥， ∴∠DE＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠BE＝∠D， ∵∠DE＝90°，∠D＝45°， ED= ∴∠ ∠D＝45°， E=D ∴ ， 在△BE 和△D 中， ， ∴△BE≌△D（SS）， ∴BE＝D，∠EB＝∠D=45º， ∵∠ED＝45°， ∴∠BE=∠EB+∠ED＝90°， ∴S△BD＝ BE×D＝18， ∵BE＝D， ∴D2＝36， D ∵＞0 ∴D＝6， 故答为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线 构造全等三角形是本题的关键． 13．如图，点 是等边 内部一点，以 为边，在 的左边作等边 ， 为 的中点，连接 ，若 ， ，则 的长为 ． 【答】 【分析】将△BE 旋转至△F 处， 延长EM 至EM=MG，连接G，通过依次证明△BE≌△△F、 △BME≌△MG、△EG≌△EF 即可得出 ． 【详解】解：将△BE 旋转至△F 处， 延长EM 至EM=MG，连接G ∴△BE≌△△F， ∴F=E，∠B=∠F，∠BE=∠F， ∵△B 为等边三角形， ∴∠B=∠B=60°=∠BE+∠E， ∴∠EF=∠E+∠F=60°， ∴△EF 为等边三角形， ∴E=EF， ∵M 为B 的中点， ∴BM=M， 又∵EM=MG，∠EMB=∠GM， ∴△BME≌△MG（SS）， ∴∠EB=∠BG，BE=G ∵∠BE=120°， ∴∠EB+∠EB=60°， ∴∠EG=60°，∠E=∠BG=∠EB， ∴∠EF=∠F+∠E=∠BE+∠EB=60°， ∵F=BE=G，∠EF=∠EG=60°，E=E， ∴△EG≌△EF（SS）， ∴ 故答为： ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，旋转综合题，全等三角形的性质和判定，三 角形内角定理等．正确作出辅助，构造全等三角形和等边三角形是解题关键． 14．如图， 为等腰三角形， ， ， 为 的中点，点 在 上， ， 是等腰 腰上的一点，若 是以 为腰的等腰三角形，则 的大小为 ． 【答】 或 或 或 【分析】根据题意，分为点P 在 上和点P 在 上两种情况，根据等腰三角形的定义， 点P 在 上有两种情况，点P 在 有两种情况，一共四种情况，进行分类讨论，即可求 解． 【详解】解：①当点P 在 上， 时， ∵ ， ， ∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ②当点P 在 上， 时， ∵ ， ， ∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ③当点P 在 上， 时， 连接 ，过点D 作 于点M， 于点， ∵ ， ， ∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 为 的中点， ， ∴ 平分 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 在四边形 中， ， ∴ ， ④当点P 在 上， 时， 由③可得 ， ， ∴ ， 故答为： 或 或 或 ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握“等 边对等角”，三角形的一个外角等于于它不相邻的两个内角之和，三角形的内角和为 ． 15．如图，在 中， ， 和 分别为 和 的角平分线， 若 的周长为 ， ，则 的长为 ． 【答】 【分析】如图（见解析），过点P 作 ，交于点D，先根据角平分线的定义、等腰三 角形的性质得出 ，从而得出 ，再根据平行线的性质、三角形的外角 性质得出 ，然后根据角平分线的定义、三角形全等的判定定理与 性质得出 ，从而得出 ，最后联立求解即可得． 【详解】由题意得： 为 的角平分线， 过点P 作 ，交于点D 为 的角平分线 在 和 中， 联立 ，解得 即 的长为8 故答为：8． 【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形 全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 16．如图，在△B 中，D⊥B，点E 在线段D 上，∠E＝45°，∠B＝2∠EB，若BD﹣D＝2，E ＝6，则B＝ ． 【答】8 【分析】延长B 至F，使DF＝DB，延长D 至G，使G＝B，连接F，G．设∠EB＝α，则 ∠B＝2α，根据题意可求出∠DE＝90°-α．根据作图结合线段垂直平分线的性质可证明B＝ F，∠BD＝∠FD，∠B＝∠F＝2α．由三角形外角性质可求出∠D＝45°-α．由∠DF＝90°-2α， 从而得出∠F＝45°-α，即证明∠D＝∠F，从而易证△G≌△F（SS），得出∠G＝∠F＝2α，G ＝F＝2．再根据∠GE＝180°-∠G-∠DE，即可求出∠GE=90°-α，即得出∠GE＝∠GE，从而得 出G＝GE＝2，即可求出G＝B＝8． 【详解】解：延长B 至F，使DF＝DB，延长D 至G，使G＝B，连接F，G． 设∠EB＝α，则∠B＝2α， ∵D⊥B，∴∠DE＝90°-α， ∵BD＝DF，∴B＝F，∠BD＝∠FD，∴∠B＝∠F＝2α， ∵∠DE＝90°-α，∠E＝45°，∴∠D＝90°-α-45°＝45°-α， ∵∠DF＝90°-∠F＝90°-2α，∴∠F＝90°-2α-(45°-α)＝45°-α，∴∠D＝∠F， 在△△G 和△F 中， ，∴△G≌△F（SS）， ∴∠G＝∠F＝2α，G＝F＝DF-D＝BD-D＝2， ∵∠GE＝180°-∠G-∠DE＝180°-2α- (90°-α)＝90°-α，∴∠GE＝∠GE， ∴G＝GE＝2，∴G＝F=B＝2+6=8． 故答为：8． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质， 三角形内角和定理以及三角形全等的判定和性质．正确的作出辅助线是解题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图1， 是等边三角形 内一点， ，连结 ． （1）证明 ． （2）如图2，以 为斜边在 外作等腰直角 ，连结 ．请判断 的形状， 并说明理由． （3）在（2）的条件下，若 ，求点 到 的距离． 【答】（1）证明见解析；（2）等腰三角形，证明见解析；（3） ． 【分析】（1）依据题意先求出 ，得出 ，即可求出； （2）先求出 ，得到 是等边三角形，求出 ，即可判断三角 形的形状； （3）过 作 于点 ，过 作 于点 ，延长 交 于点 ，由题意 得 由 得 再根据△ 是等边三角形、 和 是等腰直角三角形，得 ，从而求得 ， 再根据等积法即可求得E． 【详解】 是等边三角形， ， 在 和 中， ， ． ， 是等腰直角三角形， 是以 为斜边的等腰直角三角形， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， 由 得 ， ， 是等腰三角形． 是等腰直角三角形， 是等腰三角形， ， 由 得 ， 如图，过 作 于点 ，过 作 于点 ，延长 交 于点 是等边三角形， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，