九下专题05 二次函数中的线段长度问题（教师版）

专题05 二次函数中的线段长度问题 类型一、单线段长度问题 例1．综合与探究 如图，二次函数 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．点 是射线 上的动点，过点 作 ，并且交 轴于点 ． (1)请直接写出 ， ， 三点的坐标及直线 的函数表达式； (2)当 平分 时，求出点 的坐标； (3)当点 在线段 上运动时，直线 与抛物线在第一象限内交于点 ，则线段 是否 存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由． 【答】(1) ， ， ， ；(2) ， (3)存在， 【解析】(1)解： 二次函数 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． 令 ，则 ，即 ． 令 ，则 ，解得 ，即 ， ， ， ， ．设直线 的表达式为 ，则 解得 直线 的表达式是： ． (2)∵ ，∴ ． 又∵ ． ∴ ．∴ ． 由勾股定理，得 ． 分两种情况． 如答图1，当点 在线段 上时．过点 作 轴，垂足为 ． ，则 ．∴ ． ∴ ．解得 ， ． ∴ ．∴点 ． 如答图2，当点 在线段 的延长线上时．过点 作 轴，垂足为 ． ，则 ． ∴ ．∴ ．解得 ， ． ∴ ．∴点 ． (3)如答图3 过点 作 轴，并且交直线 于点 ,过点 作 ，并且交 轴 于点 ． 则 ， ．∴ ． ∵ ， ，∴ ．∴ ． 设点 ， ．∴ ．∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ 有最大值． 的最大值为 ． 【变式训练1】如图，抛物线 与x 轴交于点 、 ，与y 轴交于 点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M 是抛物线对称轴上的动点，求 的最小值； (3)若点P 是直线下方抛物线上的动点，过点P 作 于点Q，线段PQ 是否存在最大 值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) ；(2) ；(3)线段PQ 存在最大值，此时点P 坐标为 【解析】(1)解：把点和点B 坐标代入抛物线解析式得 解得 所以抛物线的解析式为 ． (2)解：如下图所示，连接M，设直线与二次函数的对称轴交于． ∵ 、 ，∴点和点B 关于二次函数的对称轴对称，=2．∴M=MB． ∴MB+M=M+M．∴当点M 与点重合时M+M 取得最小值，即MB+M 取得最小值为． ∵抛物线 与y 轴交于点，∴ ．∴=2． ∴ ．∴MB+M 的最小值为 ． (3)解：如下图所示，过点P 作PD⊥x 轴于D，交直线于E，设 ，其中 ，设直线解析式为y=kx+d． =2 ∵ ，=2，∴=． ∴ ． ∵PD⊥x 轴，∴∠DE=90°．∴∠DE=180°-∠DE- =45° ∠ ．∴∠QEP=∠DE=45°． ∵PQ⊥，∴∠PQE=90°， ．∴∠QPE=180°-∠PQE-∠QEP=45°． ∴∠QPE=∠QEP．∴QE=PQ．∴ ．∴ ． ∴当EP 取得最大值时，PQ 取得最大值． 把点和点坐标代入直线解析式得 解得 ∴直线解析式为 ．∴ ． ． ∴当 时，EP 取得最大值．∴ ． ∴线段PQ 存在最大值，此时点P 坐标为 ． 【变式训练2】如图，二次函数 的图象交x 轴于、B 两点，交y 轴于点 D，点B 的坐标为 ，顶点的坐标为 ． (1)求二次函数的解析式和直线 的解析式； (2)点P 是直线 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一 象限时，求线段 长度的最大值． 【答】(1) ， ；(2)线段 长度有最大值为 【解析】(1)设二次函数的解析式为： ，将B 的坐标 代入得： ∴二次函数的解析式为： 即： ， ∵点D 是二次函数与y 轴的交点，∴D 点坐标为： 设直线 的解析式为： 将B 的坐标 代入得： ∴直线 的解析式为： ； (2)解：设P 点的横坐标为 ，则 ， ∴ ， ∵ ，∴当 时，线段 长度有最大值为 ． 类型二、双线段长度问题 例1．已知抛物线 (，b，为常数， )的顶点 ，抛物线与x 交于点 和B，与y 轴交于点．平面直角坐标系内有点 和点 ． (1)求抛物线的解析式及点B 坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点E，使 的值最小，求点E 的坐标； (3)若F 为抛物线对称轴上的一个定点， ①过点作y 轴的垂线l，若对于抛物线上任意一点 都满足P 到直线l 的距离与它到 定点F 的距离相等，求点F 的坐标； ②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P，使 最小，若存在，求出点P 的坐标 及 的最小值；若不存在，请说明理由． 【答】(1)y=-x2+2x+3；B(3，0)；(2)E(1， )；(3)① ；②P(2，3)，最小值为 【解析】(1)解：∵抛物线顶点D(1，4)，与x 轴交于点(-1，0)， ∴设抛物线解析式为y=(x-1)2+4， 把(-1，0)代入，解得=-1， ∴y=-(x-1)2+4， ∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3， 令y=0，可得-(x-1)2+4=0，解得x1 =-1，x2 =3， ∴B(3，0)； (2)如图①，连接B 交对称轴于点E，连接E，此时E + E 的值最小， 设直线B 解析式为y=kx+b，把B(3，0)，(0， )代入，解得k= ，b= ， ∴直线B 解析式为 ， 把x=1 代入解得y= ，∴E(1， )； (3)①如图②，设对称轴上点F(1，t)，过点P 作P⊥l，过点F 作FM⊥P， ， ， ， ， ， ， ， ∵抛物线上任意一点P(m，)， ， ， ， ， 整理可得： ， ∵任意一点P(m，)，与无关， ， ， ； ②：如图③， ∵抛物线上任意一点P(m，)满足PF=P，∴FP +GP = P +GP 根据垂线段最短可知，当G，P，共线时，FP+GP 的值最小，最小值为： ， ∵G(2，0)，∴把x=2 代入y=-x2+2x+3 解得y=3∴当P(2，3)此时FP+GP 的值最小，最小值为 例2 如图，平面直角坐标系中，二次函数 图像交x 轴于点、B，交y 轴于 点，图像对称轴交x 轴于点D．点P 是线段D 上一动点，从向D 运动，是射线B 上一点． (1)则点的坐标为 ，点B 的坐标为 ，线段B 的长为 ； (2)如图1，在P 点运动过程中，若△P 中有一个内角等于∠，求P 的长； (3)如图2，点 在二次函数图像上，在P 点开始运动的同时，点Q 在抛物线对称轴 上从D 点向上运动，Q 点运动速度是P 点运动速度的2 倍，连接QM，则 的最小 值为 ． 【答】(1)(－10，0)；(2，0)； ；(2) 或3；(3) 【解析】(1)二次函数 中，令y=0，得： ， 解得： ，∴(－10，0)，B(2，0)， 二次函数 中，令x=0，得：y=2，∴(0，2)， ∴ ，故答为：(－10，0)；(2，0)； ； (2)如图，连接E， 设直线B 的函数关系式为y＝kx＋b． ∵函数图像经过B(2，0)，(0，2) 则 ，解得 ． ∴y 与x 的函数关系式为 ； ∵抛物线的对称轴为x＝－4∴D(4，0)． 延长B 交对称轴为E，∴E(－4，6)，∴DE＝DB＝6． 又∵DE⊥DB，∴∠DEB＝∠DBE＝45°． ( ∵－10，0)，D＝DE＝DB＝6， ∴△EB 为等腰直角三角形， ．∴ ， ． 若∠P＝∠，则△P∽△E， ∵在△E 中，E：E＝3：2，∴：P＝3：2 ∵＝2，∴ ； 若∠P＝∠，则△P∽△E， ∵在△E 中，E：E＝3：2，∴P：＝3：2 ∵＝2，∴P＝3； 综上所述，P 长为 或3． (3)由题意可知：∵ ，∠P＝∠QD＝90°，∴Rt△P∽Rt△QD．∴ ∴Q＝2P．作点M 关于直线x＝－4 的对称点M’，则MQ＝M’Q． ∵M(－3， )∴M’(－5， )，过点M’作M⊥x 轴于点， 在Rt△M’中， ． 所以QM＋2P 的最小值为 ．故答为： 【变式训练1】已知抛物线 (b，为常数)的图象与x 轴交于 ，B 两点 (点在点B 左侧)．与y 轴相交于点，顶点为D． (1)当b=2 时，求抛物线的顶点坐标； (2)若点P 是y 轴上一点，连接BP，当PB=P，P=2 时，求b 的值； (3)若抛物线与x 轴另一个交点B 的坐标为 ，对称轴交x 轴于点E，点Q 是线段DE 上 一点，点为线段B 上一点，且=2B，连接Q，求 的最小值． 【答】(1) ；(2) ；(3) 【解析】(1)∵抛物线 经过点 ，∴ ，解得 ， 当 时， ，∴ ，∴抛物线的顶点坐标为 ； (2)由(1)知，抛物线的解析式为 ， ∵抛物线的对称轴为直线x=b， ∴点B 的坐标为 ． ∵点P 在y 轴上，P=2， ∴点P 的坐标为 或 ． ∵点 在y 轴负半轴上， ∴ 或 ． 在Rt△PB 中，由勾股定理得 ． ∵PB=P，即 ， ∴ 或 ． 解得 或 或 ． ∵ 在y 轴负半轴上， ∴ ，解得 ，∴ ； (3)如图，连接D，过点Q 作QF⊥D 于点F，抛物线与x 轴交于 ， ∴抛物线的解析式为 ，∴顶点 ， ， ∴ ， ， ∴ ，∴ ， ∴ ， =2 ∵ B，∴ ，=2， 过点作G⊥D 于点G，连D，则QF+Q 的最小值为G， 由面积相等知： ， ∴ ，∴ ， ∴ 的最小值为 ． 【变式训练2】已知如图，二次函数 的图象交x 轴于，两点，交y 轴于点 ，此抛物线的对称轴交x 轴于点D，点P 为y 轴上的一个动点，连接 ． (1)求的值；(2)求 的最小值． 【答】(1) ；(2) 【解析】(1)解：把点 代入 得： ，解得： ； (2)解：连接B，过点D 作D⊥B 于点，交y 轴于点P， 由(1)得：二次函数的解析式为 ，令y=0，则 ，解得： ， ∴点(-3，0)，(5，0)，∴抛物线的对称轴为直线 ，∴点D(1，0)，∴D=4， ∵点 ，∴ ，∴ ，∴B=2， ∵∠B=90°，∴∠B=30°，∴ ，∴ 的最小值为PD+P=D 的长， ∵D⊥B，∠B=60°，∴∠D=30°，∴ ，∴ ，∴ 的最小值为 ． 【变式训练3】如图，已知抛物线 与x 轴相交于 ， 两点，与y 轴相交于点 ，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)若P 是直线B 下方抛物线上任意一点，过点P 作 轴于点，与B 交于点M． ①求线段PM 长度的最大值． ②在①的条件下，若F 为y 轴上一动点，求 的最小值． 【答】(1)y＝x2－2x－3；(2)① ；② 【解析】(1)解：把 ，点 代入抛物线 中 得： ，解得： ， 抛物线的解析式为： ； (2)解：①如图， 令 ，即 ，解得 或 ， ， ，设 的解析式为： ，则 ，解得： ， 的解析式为： ， 设 ，则 ， ， 当 时， 有最大值为 ； ②当 有最大值， ， 在 轴的负半轴上取一点 ，使 ，过 作 于 ， 当 、 、 三点共线时， 最小，即 的值最小， 中， ， ， ， ， 中， ， ， ， 的最小值是 ． 【变式训练4】已知抛物线 过点 ， 两点，与 轴交于点 ， ． (1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标； (2)过点 作 ，垂足为 ，求证：四边形 为正方形； (3)若点 为线段 上的一动点，问： 是否存在最小值？若存在，求出这个最 小值；若不存在，请说明理由． 【答】(1) ， ；(2)见解析；(3)存在， 【解析】(1)∵抛物线 过点 ， 两点，∴设抛物线解析式为 ， ∵ ，∴ ， ∵这个抛物线与 轴交于点 ，∴ ，∴ ， ∴抛物线的解析式为： ． ∵ ，∴这个抛物线的顶点 ； (2)连接 ， ， 由(1)得： ，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴四边形 为菱形， ∵ ，∴四边形 为正方形； (3)存在，理由： 如图，点 作与 轴夹角为 的直线 ，交 轴于点 ，过点 作 ，垂足为 ， 交 于点 ，则 ， 的最小值 ， ∵ ， ，∴ ． ∵ ，∴ ． ∵ ，∴ ．∴ ∴ 的最小值为 ． 类型三、周长问题 例1．如图，已知抛物线y＝x2+4x+经过(2，0)、B(0，﹣6)两点，其对称轴与x 轴交于点． (1)求该抛物线和直线B 的解析式； (2)设抛物线与直线B 相交于点D，求△BD 的面积； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QB 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐 标；若不存在，请说明理由． 【答】(1)y＝﹣ x2+4x 6 ﹣，y＝ x 6 ﹣；(2) ；(3)存在，点Q 的坐标为(4，﹣2) 【解析】(1)解：将(2，0)、B(0，﹣6)代入抛物线解析式得： ，解得： ， 故抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+4x 6 ﹣，其对称轴为：x＝4， 故点的坐标为(4，0)， 设直线B 的解析式为y＝kx+b，将点B、点的坐标代入可得： ，解得： ， 故直线B 的解析式为y＝ x 6 ﹣； (2)解：联立直线B 与抛物线的解析式： ，解得： 或 ， 故点D 的坐标为(5， )，则S△BD＝S△D+S△B＝ ×D 纵+ ×|B 纵|＝ ． (3)解：存在点Q，使得△QB 的周长最小； 点关于抛物线对称轴的对称点为'，连接'B，则'B 与对称轴的交点即是点Q 的位置： '坐标为(6，0)，B(0，﹣6)， 设直线'B 的解析式为：y＝mx+，代入两点坐标可得： ，解得： ， 即直线'B 的解析式为y＝x 6 ﹣，故点Q 的坐标为(4，﹣2)． 即存在点Q 的坐标(4，﹣2)时，使得△QB 的周长最小． 【变式训练1】如图，抛物线y=x2+bx+(≠0)，经过点(-1，0)，B(3，0)，(0，3)三点． (1)求抛物线的解析式及顶点M 的坐标； (2)连接、B，为抛物线上的点且在第四象限，当S△B=S△B 时，求点的坐标； (3)在(2)问的条件下，过点作直线l∥x 轴，动点P(m，3)在直线l 上，动点Q(m，0)在x 轴上， 连接PM、PQ、Q，当m 为何值时，PM+PQ+Q 最小，并求出PM+PQ+Q 的最小值． 【答】(1)y=-x2+2x+3，顶点M 坐标为(1，4)；(2)点坐标为(4，-5)； (3)当m= 时，PM+PQ+Q 有最小值，最小值为3 +3． 【解析】(1)解：∵抛物线y=x2+bx+(≠0)经过点(-1，0)，B(3，0)，(0，3)， ∴ ，解得： ，∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，则抛物线的顶点M 坐标为(1， 4)； (2)解：∵是抛物线上第四象限的点，∴设(t，-t2+2t+3)(t＞3)，又点(0，3)， 设直线的解析式为y=k1x+b1，则 ，解得： ， ∴直线的解析式为y=(-t+2)x+3， 设直线与x 轴交于点D， 当y=0 时，x= ，∴D( ，0)，BD=3- ， ∵S△B=S△B，∴S△DB+S△BD= B•，即 BD•|y-y|= [3-(-1)]×3， 即 ×(3- )[3-(-t2+2t+3)]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t1=4，t2=-1(舍去)， 当t=4 时，-t2+2t+3=-5，∴点坐标为(4，-5)； (3)解：将顶点M(1，4)向下平移3 个单位得到点M (1 ′ ，1)，连接M′交x 轴于点Q，连接 PQ， 则MM =3 ′ ，∵P(m，3)、Q(m，0)，∴PQ⊥x 轴，且PQ==3， ∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四边形MM′QP 是平行四边形，∴PM=QM′， 由作图知当M′、Q、三点共线时，PM+PQ+Q=M′Q+PQ+Q 取最小值， 设直线M′的解析式为y=k2x+b2(k2≠0)， 将点M (1 ′ ，1)、(4，-5)代入，得： ，解得： ，∴直线M′的解析式为 y=-2x+3， 当y=0 时，x= ，∴Q( ，0)，即m= ， 此时过点作E∥x 轴交MM′延长线于点E， 在Rt△M′E 中，∵M′E=1-(-5)=6，E=4-1=3，∴M = ′ ， ∴M′Q+Q=3 ， ∴当m= 时，PM+PQ+Q 的最小值为3 +3． 【变式训练2】如图1，在平面直角坐标中，抛物线 与x 轴交于点 、 两点，与y 轴交于点，连接B，直线 交y 轴于点MP 为直线B 上方抛 物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交直线B、BM 于点E、F． (1)求抛物线的表达式； (2)当点P 落在抛物线的对称轴上时，求△PB 的面积； (3)①若点为y 轴上一动点，当四边形BEF 为矩形时，求点的坐标； ②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足 ，当△QB 的周长最小时，求点Q 的 坐标． 【答】(1) ；(2) ；(3)① ；② 【解析】(1)解：∵抛物线 与x 轴交于点 、 两点， ∴抛物线的表达式为： ， ∴ ； (2)解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴直线 的表达式为： ， 把 代入 得： ， ∴ ； (3)解：①过点作 于点G， ∵ 过点 ， ∴ ， ∴ ， ∴直线 的表达式为： ， ∴ ， 设 ， ， ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 、 ， ∴ ， ， ∴ ； ②∵ ， ∴点Q 在 的垂直平分线上， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴当点B、Q、M 共线时， 的周长最小， 此时，点Q 即为 的垂直平分线与直线 的交点， ∵ ； ， ∴ ， 把 代入 得： ， ∴ ．