中考数学几何模型2：共顶点模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点 重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的 步骤如下： （1）寻找公共的顶点 （2）列出两组相等的边或者对应成比例的边 交于点F，连接F，则有以下结论： （1） （2） （3） （4） 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1 以点为顶点作等腰Rt△B，等腰Rt△DE，其中∠B＝∠DE＝90°，如图1 所示放置， 使 得一直角边重合，连接BD、E． （1）试判断BD、E 的数量关系，并说明理由； （2）延长BD 交E 于点F 四边形BED＝10×10÷2＝50． 例题2 如图，等边△B，等边△DE，等边△DBF 分别有公共顶点，D，且△DE，△DBF 都在 △DB 内，求证：D 与EF 互相平分 变式练习>>> 2 已如图，已知等边三角形B，在B 上取点D，在上取点E，使得D＝E，作等边三角形 PD， QE 和RB，求证：P、Q、R 是等边三角形的三个顶点． 【解答】解：连接BP， ∵△B 和△PD 都为等边三角形， ∴＝B，D＝P，∠B＝∠DP＝60°，

....................................................................................14 【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】............................................................................................ 二次函数的一般形式y=ax 2+bx+c (a≠0)配方成顶点式y=a(x+ b 2a) 2 + 4 ac−b 2 4 a 2 ，由此 得到二次函数对称轴为 ，顶点坐标为 ． 【题型1 二次函数的配方法】 【例1】（2022 秋•饶平县校级期末）用配方法将下列函数化成y＝（x+）2+k 的形式，并指 出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． （1）y¿ 1 2x2 2 ﹣x+3； 【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完 全平方式，把一般式转化为顶点式； （2）化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方 1 来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：（1）y¿ 1 2x2 2 ﹣x+3 ¿ 1 2（x 2 ﹣）2+1， 开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标（2，1）； （2）y＝（1﹣x）（1+2x） ＝﹣2x2+x+1

.....................................................................................8 【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】............................................................................................ 二次函数的一般形式y=ax 2+bx+c (a≠0)配方成顶点式y=a(x+ b 2a) 2 + 4 ac−b 2 4 a 2 ，由此 得到二次函数对称轴为 ，顶点坐标为 ． 【题型1 二次函数的配方法】 【例1】（2022 秋•饶平县校级期末）用配方法将下列函数化成y＝（x+）2+k 的形式，并指 出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． （1）y¿ 1 2x2 2 ﹣x+3； 【变式1-1】（2022•西华县校级月考）用配方法确定下列二次函数图象的对称轴与顶点 坐标． 1 （1）y＝2x2 8 ﹣x+7； （2）y＝﹣3x2 6 ﹣x+7； （3）y＝2x2 12 ﹣ x+8； （4）y＝﹣3（x+3）（x 5 ﹣）． 【变式1-2】（2021•邵阳县月考）把下列二次函数化成顶点式，即y＝（x+m）2+k 的形式， 并写出他们顶点坐标及最大值或最小值． （1）y＝﹣2x 3 ﹣+1

.........................................................................................1 【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】........................................................................................ ，2）两 点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点． 【分析】把（2 ，0 ），（4 ，2 ）代入y ＝x2+bx+ 中，可得二元一次方程组 { 4+2b+c=0 ① 16+4 b+c=2 ② ，解二元一次方程组可得{ b=−5 c=6 ，即可求出二次函数解析式，再根 据二次函数对称轴的公式x¿−b 2a，顶点坐标公式(−b 2a ，4 ac−b 2 4 a )，把，b，的值代 ∴这个二次函数的解析式y＝x2 5 ﹣x+6， ∴二次函数y＝x2 5 ﹣x+6 对称轴是直线x¿−b 2a=−−5 2×1 =5 2， 由二次函数的顶点坐标公式（−b 2a ，4 ac−b 2 4 a ）可得， 二次函数y＝x2 5 ﹣x+6 顶点坐标：x¿−b 2a=5 2，y¿ 4 ac−b 2 4 a = 4×1×6−(−5) 2 4×1 =−1 4 ， 即（5 2

的长度为 （）。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 三角形ABC 的顶点坐标分别为A(0,0)、B(3,0)、C(0,4)，其面积 是（）。 A. 6 B. 7 C. 12 D. 5 4. 矩形顶点为P(1,1)、Q(5,1)、R(5,4)、S(1,4) ，其面积为（）。 A. 12 B. 15 D. (6,0) 7. 梯形顶点坐标依次为(0,0)、(4,0)、(3,2)、(1,2)，其面积为 （）。 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 点E(-3,0)和点F(0,4) 连线与坐标轴围成的三角形面积是（）。 A. 6 B. 12 C. 9 D. 10 9. 平行四边形顶点为(1,1)、(4,1)、(5,3)、(2 3)、(2,3) ，其面积为（）。 A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 10. 某花圃围栏顶点坐标依次为(0,0)、(6,0)、(6,3)、(3,5)、(0,3)， 其面积是（）。 A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 二、多项选择题（共10 题，每题2 分） 11. 在平面直角坐标系中，下列点位于第二象限的有（）。

.........................................................................................1 【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】........................................................................................ 称轴和顶点． 【变式1-3】（2022 秋•上城区期中）已知二次函数y1＝x2+bx+，过（1，﹣32），在x＝﹣2 时取到最大值，且二次函数的图象与直线y2＝x+1 交于点P（m，0）． （1）求m 的值； （2）求这个二次函数解析式； （3）求y1大于y2时，x 的取值范围． 【知识点2】 若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式y=a (x−h)2+k ．这顶点坐标为（ 最值=k 来求出相应的系数 【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】 【例2】（2022 秋•长汀县校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣ 1． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求该图象的顶点坐标； （3）观察图象，当y＞0 时，求自变量x 的取值范围． 【变式2-1】（2022 秋•西城区校级期中）抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与x 轴两交点间 的距离是6．求抛物线解析式．

需注意对对角线的讨论： （1）四边形BD 是平行四边形：、BD 一定是对角线． （2）以、B、、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论． 【题型分类】 1．三定一动 已知（1，2）B（5，3）（3，5），在坐标系内确定点D 使得以、B、、D 四个点为顶点的 四边形是平行四边形． A B C x y O D3 D2 D1 O y x 当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可． 比如： ， ， ．（此处特指点的横纵坐标相加减） 2 两定两动 已知（1，1）、B（3，2），点在x 轴上，点D 在y 轴上，且以、B、、D 为顶点的四边形 是平行四边形，求、D 坐标． B A O y x 【分析】 设点坐标为（m，0），D 点坐标为（0，），又（1，1）、B（3，2）． （1）当B 为对角线时， ，解得 ，故（4，0）、D（0，3）； 【例1】．如图，抛物线y＝x2+bx+6 与x 轴交于（2，0），B（﹣6，0）两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P 是抛物线上一点，点Q 是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使得以B、 Q、、P 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说 明理由． 变式训练 【变1-1】．如图所示，在平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝（m 1 ﹣）x2﹣（3m 4 ﹣）x 3 ﹣

长方形 B. 圆形 C. 三角形 D. 正方形 5. 圆锥有一个（）和一个侧面。 A. 顶点 B. 底面 C. 边 D. 角 6. 正方体的所有棱长（）。 A. 相等 B. 不相等 C. 有的相等 D. 无法确定 7. 一个立方体有（）个顶点。 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 球的截面形状是（）。 A. 总是圆形 总是圆形 B. 总是方形 C. 可以是圆形或其它 D. 无法确定 9. 下列哪个立体图形没有顶点？ A. 立方体 B. 圆柱体 C. 圆锥体 D. 球体 10. 一个长方体的长、宽、高分别是5cm、3cm、2cm，它的体积是 （）。 A. 10cm³ B. 30cm³ C. 60cm³ D. 100cm³ 二、多项选择题（共10 题，每题2 分） 1. 条棱 D. 有8 个顶点 4. 圆柱体由（）部分组成。 A. 两个底面 B. 一个侧面 C. 顶点 D. 棱 5. 球的特征包括（）。 A. 没有顶点 B. 没有棱 C. 有一个面 D. 表面是曲面 6. 圆锥的侧面展开图是（）。 A. 长方形 B. 扇形 C. 三角形 D. 圆形 7. 一个立体图形有8 个顶点，它可能是（）。

(2)以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，求点 坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出点 的坐标；若不存 在，请说明理由． 2．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线 经过 两点， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 并交x 轴于另一点B，点M 是抛物线的顶点，直线M 与轴交于点D． 与轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是x 轴上一动点，分别连接M，D，求 的最小值； (3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q 为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说 明理由． 3．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图①，抛物线 与x 轴交于点 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，与y 轴交于点，连接，B 点P 是x 轴上任意一点． (1)求抛物线的表达式； (2)点Q 在抛物线上，若以点，，P，Q 为顶点，为一边的四边形为平行四边形时，求点Q 的坐标； (3)如图②，当点 从点出发沿x 轴向点B 运动时（点P 与点，B 不重合），自点P 分 别作 ，交于点E，作 ，垂足为点D．当m 为何值时，

(2,-5) D. (-2,5) 3. 矩形顶点坐标分别为(1,1)、(1,4)、(5,4)、(5,1) ，其面积为（） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 4. 点P(0,-3) 在（） A. x 轴正半轴B. x 轴负半轴C. y 轴正半轴D. y 轴负半轴 5. 三角形顶点为A(0,0)、B(3,0)、C(0,4) 平行四边形顶点(2,1)、(5,1)、(6,3)、(3,3) 的面积为（） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 8. 点Q(4,0)到x 轴的距离是（） A. 0 B. 4 C. 2 D. 1 9. 若点A(2,k)与B(4,1)的中点为(3,2)，则k= （） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 梯形顶点坐标(1 关于原点对称点为(-3,4) 5. 能构成长方形的顶点组合是（） A. (0,0),(0,3),(4,3),(4,0) B. (1,1),(1,5),(7,5),(7,1) C. (2,2),(5,2),(5,6),(2,6) D. (3,0),(0,4),(3,4),(0,0) 6. 三角形ABC 顶点A(1,1),B(4,1),C(1,5) 的性质（）