86 共顶点模型

中考数学几何模型2：共顶点模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点 重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的 步骤如下： （1）寻找公共的顶点 （2）列出两组相等的边或者对应成比例的边 （3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论： 连接BD、E 交于点F，连接F，则有以下结论： （1） （2） （3） （4） 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1 以点为顶点作等腰Rt△B，等腰Rt△DE，其中∠B＝∠DE＝90°，如图1 所示放置， 使 得一直角边重合，连接BD、E． （1）试判断BD、E 的数量关系，并说明理由； （2）延长BD 交E 于点F 试求∠BF 的度数； （3）把两个等腰直角三角形按如图2 放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理 由． 【解答】解：（1）E＝BD，理由如下： ∵等腰Rt△B，等腰Rt△DE， ∴E＝D，＝B， 在△E 与△DB 中， ， ∴△E≌△DB（SS）， ∴E＝BD； （2）∵△E≌△DB， ∴∠E＝∠DB， ∴∠E+∠BF＝∠DB+∠BF＝45°， ∴∠E+∠BF+∠DB＝45°+45°＝90°， ∴∠BF＝180° 90° ﹣ ＝90°； （3）成立， ∵等腰Rt△B，等腰Rt△DE， ∴E＝D，＝B， 在△E 与△DB 中， ， ∴△E≌△DB（SS）， ∴E＝BD； ∵△E≌△DB， ∴∠E＝∠DB， ∴∠E+∠BF＝∠DB+∠BF＝45°， ∴∠E+∠BF+∠DB＝45°+45°＝90°， ∴∠BF＝180° 90° ﹣ ＝90°． 变式练习>>> 1 已知：如图，△B 和△DE 都是等腰直角三角形，∠B＝∠DE＝90°． （1）求证：BD＝E． （2）若∠BD＝∠DE，B＝8，D＝6，求四边形BED 的面积． 【解答】解：（1）∵△B 和△DE 都是等腰直角三角形，∠B＝∠DE＝90°， ∴＝B，D＝E． ∵∠B＝∠DE＝90°， ∴∠B+∠D＝∠DE+∠D，即∠BD＝∠E． 在△BD 和△E 中， ， ∴△BD≌△E（SS）， ∴BD＝E； （2）由（1）得：△BD≌△E， ∴∠BD＝∠E， ∵∠BP+∠BP＝90°，∠BP＝∠PD， ∴∠E+∠PD＝90°， ∴∠B＝90°， ∴∠B+∠BD＝90°， ∵∠DE＝∠BD， ∴∠B+∠DE＝90°，即∠BD＝90°， ∵B＝8，D＝6， ∴BD＝E＝10， ∴S 四边形BED＝10×10÷2＝50． 例题2 如图，等边△B，等边△DE，等边△DBF 分别有公共顶点，D，且△DE，△DBF 都在 △DB 内，求证：D 与EF 互相平分 变式练习>>> 2 已如图，已知等边三角形B，在B 上取点D，在上取点E，使得D＝E，作等边三角形 PD， QE 和RB，求证：P、Q、R 是等边三角形的三个顶点． 【解答】解：连接BP， ∵△B 和△PD 都为等边三角形， ∴＝B，D＝P，∠B＝∠DP＝60°， ∴∠B﹣∠DB＝∠DP﹣∠DB，即∠D＝∠BP， ∴△D≌△BP（SS）， ∴D＝BP， 又∠RB+∠B+∠QE＝180°， ∴R，，Q 三点共线， 又∠BP＝∠D＝60°，∠RB+∠B+∠BP＝180°， ∴R，B，P 三点共线， 又Q＝E＝D＝BP， ∴RQ＝R+Q＝RB+BP＝RP， 又∠R＝60°， ∴△PQR 是等边三角形， 则P、Q、R 是等边三角形的三个顶点． 例题3 在等边△B 与等边△DE 中，B，，E 三点共线，连接BD，E 交于点F,连接F (1)如图1，求证：BF=F+F，EF=DF+F； (2)如图2，若△B，△DE 为等腰直角三角形，∠B=∠DE=90°，则(1)的结论是否成立？若不 成立，写出正确结论并证明 例题4 【问题探究】（1）如图①已知锐角△B，分别以B、为腰，在△B 的外部作等腰 Rt△BD 和Rt△E，连接D、BE，试猜想D、BE 的大小关系 D ＝ BE ；（不必证明） 【深入探究】（2）如图②△B、△DE 都是等腰直角三角形，点D 在边B 上（不与B、重 合），连接E，则线段B，D，E 之间满足的等量关系式为 B ＝ E + D ；（不必证明） 线段D2，BD2，D2之间满足的等量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】（3）如图③，在四边形BD 中，∠B＝∠B＝∠D＝45°．若BD＝9，D＝3，求 D 的长． 【解答】解：（1）∵△BD 和△E 是等腰直角三角形， ∴B＝D，E＝，且∠DB＝∠E＝90°， ∴∠DB+∠B＝∠E+∠B，即∠BE＝∠D， 在△D 和△BE 中， ∵ ， ∴△D≌△BE（SS）， ∴D＝BE， 故答为：D＝BE． （2）∵△B、△DE 都是等腰直角三角形， ∴B＝，D＝E，∠B＝∠DE＝90°， ∴∠BD+∠D＝∠E+∠D， 即∠BD＝∠E， 在△BD 和△E 中， ∵ ， ∴△BD≌△E（SS）， ∴E＝BD，∠E＝∠B＝45°， 又∵B＝BD+D，∠E＝45°， ∴B＝E+D，∠DE＝90°， ∴D2+E2＝DE2， ∵BD＝E，DE＝ D， ∴D2+BD2＝2D2． 故答为：B＝E+D． 例题5 如图1，在△B 中，B＝4，以线段B 为边作△BD，使得D＝BD，连接D，再以D 为边 作△DE，使得D＝DE，∠DE＝∠DB＝α． （1）如图2，当∠B＝45°且α＝90°时，用等式表示线段D，DE 之间的数量关系； （2）将线段B 沿着射线E 的方向平移，得到线段EF，连接BF，F． ①若α＝90°，依题意补全图3，求线段F 的长； ②请直接写出线段F 的长（用含α 的式子表示）． 【解答】解：（1）D+DE＝4， 理由是：如图1， ∵∠DB＝∠ED＝∠α＝90°，D＝BD，D＝DE， ∴D+DE＝B＝4； （2）①补全图形，如图2， 设DE 与B 相交于点，连接E， 交B 于点G， ∵∠DB＝∠DE＝90°， ∴∠DE＝∠BD， 在△DE 与△BD 中， ， ∴△DE≌△BD， ∴E＝B，∠ED＝∠BD． ∵DE 与B 相交于点， ∴∠GE＝∠D， ∴∠EG＝∠ED＝90°， ∵线段B 沿着射线E 的方向平移，得到线段EF， ∴EF＝B＝4，EF∥B， ∴E＝EF， ∵B∥EF， ∴∠EF＝∠EG＝90°， ∵E＝EF，∠EF＝90°， ∴∠FE＝45°， ∴F＝ ＝4 ； 达标检测 领悟提升 强化落实 1 如图，在等边△B 与等边△DE 中，B，，E 三点共线，BD 交于点G，E 交D 于点，连 接G 求证：G∥BE 2 如图，在正方形BD 内取一点E，连接E，BE，在△BE 外分别以E，BE 为边作正方形EM 和EBFG，连接，F，求证：∥F 3 如图，在等腰Rt△B 与等腰Rt△DE 中，∠B=∠DE=90°，连接D，BE，求证： B2+DE2=D2+BE2 4 如图，在△B 中，B==10，∠B=45°，以B 为腰在△B 外部作等腰Rt△BD，∠BD=90°，连接 D，求D 的长 5 【发现问题】如图1，已知△B，以点为直角顶点、B 为腰向△B 外作等腰直角△BE．请你 以 为直角顶点、为腰，向△B 外作等腰直角△D（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、E． 那 BD 与E 的数量关系是 BD ＝ E ． 【拓展探究】如图2，已知△B，以B、为边向外作正方形EFB 和正方形GD，连接BD、 E，试判断BD 与E 之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】如图3，有一个四边形场地BD，∠D＝60°，B＝15，B＝8，D＝D，求BD 的 最大值． 【解答】【发现问题】 解：延长到M，作∠M 的平分线， 在上截取D＝，连接D，即可得到等腰直角△D； 连接BD、E，如图1 所示： ∵△BE 与△D 都是等腰直角三角形， ∴B＝E，D＝，∠BE＝∠D＝90°， ∴∠BD＝∠E， 在△BD 和△E 中， ， ∴△BD≌△E（SS）， ∴BD＝E， 故答为：BD＝E； 【拓展探究】 解：BD＝E；理由如下： ∵四边形EFB 与四边形GD 都是正方形， ∴B＝E，D＝，∠BE＝∠D＝90°， ∴∠BD＝∠E， 在△BD 和△E 中， ， ∴△BD≌△E（SS）， ∴BD＝E； 【解决问题】 解：以B 为边向外作等边三角形BE，连接E，如图3 所示： 则∠BE＝60°，BE＝B＝E＝8， ∵D＝D，∠D＝60°， ∴△D 是等边三角形， ∴∠D＝60°，＝D， ∴∠D+∠B＝∠BE+∠B， 即∠BD＝∠E， 在△BD 和△E 中， ， ∴△BD≌△E（SS）， ∴BD＝E； 当、B、E 三点共线时，E 最大＝B+BE＝15+8＝23， ∴BD 的最大值为23． 6 已知线段B⊥直线l 于点B，点D 在直线l 上，分别以B、D 为边作等边三角形B 和等边三 角形DE，直线E 交直线l 于点F． （1）当点F 在线段BD 上时，如图①，求证：DF＝E﹣F； （2）当点F 在线段BD 的延长线上时，如图②；当点F 在线段DB 的延长线上时，如图 ③，请分别写出线段DF、E、F 之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若BD＝2BF，EF＝6，则F＝ 2 或 6 ． 【解答】（1）证明：如图①中，设D 交EF 于． ∵△B，△DE 都是等边三角形， ∴B＝，D＝E，∠B＝∠DE＝60°， ∴∠BD＝∠E， ∴△BD≌△E（SS）， ∴E＝BD，∴∠E＝∠FD， ∵∠E＝∠FD， ∴∠FD＝∠E＝60°， ∵B⊥B， ∴∠BD＝90°，∵∠B＝60°， ∴∠BF＝30°， ∵∠FD＝∠BF+∠BF， ∴∠FB＝∠FB＝30°， ∴F＝BF， ∴DF＝E﹣F （2）如图图②中，结论：DF＝F﹣E．图③中，结论：DF＝E+F； 如图②中，∵△BD≌△E， ∴BD＝E，∠DB＝∠E， ∵∠DB+∠DF＝180°， ∴∠EF+∠DF＝180°， ∴∠DE+∠DFE＝180°， ∴∠DFE＝120°， ∴∠FB＝∠FB＝30°， ∴FB＝F， ∴DF＝BF﹣BD＝F﹣E． （3）①如图1 中，∵BD＝2DF，设BF＝DF＝F＝x， ∵EF＝6，BD＝E，∴3x＝6， ∴x＝2∴F＝2． ②如图③中，设BF＝F＝x，则BD＝2x， ∵BD＝E，EF＝6，∴6+x＝2x， ∴x＝6，∴F＝6， 综上所述，F＝2 或6． 故答为2 或6．