最值问题隐圆模型（全国通用） 一、单选题 1．如图，在△B 中，∠B＝90°，＝B，B＝4m，D 是中线，点E、F 同时从点D 出发，以相 同的速度分别沿D、DB 方向移动，当点E 到达点时，运动停止，直线E 分别与F、B 相交 于G、，则在点E、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（ ） ．2 B．π ．2π D． π 【答】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：如图， 的中点为Q，连接Q，如图所示： ∵为BM 的中点，Q 为B 的中点， ∴Q 为△BM 的中位线， ∵M⊥BP， ∴Q⊥B， ∴∠QB＝90°， ∴点的路径是以QB 的中点为圆心， B 长为半径的圆交B 于D 的 ， ∵＝B＝4，∠B＝90°， ∴B ＝4 ，∠QBD＝45°， ∴∠DQ＝90°， ∴ 为⊙的 周长， ∴线段BM 的中点运动的路径长为： π， 故选：． 3．如图，在 【分析】 作⊥B 于，如图，根据菱形的性质可判断△B 为等边三角形，可求得，B，P，在Rt△P 中， 利用勾股定理计算出P，再根据折叠的性质得点′在以P 点为圆心，P 为半径的弧上，利用 点与圆的位置关系得到当点′在P 上时，′的值最小，然后证明Q=P 即可． 【详解】 解：作⊥B 于，如图， ∵菱形BD 的边B=8，∠B=60°， ∴△B 为等边三角形，B=8 ∴B=4， ， ∵PB=3，

专题11 圆的最值问题（隐圆模型） 【知识点梳理】隐圆模型汇总 固定线段B 所对同侧动角∠P=∠，则、B、、P 四点共圆 若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 固定线段B 所对动角∠恒为90°，则、B、三点共圆，B 为直径 例．如图，在Rt B △中，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝2 ，△D 与△B 关于对称，点E、F 上的任意一点，且DE＝F，BE、DF 相交于点P，则P 的最小值为( ) ．1 B． ． D．2 【答】D 【分析】连接BD，证明△EDB FD △ ，可得∠BPD＝120°，由于BD 的长确定，则点P 在以为圆 心，D 为半径的弧BD 上，当点，P，在一条直线上时，P 有最小值． 【详解】解：连接D，因为∠B＝30°，所以∠BD＝60°， 因为B＝D，所以△BD 是等边三角形， 所以BD＝D 因为DE＝F，∠EDB＝∠FD＝60°， 点在一个确定的圆或圆弧上运动， 当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值． 【变式训练1】．如图， 是⊙的弦，点在⊙内， ，连接 ，若 ⊙的半径是4，则 长的最小值为 ． 【答】 / 【分析】延长 交圆于点D，连接 ，过点作 交于点E，则 是等边 三角形，再确定点在以E 为圆心， 为半径的圆上，则 的最小值为 ，再求解 即可． 【详解】解：如图，延长 交圆于点D，连接 ，过点作

几何图形之隐圆模型 【模型精讲】 模型一、动点定长模型 若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 模型二、直角圆周角模型 固定线段B 所对动角∠恒为90°，则、B、三点共圆，B 为直径 模型三、四点共圆模型 固定线段B 所对同侧动角∠P=∠，则、B、、P 四点共圆 【真题精选】 1（2020·成都）如图，在矩形 A' N M A B C D D C B A M N A' 【答】 ． 【解析】考虑△M 沿M 所在直线翻折得到△’M，可得M’=M=1，所以’轨迹是以M 点为圆 心，M 为半径的圆弧．连接M，与圆的交点即为所求的’，此时’的值最小． 构造直角△M，勾股定理求M，再减去’M 即可，答为 ． 例2（直角圆周角模型）如图，Rt△B 中，B⊥B，B=8，B=4，P 是△B 内部的一个动点，且 翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD 的最小值是_________． Q A B C D E F P 【答】8 【解析】F 点轨迹是以E 点为圆心，E 为半径的圆，作点D 关于B 对称点D’，连接PD’， PF+PD 化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F 点，与B 交点为所求P 点，勾股定 理先求ED‘,再减去EF 即可． D' P F E D C B A Q Q

专题11 圆的最值问题（隐圆模型） 【知识点梳理】隐圆模型汇总 固定线段B 所对同侧动角∠P=∠，则、B、、P 四点共圆 若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 固定线段B 所对动角∠恒为90°，则、B、三点共圆，B 为直径 例．如图，在Rt B △中，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝2 ，△D 与△B 关于对称，点E、F 一个动点，联结EF，将 沿EF 折叠，点落在点G 处，在运动的过程中，点G 运动的 路径长为（ ） ． B． ． D．1 3．如图，在 中， ， ， ， 是以点 为圆心，3 为半径 的圆上一点，连接 ， 是 的中点，则线段 长度的最小值为（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 4．如图，矩形 ， ， ，E 为 中点，F 为直线 上动点，B、G 关于 对称，连接 ，点P 为平面上的动点，满足

专题32 圆中的重要模型之隐圆模型 隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动， 或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定 长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、 旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、动点定长模型（圆的定义） 若P 为动点，且B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 ，进一步求出点在以为圆心，半径为 4 的圆上运动，则当点M 在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，据此求出 的最小值， 即可得到答． 【详解】解：如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ， ∵ 的一条直角边 在x 轴上，点的坐标为 ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵点M 为 中点，点为 中点，∴ 是 的中位线，∴ ； 在 中， ，∴ ， ∵将 以点为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点在以为圆心，半径为4 的圆上运动， ∴当点M

最大值为d+r，DM 最小值为 d-r=0(即点D 与点M 重合） ③当点D 在Y内时，d＜r，如图 当点D、、M 三点共线时，DM 有最值；DM 最大值为d+r，DM 最小值为|d- r|=r-d; 点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题 R 方法：求出该定点到圆心的距离d，则最大值为d+r,最小值为|d-r| 【例1】．如图，在长方形纸片BD 中，B＝4，D＝6．点E 是B 的中点，点F 是D 边上的 边上的 模型介绍 例题精讲 一个动点．将△EF 沿EF 所在直线翻折，得到△GEF．则G 长的最小值是（ ） ． B． ．2 D．2 解：以点E 为圆心，E 长度为半径作圆，连接E，当点G 在线段E 上时，G 的长取最小 值，如图所示 根据折叠可知：GE＝E＝ B＝2． 在Rt△BE 中，BE＝ B＝2，B＝6，∠B＝90°， ∴E＝ ＝2 ， ∴G 的最小值＝E﹣GE＝2 2 ，∠MDE＝∠＝45°， ∴ME＝DE＝ DM＝1， ∴E＝D+DE＝6+1＝7， 由勾股定理得：M2＝ME2+E2， ∴M＝ ＝5 ； 由翻折变换的性质得：M′＝M＝ ，点′在以M 为圆心， 为半径的圆上 显然，当折线M′与线段M 重合时，线段′的长度最短， 此时′＝M﹣M′＝5 ﹣ ＝4 ， 故答为4 ． 【变式1-2】．如图，矩形BD 中，B＝6，B＝9，以D 为圆心，3 为半径作⊙D，E

专题32 圆中的重要模型之隐圆模型 隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动， 或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定 长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、 旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、动点定长模型（圆的定义） 若P 为动点，且B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x ，E 是 的中点．以点为圆 心， 长为半径画圆，点P 是 上一动点，点F 是边 上一动点，连接 ，若点Q 是 的中点，连 接 ， ，则 的最小值为 ． 模型2、定边对直角模型（直角对直径） 固定线段B 所对动角∠恒为90°，则、B、三点共圆，B 为直径 寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 例1．（2

最大值为d+r，DM 最小值为 d-r=0(即点D 与点M 重合） ③当点D 在Y内时，d＜r，如图 当点D、、M 三点共线时，DM 有最值；DM 最大值为d+r，DM 最小值为|d- r|=r-d; 点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题 R 方法：求出该定点到圆心的距离d，则最大值为d+r,最小值为|d-r| 【例1】．如图，在长方形纸片BD 中，B＝4，D＝6．点E 是B 的中点，点F 是D 边上的 边上的 模型介绍 例题精讲 一个动点．将△EF 沿EF 所在直线翻折，得到△GEF．则G 长的最小值是（ ） ． B． ．2 D．2 解：以点E 为圆心，E 长度为半径作圆，连接E，当点G 在线段E 上时，G 的长取最小 值，如图所示 根据折叠可知：GE＝E＝ B＝2． 在Rt△BE 中，BE＝ B＝2，B＝6，∠B＝90°， ∴E＝ ＝2 ， ∴G 的最小值＝E﹣GE＝2 2 ，∠MDE＝∠＝45°， ∴ME＝DE＝ DM＝1， ∴E＝D+DE＝6+1＝7， 由勾股定理得：M2＝ME2+E2， ∴M＝ ＝5 ； 由翻折变换的性质得：M′＝M＝ ，点′在以M 为圆心， 为半径的圆上 显然，当折线M′与线段M 重合时，线段′的长度最短， 此时′＝M﹣M′＝5 ﹣ ＝4 ， 故答为4 ． 【变式1-2】．如图，矩形BD 中，B＝6，B＝9，以D 为圆心，3 为半径作⊙D，E

最大值为d+r，DM 最小值为 d-r=0(即点D 与点M 重合） ③当点D 在内时，d＜r，如图 当点D、、M 三点共线时，DM 有最值；DM 最大值为d+r，DM 最小值为|d- r|=r-d; 点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题 方法：求出该定点到圆心的距离d，则最大值为d+r,最小值为|d-r| 【例1】．如图，在长方形纸片BD 中，B＝4，D＝6．点E 是B 的中点，点F 是D 边上的

圆 模型（三十五）——圆幂定理模型 知识点一：相交弦定理 ◎结论1：如图 ，⊙中，弦B、D 相交于点P，半径为r,则 P·BP ① ＝P·DP , P·BP ② ＝P·DP＝r2－P2 ①【证明】 如上右图 ∵∠＝∠D，∠P＝∠DPB △P∽△DPB ∴ ∴AP DP＝CP BP 即P·BP＝P·DP ② P 与⊙交于M 两点，r ＝P²－r² 1．（2020·全国·九年级课时练习）如图，圆内一条弦D 与直径B 相交成30°角，且分直径成1m 和5m 两部分，则 这条弦的弦心距是_____． 【答】1m 【分析】首先过点作F D ⊥ 于点F，设弦D 与直径B 相交于点E，由分直径成1m 和5m 两部分，可求得直径，半径 的长，继而求得E 的长，又由圆内一条弦D 与直径B 相交成30°角，即可求得这条弦的弦心距． (也可连结F，证△E∽△F) (3) 结论P Q=2成立 【点睛】本题考查相似三角形的性质，其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键． 1．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”， 也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙的两条弦B⊥D，则B、D 互为“十字弦”，B 是D 的“十字弦”，D 也是B 的“十字弦”．