模型23 隐圆系列之点圆最值模型（解析版）

平面内一定的D 和Y上动点M 的连线中，当连线过圆心时，线段DM 有最 大值和最小值。分以下情况讨论：（设D=d，Y的半径为r） 点D 在Y外时，d＞r，如图： ①当D、M、三点共线时，线段DM 出现最值，DM 的最大值为d+r，DM 的最 小值为d-r; ②当点D 在Y上时，d=r，如图： 当D、、M 三点共线时，线段DM 有最值；DM 最大值为d+r，DM 最小值为 d-r=0(即点D 与点M 重合） ③当点D 在Y内时，d＜r，如图 当点D、、M 三点共线时，DM 有最值；DM 最大值为d+r，DM 最小值为|d- r|=r-d; 点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题 R 方法：求出该定点到圆心的距离d，则最大值为d+r,最小值为|d-r| 【例1】．如图，在长方形纸片BD 中，B＝4，D＝6．点E 是B 的中点，点F 是D 边上的 模型介绍 例题精讲 一个动点．将△EF 沿EF 所在直线翻折，得到△GEF．则G 长的最小值是（ ） ． B． ．2 D．2 解：以点E 为圆心，E 长度为半径作圆，连接E，当点G 在线段E 上时，G 的长取最小 值，如图所示 根据折叠可知：GE＝E＝ B＝2． 在Rt△BE 中，BE＝ B＝2，B＝6，∠B＝90°， ∴E＝ ＝2 ， ∴G 的最小值＝E﹣GE＝2 2 ﹣． 故选：． 变式训练 【变式1-1】如图，在平行四边形BD 中，B＝6，D＝2 ，∠＝45°，M 是D 边的中点， 是B 边上的一动点，将△M 沿M 所在直线翻折得到△′M，连接′，则′长度的最小值是 ． 解：如图，连接M；过点M 作ME⊥D，交D 的延长线于点E． ∵四边形BD 为平行四边形， ∴D∥B，D＝B＝2 ，D＝B＝6， ∵点M 为D 的中点，∠＝45°， ∴DM＝M＝ ，∠MDE＝∠＝45°， ∴ME＝DE＝ DM＝1， ∴E＝D+DE＝6+1＝7， 由勾股定理得：M2＝ME2+E2， ∴M＝ ＝5 ； 由翻折变换的性质得：M′＝M＝ ，点′在以M 为圆心， 为半径的圆上 显然，当折线M′与线段M 重合时，线段′的长度最短， 此时′＝M﹣M′＝5 ﹣ ＝4 ， 故答为4 ． 【变式1-2】．如图，矩形BD 中，B＝6，B＝9，以D 为圆心，3 为半径作⊙D，E 为⊙D 上一动点，连接E，以E 为直角边作Rt△EF，使∠EF＝90°，t∠EF＝ ，则点F 与点的 最小距离为 ． 解：如图取B 的中点G，连接FG．F．G． ∵∠EF＝90°，t∠EF＝ ， ∴ ＝ ， ∵B＝6，G＝GB， ∴G＝GB＝3， ∵D＝9， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∵四边形BD 是矩形， ∴∠BD＝∠B＝∠EF＝90°， ∴∠FG＝∠ED， ∴△FG∽△ED， ∴FG：DE＝F：E＝1：3， ∵DE＝3， ∴FG＝1， ∴点F 的运动轨迹是以G 为圆心1 为半径的圆， ∵G＝ ＝3 ， ∴F≥G﹣FG， ∴F≥3 1 ﹣， ∴F 的最小值为3 1 ﹣． 故答为3 1 ﹣． 【例2】如图，△B 中，B＝，B＝24，D⊥B 于点D，D＝5，P 是半径为3 的⊙上一动点， 连结P，若E 是P 的中点，连结DE，则DE 长的最大值为_______ 解：如图，连接PB， ∵B＝，D⊥B， ∴D＝DB＝ B＝12， ∵点E 为的中点， ∴DE 是△PB 的中位线， ∴DE＝ PB， ∴当PB 取最大值时，DE 的长最 ∵P 是半径为3 的⊙上一动点， ∴当PB 过圆心时，PB 最大， ∵BD＝12，D＝5， ∴B＝ ， ∵⊙的半径为3， ∴PB 的最大值为13+3＝16， ∴DE 长的最大值为8， 故选：． 变式训练 【变式2-1】如图，在正方形BD 中，B＝2，F 是BD 边上的一个动点，连接F，过点B 作 BE⊥F 于E，在点F 变化的过程中，线段DE 的最小值是 ． 解：如图，∵BE⊥F 于E， ∴E 在以B 为直径圆心为的圆上， ∴当、E、D 三点共线的时候线段DE 最小， ∵B＝2，四边形BD 为正方形， ∴＝1＝E，D＝2， ∴D＝ ＝ ， ∴段DE 最小值为D﹣F＝ ﹣1． 故答为： ﹣1． 【变式2-2】．如图，B 是⊙的直径，点在半圆的中点，且B＝4m，点D 是 上的一个动 点，连接BD，过点作⊥BD 于，连接，在点D 的运动过程中，长度的最小值是 ． 解：连接，取B 的中点T，连接T，T． ∵B 是直径， ∴∠B＝90°， ∵点在半圆的中点， ∴ ＝ ， ∴＝B＝4， ∵T＝TB＝2， ∴T＝ ＝ ＝2 ， ∵⊥BD， ∴∠B＝90°， ∴点在以B 为直径的圆上运动， ∵T＝TB， ∴T＝ B＝2， ≥ ∵T﹣T＝2 2 ﹣， ∴的最小值为2 2 ﹣， 故答为：2 2 ﹣． 1．如图，四边形BD 为矩形，B＝3，B＝4，点P 是线段B 上一动点，点M 为线段P 上一 点，∠DM＝∠BP，则BM 的最小值为（ ） ． B． ． ﹣ D． ﹣2 解：如图，取D 的中点，连接B，M． ∵四边形BD 是矩形， ∴∠BD＝90°，D＝B＝4， ∴∠BP+∠DM＝90°， ∵∠DM＝∠BP， ∴∠DM+∠DM＝90°， ∴∠MD＝90°， ∵＝D＝2， ∴M＝ D＝2， ∴点M 在以为圆心，2 为半径的⊙上， ∵B＝ ＝ ＝ ， ∴BM≥B﹣M＝ ﹣2， ∴BM 的最小值为 ﹣2． 故选：D． 2．如图，△B 为等边三角形，B＝3．若P 为△B 内一动点，且满足∠PB＝∠P，则线段PB 长 度的最小值为（ ） ．15 B． ． D．2 解：∵△B 是等边三角形， ∴∠B＝∠B＝60°，＝B＝3， ∵∠PB＝∠P， ∴∠P+∠P＝60°， ∴∠P＝120°， ∴点P 的运动轨迹是 ， 设 所在圆的圆心为，当、P、B 共线时，PB 长度最小，设B 交于D，如图所示： 此时P＝P，B⊥， 则D＝D＝ ＝ ，∠P＝∠P＝30°，∠BD＝ ∠B＝30°， ∴PD＝ ，BD＝ ， ∴PB＝BD﹣PD＝ ﹣ ＝ ． 故选：B． 3．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝2，点D 为线段B 的中点，将线段B 绕点B 顺时针旋 转90°，得到线段BE，连接DE，则DE 最大值是 ． 解：如图，将线段BD 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BP，连接PE，PD， 则DB＝PB，∠DBP＝90°， ∵将线段B 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BE， ∴B＝BE，∠BE＝90°， ∴∠BD＝∠EBP， ∴△BD≌△EBP（SS）， ∴PE＝D， ∵在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝2，点D 为线段B 的中点， ∴DB＝D＝ B＝1， ∴PE＝1，PB＝1， ∴DP＝ ， ∵PD+PE≥DE， ∴DE≤ +1， ∴DE 最大值为 +1， 故答为： +1． 4．如图，在边长为2 的正方形BD 中，E，F 分别是边D，B 上的动点，且始终满足DE＝ F，E，DF 交于点P，则∠PD 的度数为 90° ；连接P，线段P 的最小值为 ﹣ 1 ． 解：∵四边形BD 是正方形， ∴D＝D，∠DE＝∠DF＝90°， 在△DE 和△DF 中， ， ∴△DE≌△DF（SS）， ∴∠DE＝∠DF， ∵∠DF+∠DF＝∠D＝90°， ∴∠DF+∠DE＝90°， ∴∠PD＝90°， 取D 的中点，连接P，则P＝ D＝ ×2＝1（不变）， 根据两点之间线段最短得、P、三点共线时线段P 的值最小， 在Rt△D 中，根据勾股定理得，＝ ＝ ＝ ， 所以，P＝﹣P＝ ﹣1． 故答为：90°， ﹣1． 5．如图，在△B 中，∠B＝90°，＝8，B＝10，D 是B 边上的高，E、F 分别为边D，D 上的 动点，且DE：DF＝4：3，射线E 与BF 相交于点M，若连接M，则线段M 的最小值为 ． 解：如图1，连接EF，并延长EF 交边B 于点G， ∵在△B 中，∠B＝90°，＝8，B＝10， ∴ ， ∴：B＝4：3， ∴：B＝DE：DF＝4：3， ∴ ， ∵∠B＝∠FDE＝90°， ∴△B∽△FDE， ∴∠GBE＝∠DFE， ∵D 是B 边上的高， ∴D⊥B， ∴∠DFE+∠DEF＝90°， ∴∠GBE+∠DEF＝90°， ∴∠BGE＝90°， ∴EG 是△BE 的高， ∵D 是△BE 的BE 边上的高， ∴BM 是△BE 的E 边上的高， ∴BM⊥M， ∴∠MB＝90°， ∴点M 在线段B 为直径的 上， 如图2，作以线段B 为直径的 ，取圆心，连接交 于点，则当点、M、三点共线时， 线段M 的最小值，如图3， ∵B＝6，点是圆心， ∴＝＝3， ∵∠B＝90°，＝8， ∴ ， ∴线段M 的最小值即 ， 故答为： ． 6．如图，直角梯形BD 中，B∥D，∠B＝90°，B＝1，B＝2，D＝3，以B 为圆心，半径为1 的弧交B 于M，E 是线段D 上一动点，EG⊥D，垂足为G，F 是弧M 上一动点，则 EG+EF 的最小值为 ． 解：作⊥D 于点．则四边形B 是矩形．D＝D﹣B＝3 1 ﹣＝2，＝B＝2． 则＝D，△D 是等腰直角三角形． 则∠D＝45°． 延长B 到M 使M＝B＝2，作M⊥D 于点，交D 于点K．则当E 到K 时，EG+EF 取得最 小值． ∵∠D＝90°，M⊥D， ∴△DK 是等腰直角三角形，∠KD＝∠KM＝45°， 同理△MK 是等腰直角三角形． 则K＝M＝2，KM＝ M＝2 ， ∴DK＝D﹣K＝3 2 ﹣＝1， ∴K＝ DK＝ ． 则M＝MK+K＝2 + ＝ ， 则EG+EF 的最小值是 ﹣1＝ ． 故答是： ． 7．如图，在△B 中，∠B＝90°，B＝4，点是B 的中点，以B 为直角边向外作等腰Rt△BD， 连接D，当D 取最大值时，则∠DB 的度数是 ． 解：如图，将△DB 绕点B 逆时针旋转90°，得到△EB，连接，E， ∵将△DB 绕点B 逆时针旋转90°，得到△EB， ∴B＝BE，D＝E，∠BE＝∠BD，∠BE＝90° ∵E≤+E ∴当点在E 上时，E 有最大值，即D 取最大值， ∵BE＝B，∠BE＝90° ∴∠BE＝45° ∵点是B 中点，∠B＝90° ∴＝B ∴∠EB＝∠B， ∵∠EB＝∠EB+∠B＝45° ∴∠EB＝225°＝∠BD 故答为：225° 8．如图，正方形BD 的边长为2 ，点E 为正方形外一个动点，∠ED＝45°，P 为B 中点， 线段PE 的最大值是 ． 解：如图，若点E 在正方形右侧，连接，BD 交于点，连接P，E， ∵∠ED＝45°，∠D＝45°， ∴，，E，D 四点共圆， ∵正方形BD 的边长为2 ， ∴E＝D＝ BD＝ ， ∵P 为B 的中点，是BD 的中点， ∴P＝ D＝ ， ∵PE≤P+E＝ + ， ∴当点在线段PE 上时，PE＝P+E＝ + ， 即线段PE 的最大值为 + ， 如图，点E 在正方形BD 上方， 作斜边为D 的等腰直角△D，∠D＝90°， 则点E 在以为圆心，为半径的圆上， ∴当点P，点，点E 共线时，PE 的值最大， 过点作⊥B，交B 延长线于点， ∵D＝2 ，＝D，∠D＝90° ∴＝ ，∠D＝45°， ∵⊥B，D⊥B ∴∠＝∠＝45° ∴＝＝ ∴P＝ ＝ ＝ ∴PE 最大值为 + ＞ + ， 故答为： + 9．如图，在矩形BD 中，B＝4，B＝6． （1）如图①，点E 是B 的中点，点F 是B 边上一点，将△BEF 沿EF 折叠，点B 的对应 点为点P，求P 的最小值； （2）如图②，若点P 是矩形BD 内部一点，且∠BP＝90°，求PD 取得最小值时，BP 的 长； （3）如图③，若点P 是矩形BD 内部一点，且∠PD+∠PB＝60°，求P+BP 的最大值 解：（1）如图1， ∵点E 是B 的中点， ∴BE＝ B＝2， 由折叠知， PE＝BE＝2， ∴点P 是在以E 为圆心，2 为半径的半圆上运动， 当点E，P，共线时，P 最小， ∵四边形BD 时矩形， ∴∠B＝90°， ∴E＝ ＝ ＝2 ， ∴P 最小＝P′＝E﹣EP′＝2 2 ﹣； （2）如图2， ∵∠BP＝90°， ∴点P 在以B 为直径的半圆上运动， 当点D，P，共线时，PD 最小， 在Rt△D 中，D＝4，＝ B＝3， ∴D＝5， ∴P′D＝D﹣P′＝5 3 ﹣＝2， 作P′Q⊥B 于Q， ∵∠QP′＝∠BD＝90°，∠D 为公共角， ∴△QP′∽△D， ∴ ， ∴ ， ∴Q＝ ，QP′＝ ， 在Rt△BQP′中，QP′＝ ，BQ＝B+Q＝3+ ＝ ， ∴BP′＝ ＝ ， ∴当PD 取得最小值时，BP 的长为： ； （3）如图3， ∵四边形BD 是矩形， ∴∠B＝∠BD＝90°， ∴∠B+∠BD＝180°， ∵∠PD+∠PB＝60°， ∴（∠B+∠BD）﹣（∠PD+∠PB）＝120°， ∴∠PB+∠PB＝120°， 在△BP 中， ∠PB＝180° 120° ﹣ ＝60°， 延长BP 至E，使PE＝P， ∴∠E＝∠PE， ∵∠E+∠PE＝∠PB＝60°， ∴∠E＝30°， 在B 的右侧作等边三角形B，以为圆心，B 为半径作圆，则点E 优弧E 上运动， 当BE 为直径时，即点P 在点处时，P+BP 最大，最大为直径BE′＝2B＝8． 10．如图，已知四边形BD 为正方形，△EF 为等腰直角三角形，∠EF＝90°，连接F，G 为 F 的中点，连接GD，ED． （1）如图①，当点E 在B 边上时，请直接写出DE，DG 的数量关系； （2）如图②，将图①中的△EF 绕点逆时针旋转，其他条件不变． ①探究（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； ②若D＝4，E＝1，求DG 的最大值和最小值． 解：（1）DE＝ DG，理由如下： 如图①，连接EG，延长EG 交B 的延长线于M，连接DM． ∵四边形BD 是正方形， ∴D＝D，∠B＝∠D＝∠DE＝∠DB＝∠DM＝90°， ∵∠EF＝∠B＝90°， ∴EF∥M， ∴∠MG＝∠FEG， ∵∠GM＝∠EGF，G＝GF， ∴△MG≌△FEG（S）， ∴EF＝M，GM＝GE， ∵E＝EF， ∴E＝M， ∴△DM≌△DE（SS）， ∴DE＝DM，∠DE＝∠DM， ∴∠EDM＝∠D＝90°， ∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM， ∴△EGD 是等腰直角三角形， ∴DE＝ DG． （2）①结论成立，理由如下： 如图②，连接EG，延长EG 到M，使得GM＝GE，连接M，DM，延长EF 交D 于R． ∵EG＝GM，FG＝G，∠EGF＝∠GM， ∴△GM≌△FGE（SS）， ∴M＝EF，∠MG＝∠GEF， ∴M∥ER， ∴∠DM＝∠ER， ∵∠ER+∠DR＝180°， ∴∠ED+∠ERD＝180°， ∵∠ERD+∠ER＝180°， ∴∠DM＝∠ED， ∵E＝EF， ∴E＝M， ∴△DE≌△DM（SS）， ∴DE＝DM，∠DE＝∠DM， ∴∠EDM＝∠D＝90°， ∵EG＝GM， ∴DG＝EG＝GM， ∴△EDG 是等腰直角三角形， ∴DE＝ DG； ②∵E＝1，△EF 绕点旋转， ∴点E 在以点为圆心，1 为半径的圆上运动， 如图③，当点、E、D 三点共线，且点E 在点的左侧时，DE 最大， 此时DE＝D+E＝4+1＝5， 由①可知，DE＝ DG， ∴DG＝ DE＝ ， 即DG 的最大值为 ； 如图④，当点、E、D 三点共线，且点E 在点的右侧时，DE 最小， 此时DE＝D﹣E＝4 1 ﹣＝3， 由①可知，DE＝ DG， ∴DG＝ DE＝ ， 即DG 的最小值为 ； 综上所述，DG 的最大值为 ，最小值为 ． 11．（1）如图1，、B 是 上的两个点，点 ⨀ P 在 上，且△ ⨀ PB 是直角三角形， 的半径为 ⨀ 1 ①请在图1 中画出点P 的位置； ②当B＝1 时，∠PB＝ 30 °； （2）如图2， 的半径为 ⨀ 5，、B 为 外固定两点（、、 ⨀ B 三点不在同一直线上），且 ＝9，P 为⊙上的一个动点（点P 不在直线B 上），以P 和B 为作平行四边形PB，求B 的最小值并确定此时点P 的位置； （3）如图3，、B 是⊙上的两个点，过点作射线M⊥B，M 交 于点，若 ⨀ B＝3，＝4，点 D 是平面内的一个动点，且D＝2，E 为BD 的中点，在D 的运动过程中，求线段E 长度 的最大值与最小值． 解：（1）①如图1，△PB、△P′B 是直角三角形； ②在Rt△PB 中，B＝ P， ∴∠PB＝30°， 故答为：30； （2）四边形PB 是平行四边形， ∴B＝P， ∴B 的最小值即P 的最小值， ∵当P 为与⊙的交点时，P 最小， ∴P 的最小值为9 5 ﹣＝4，即B 的最小值为4； （3）连接B， ∵M⊥B， ∴∠B＝90°， ∴B 是⊙的直径， ∵点D 是平面内的一个动点，且D＝2， ∴点D 的运动路径为以为圆心，以2 为半径的圆， 在直角△B 中，B＝ ＝ ＝5， ∵是直角△B 斜边B 上的中点， ∴＝ B＝ ， ∵E 是BD 的中点，是B 的中点 ∴E＝ D＝1， ∴E 的最小值是﹣E＝ ，最大值是+E＝ ． 12．【问题提出】 （1）如图①，四边形BD 为正方形，以B 边为直径在B 上方作半圆，P 是 上一点， 若B＝6，则DP 的最小值为 3 3 ﹣ ； 【问题探究】 （2）如图②，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝4，＝3，D 是中线，将△D 沿D 折叠，得到 △ED，点的对应点为E，连接E，求E 的长； 【问题解决】 （3）如图③是一块矩形BD 的场地，B＝300m，D＝600m，D 为场地的出人口，点E 在D 边上，且E＝400m．按照规划，要在矩形内修建一个小型观光台P，且满足∠PE＝ 90°，在B 上修建休息亭M，并要在观光台P、休息台M 以及出入口D 之间规划道路 PM，DM，为了节约成本，要使得线段PM，DM 之和最短，试求PM+DM 的最小值， 并说明理由．（道路的宽度忽略不计） 解：（1）如图1， 连接D，交⊙于点P，则DP 最小， ∵四边形BD 是正方形， ∴∠BD＝90°，D＝B＝B＝3， 在Rt△D 中，＝ ＝3，D＝6， ∴D＝ ＝3 ， ∴DP＝D﹣P＝3 3 ﹣， 故答为：3 3 ﹣； （2）设D，E 交于点F， ∵∠B＝90°，＝3，B＝4， ∴B＝5，