91 几何图形之隐圆模型

几何图形之隐圆模型 【模型精讲】 模型一、动点定长模型 若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 模型二、直角圆周角模型 固定线段B 所对动角∠恒为90°，则、B、三点共圆，B 为直径 模型三、四点共圆模型 固定线段B 所对同侧动角∠P=∠，则、B、、P 四点共圆 【真题精选】 1（2020·成都）如图，在矩形 中， ， ， ， 分别为 ， 边的中点．动点 从点 出发沿 向点 运动，同时，动点 从点 出发沿 向点 运动，连接 ，过点 作 于点 ，连接 ．若点 的速度是点 的速度 的2 倍，在点 从点 运动至点 的过程中，线段 长度的最大值为_________，线段 长度的最小值为_________． 【答】 (1) (2) 【详解】解：连接EF，则EF⊥B，过点P 作PG⊥D 于点G，如图1，则PE=GF， PG=D=3， 设FQ=t，则GF=PE=2t，GQ=3t， 在Rt△PGQ 中，由勾股定理得： ，∴当t 最大即 EP 最大时，PQ 最大，由题意知：当点P、重合时，EP 最大，此时EP=2，则t=1，∴PQ 的 最大值= ； 设EF 与PQ 交于点M，连接BM，取BM 的中点，连接，如图2， ∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，∴ ， ∵EF=3，∴FM=1，ME=2，∴ ， ∠ ∵ BM=∠BEM=90°，∴B、E、、M 四点共圆，且圆心为点， ∴ ，∴当D、、三点共线时，D 的长度最小， 连接D，过点作⊥D 于点，作K⊥B 于点K，如图3，则K=BK=1， ∴=2，=1，∴D=3，则在Rt△D 中， ， ∴D 的最小值=D－= ．故答为： ， ． 【例题讲解】 例1 （动点定长模型）如图，在边长为2 的菱形BD 中，∠=60°，M 是D 边的中点，是B 边 上的一动点，将△M 沿M 所在直线翻折得到△`M，连接`，则`长度的最小值是__________． A' N M A B C D A' N M A B C D D C B A M N A' 【答】 ． 【解析】考虑△M 沿M 所在直线翻折得到△’M，可得M’=M=1，所以’轨迹是以M 点为圆 心，M 为半径的圆弧．连接M，与圆的交点即为所求的’，此时’的值最小． 构造直角△M，勾股定理求M，再减去’M 即可，答为 ． 例2（直角圆周角模型）如图，Rt△B 中，B⊥B，B=8，B=4，P 是△B 内部的一个动点，且 满足∠PB=∠PB，则线段P 长的最小值是_________． P A B C 【答】 【解析】∵∠PB+∠PB=90°，∠PB=∠PB，∴∠PB+∠PB=90°，∴∠PB=90°， ∴P 点轨迹是以B 为直径的圆弧． 当、P、共线时，P 取到最小值，勾股定理先求，再减去P 即可． O P A B C C B A O P 例3（四点共圆模型）如图， ∽ ， ， ， ， 是 的中点，若点 是直线 上的动点，连接 ，则 的最小值是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【详解】解：∵△B DE ∽△ ，DE＝∠BE，∴点，D，B，E 四点共圆， DE ∵∠ ＝90°，∴∠DBE＝90°，∵F 是DE 的中点，∴BF＝ DE， ∴当DE 最小时，BF 的值最小， ∵若点E 是直线B 上的动点，∴当E B ⊥时，E 最小，此时，DE 最小， B ∵∠＝90°，B＝4，＝3，∴B＝5，∴E＝ ， B DE ∵△∽△ ，∴ ，∴ ， DE ∴ ＝4，∴BF＝2，故选B． 【课后训练】 1 如图，矩形BD 中，B=4，B=8，P、Q 分别是直线B、B 上的两个动点，E=2，△EQ 沿EQ 翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD 的最小值是_________． Q A B C D E F P 【答】8 【解析】F 点轨迹是以E 点为圆心，E 为半径的圆，作点D 关于B 对称点D’，连接PD’， PF+PD 化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F 点，与B 交点为所求P 点，勾股定 理先求ED‘,再减去EF 即可． D' P F E D C B A Q Q A B C D E F P D' 2 如图，已知正方形BD 的边长为4，点M 和分别从B、同时出发，以相同的速度沿B、D 向 终点、D 运动，连接M、B，交于点P，连接P，则P 长的最小值为（ ） ．2 －2 B．2 ．3 －1 D．2 【答】 【详解】由题意得：BM＝， ∵四边形BD 是正方形，∴∠BM＝∠B＝90°，B＝B＝4， 在△BM 和△B 中，B＝B，∠BM＝∠B，MB＝，∴△BMB △（SS），∴∠BM＝∠B， BP ∵∠ ＋∠B＝90°，∴∠BP＋∠BM＝90°，∴∠PB＝90°， ∴点P 在以B 为直径的圆上运动，设圆心为，运动路径一条弧BG，是这个圆的 ， 连接交圆于P，此时P 最小，∵B＝4，∴P＝B＝2，由勾股定理得：＝ ＝2 ， P ∴＝−P＝2 −2； 故选：． 3 如图，点M 是矩形BD 的边B、D 上的点，过点B 作B M ⊥ 于点P，交矩形BD 的边于点， 连接DP，若B=6，D=4，则DP 的长的最小值为（ ） ．2 B． ．4 D．5 【答】 【详解】解：∵B M ⊥ ，∴∠PB＝90°， B ∵＝6 为定长，则P 点的运动轨迹是以B 为直径，在B 上方的半圆，取B 的中点为， 连接D，D 与半圆的交点P′就是DP 长的最小值时的位置，如图所示： B ∵＝6，D＝4，∴P′＝＝ B＝3，D＝ ＝ ＝5， DP ∴ ′＝D−P′＝5−3＝2，∴DP 的长的最小值为2，故选：． 4 如图，在四边形BD 中，∠BD＝90°，为对角线，过点D 作DF⊥B，垂足为E，交B 延长 线于点F，若＝F，∠D＝∠FD，DF﹣D＝2，B＝6，则ED 的长为 ． 【解答】解：∵∠D＝∠FD，∴点，F，，D 四点共圆， ∴∠FD+∠DF＝180°，∠F＝∠FD， ∵∠DF＝90°，∴∠FD＝90°，∵＝F，∴∠F＝∠F， ∵DF⊥B，∴∠BF+∠BFE＝∠DF+∠BFE＝90°， ∴∠BF＝∠DF，∴∠FB＝∠BF，∴F＝B＝6， ∵DF﹣D＝2，∴DF＝D+2，∵DF2＝F2+D2，∴（2+D）2＝62+D2，解得：D＝8，∴DF＝ 10， ∵∠FD＝90°，E⊥DF，∴△DE∽△DF，∴ ＝ ，∴DE＝ ＝ ＝ ，故答为： ． 5 如图，在△B 中，B＝9，＝12，B＝15，D 为直线B 上方一点，连接D，BD，且∠DB＝ 90°，过D 作直线B 的垂线，垂足为E，则线段BE 的长度的最大值为_____． 【答】12． 【详解】解：在△B 中，B＝9，＝12，B＝15， ， ， ，∵∠DB＝90°， 共圆 取 的中点 连接 ，过点 作 于点 如图，当 时， 最大，此时 ， ， ， 四边形 是矩形， ， ，故答为：12． 6．如图，B 是半⊙的直径，点在半⊙上，B＝5m，＝4m．D 是 上的一个动点，连接 D，过点作E⊥D 于E，连接BE．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为（ ） ．1 B． ﹣2 ．2 1 ﹣ D．3 【答】B 【详解】解：如图，连接B′、B． ∵E⊥D，∴∠E＝90°，∴在点D 移动的过程中，点E 在以为直径的圆上运动， ∵B 是直径，∴∠B＝90°， 在Rt△B 中，∵＝4，B＝5，∴ ，′E＝2， 在Rt△B′中， ， ∵′E+BE≥′B，∴当′、E、B 共线时，BE 的值最小，最小值为′B﹣′E＝ ﹣2，故选：B． 7．如图，在平行四边形BD 中，B＝8，D＝6，以B 为边向右作等边 BE，F 为边D 上一点， DF＝2，连接EF，则EF 的最小值为___． 【答】 -6 【详解】解：如图，在B 上取点，使得=2，则=DF， ∵∥DF，∴四边形FD 是平行四边形， ∴F=D=6，即：点F 在以为圆心，6 为半径的圆上， 连接E，当点F 恰好在E 上时，EF 最小，过点E 作E⊥B， 在等边 BE 中，B=E=8，=4，∴E= ， ∵在Rt E 中，=4-2=2，∴E= ， ∴EF= -6，即EF 的最小值为 -6． 8．如图，正方形 的边长为5，点是中心，点M 在边 上，连接 ， ，过作 ，交边 于点．若 ，则 的长是__________． 【答】3 【详解】连接M、，∵∠M＝ ，∠MB＝ ，∴M、、、B 四点共圆，∴∠BM+∠B＝ ， ∵∠B+∠＝ ，∴∠BM＝∠， ∵点是正方形BD 的中心，∴B＝，∠B＝ ， ∵∠M＝∠MB+∠B＝ ，∠B＝∠B+∠＝ ， ∴∠MB＝∠，∴△MB≌△，∴＝MB＝2， ∵正方形BD 的边长为5，∴B＝5，∴B＝B﹣＝5 2 ﹣＝3．故答为：3． 9 在Rt△B 中，∠＝90°，＝10，B＝12，点D 为线段B 上一动点．以D 为⊙直径，作D 交⊙ 于点E，连BE，则BE 的最小值为 8 ． 【解答】解：如图，连接E，∴∠ED＝∠E＝90°，∴点E 在以为直径的⊙Q 上， ∵＝10，∴Q＝QE＝5， 当点Q、E、B 共线时BE 最小， ∵B＝12，∴QB＝ ＝13，∴BE＝QB﹣QE＝8，∴BE 的最小值为8， 故答为8． 10．如图，在 中， ，点 是 边上一动点，过点 作 交 的 延长线于 ．若 ， ，则 的最小值为（ ） ． B．1 ． D． 【答】D 【详解】如图1，过点E 作 于F， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵是定值，∴当EF 取最大值时 有最小值，又∵ ，∴，B，E，四点共圆， 设B 的中点为，连接E，当 时，EF 有最大值， 如图2，当点E 是 中点时，EF 的值最大， 此时，E，F，共线．∵ ， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ 的最小值为 ．故选Ｄ． 11 如图，矩形BD 中，B＝3，B＝4，点E 是B 边上一点，且E＝2，点F 是边B 上的任意一 点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G，连接G，G，则四边形GD 的面积的最小 值为 ． 【解答】解：∵四边形BD 是矩形， ∴D＝B＝3，D＝B＝4，∠B＝∠D＝90°，根据勾股定理得，＝5， ∵B＝3，E＝2，∴点F 在B 上的任何位置时，点G 始终在的下方， 设点G 到的距离为，∵S 四边形GD＝S△D+S△G＝ D×D+ ×＝ ×4×3+ ×5×＝ +6， ∴要四边形GD 的面积最小，即：最小， ∵点G 是以点E 为圆心，BE＝1 为半径的圆上在矩形BD 内部的一部分点， ∴EG⊥时，最小，即点E，点G，点共线．由折叠知∠EGF＝∠B＝90°， 延长EG 交于，则E⊥， 在Rt△B 中，s∠B＝ ，在Rt△E 中，E＝2，s∠B＝ ， ∴E＝ E＝ ，∴＝E﹣EG＝ ﹣1＝ ，∴S 四边形GD 最小＝ +6＝ +6＝ ．故答为： 12．如图，矩形BD 中，B＝6，D＝2❑ √5，E 是边D 上一点，将△DE 沿直线E 折叠得到△FE， BF 的延长线交边D 于点G，则DG 的最大值为 ． 【解析】如图，以点为圆心，D 长为半径画弧， 过点B 作弧的切线交D 于点G，切点为F，此时点E 和点G 重合，DG 的最大值即为DE 的长． ∵B＝D＝2❑ √5，B＝D＝6， 根据翻折可知：DE＝EF＝x，F＝D＝2❑ √5，则E＝D﹣DE＝6﹣x， 在Rt△BF 中，根据勾股定理，得BF¿ ❑ √A B 2−A F 2=¿4，则BE＝BF+EF＝4+x， 在Rt△BE 中，根据勾股定理，得（4+x）2＝（6﹣x）2+（2❑ √5）2，解得x＝2． 则DG 的最大值为2．故答为：2． 13 如图放置的两个正方形，大正方形BD 边长为，小正方形EFG 边长为b（＞b），M 在边 B 上，且BM＝b，连M、MF，MF 交G 于点P，将△BM 绕点旋转至△D，将△MEF 绕点F 旋转至△GF．给出以下四个结论：①∠MD＝∠D；②P＝b−b 2 a ；③△BM≌△GF；④、M、 P、D 四点共圆，其中正确的结论是 ①②③④ （填序号）． 【解析】①∵四边形BD 是正方形，∴∠BD＝∠D＝∠B＝90°，∴∠BM+∠DM＝90°， ∵将△BM 绕点旋转至△D，∴∠D＝∠BM，∠D＝∠MB， ∴∠DM+∠D＝∠D+∠D＝∠D+∠D＝90°，∴∠MD＝∠D，故①正确； ②∵四边形EFG 是正方形，∴P∥EF，∴△MP∽△EMF，∴PC EF =CM ME ， ∵大正方形BD 边长为，小正方形EFG 边长为b（＞b），BM＝b， ∴EF＝b，M＝﹣b，ME＝（﹣b）+b＝， ∴CP b =a−b a ，∴P＝b−b 2 a ；故②正确； ③∵将△MEF 绕点F 旋转至△GF，∴G＝ME， ∵B＝，ME＝，∴B＝ME＝G， 在△BM 与△GF 中，{ AB=NG=a ∠B=∠NGF=90° GF=BM=b ， ∴△BM≌△GF（SS）；故③正确； ④∵四边形MF 是正方形，∴∠MP＝90°， ∵∠DP＝90°，∴∠MP+∠DP＝180°， ∴，M，P，D 四点共圆，故④正确．故答为：①②③④． 隐形圆及最值问题 本文主要从以下四个方面去介绍： 一、从圆的定义构造圆（折叠类问题） 二、定边对直角 三、定边对定角 四、四点共圆 一、从圆的定义构造圆（折叠类问题） 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 1、几个点到某个定点距离相等可用圆 （定点为圆心，相等距离为半径） 例：如图，若B＝＝B＝，则∠B 的大小是_______ 例：如图，已知B==D，∠BD=2∠BD，∠B=44°，则∠D 的度数为__________ 2、动点到定点距离保持不变的可用圆 （先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径） 例：木杆B 斜靠在墙壁上，当木杆的上端沿墙壁竖直下滑时，木杆的底端B 也随 之沿着射线M 方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P 随之下落的路线，其中正确的是 （ ） 如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，并且 ，点 为边 上的动点，将 沿直线 翻折，点 落在点 处，则点 到边 距离的 最小值是 ． 【分析】如图，延长 交 于 ，当 时，点 到 的距离最小，利用 ，得到 求出 即可解决问题． 解：如图，延长 交 于 ，当 时，点 到 的距离最小．（点 在以 为圆心 为半径的圆上，当 时，点 到 的距离最小） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 到边 距离的最小值是12． 故答为12． 二、定边对直角 知识回顾：直径所对的圆周角是直角． 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 图形释义： P P A B O P 例：若B 是一条定线段，且∠PB=90°，则P 点轨迹是以B 为直径的圆． 如图，在 中， ， m， m． 是 边上的一个动点，连 接 ，过点 作 于 ，连接 ，在点 变化的过程中，线段 的最小值是（ ） ．1 B． ．2 D． 【分析】 由∠E＝90°知，点E 在以为直径的⊙M 的 上（不含点、可含点），从而得BE 最短时， 即为连接BM 与⊙M 的交点（图中点E′点），BE 长度的最小值BE′＝BM−ME′． 如图， 由题意知， ， 在以 为直径的 的 上（不含点 、可含点 ， 最短时，即为连接 与 的交点（图中点 点）， 在 中， ， ，则 ． ， 长度的最小值 ， 故选： ． 例：如图，△B 中，＝B＝4，∠B＝90°，点P 为上的动点，连BP，过点作M⊥BP 于M．当 点P 从点运动到点时，线段BM 的中点运动的路径长为（ ） ． π B． π ． π D．2π 解：设B 的中点为Q，连接Q，如图所示： ∵为BM 的中点，Q 为B 的中点， ∴Q 为△BM 的中位线， ∵M⊥BP， ∴Q⊥B， ∴∠QB＝90°， ∴点的路径是以QB 的中点为圆心， B 长为半径的圆交B 于D 的 ， ∵＝B＝4，∠B＝90°， ∴B ＝4 ，∠QBD＝45°， ∴∠DQ＝90°， ∴ 为⊙的 周长， ∴线段BM 的中点运动的路径长为： π， 故选：． 三、定边对定角 在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直 角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少， 而直角则可一般为定角．例如，B 为定值，∠P 为定角，则P 点轨迹是一个圆． P P A B P 例：（2018•日照）如图，已知点 ， ， 在抛物线 上． （1）求抛物线解析式； （2）在直线 上方的抛物线上求一点 ，使 面积为1； （3）在 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 ，使 ？若存在，求 出 点坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，将 代入求得 的值即可； （2）过点 作 ，交 与点 ，先求得直线 的解析式为 ，设点 ，则 ，然后可得到 与 之间的关系式，接下来，依据 的面积为1 列方程求解即可； （3）首先依据点 和点 的坐标可得到 ，设 外接圆圆心为 ， 则 ，设 的半径为 ，则 中，依据勾股定理可求得 的半径， 然后依据外心的性质可得到点 为直线 与 的交点，从而可求得点 的坐标， 然后由点 的坐标以及 的半径可得到点 的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 ，将 代入得 ，解得： ， 抛物线的解析式为 ． （2）过点 作 ，交 于点 ． 设直线 的解析式为 ，则 ，解得： ， 直线 的解析式为 ． 设点 ，则 ， ． 又 ， ，整理得： ，解得： 或 ， 点 的坐标为 或 ． （3）存在． ， ， ． ， 点 为 外接圆与抛物线对称轴在 轴下方的交点． 设 外接圆圆心为 ，则 ． 设 的半径为 ，则 中，由勾股定理可知 ，即 ，解 得： （负值已舍去）， 的垂直平分线的为直线 ， 的垂直平分线为直线 ， 点 为直线 与 的交点，即 ， 的坐标为 ． 四、四点共圆 A B C D E 若平面上、B、、D 四个点满足 ， 则、B、、D 在以D 中点E 为圆心、E 长为半径的圆上（可 证 ）． E D C B A 若平面上、B、、D 四个点满足 ， 则、B、、D 在以中点E 为圆心、E 为半径的圆上（可证 ）． 若平面上、B、、D 四个点满足 ，则、 B、、D 四点共圆． 证明条件：线段同侧张角相等． O D C B A 若平面上、B、、D 四个点满足 ， 则、B、、D 四点共圆． 证明条件：1．四边形对角互补； 2．四边形外角等于内对角． 两条线段被一点分成（内分或外分）