瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题 【专题说明】 动点轨迹问题是中考的重要压轴点受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学 生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞掌握该压轴点的基本图形,构建问题 解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述动点轨迹基本类 型为直线型和圆弧型 【知识精讲】 动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。 值。 （1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值 （2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定 ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不 变，若存在该动点的轨迹为直线。 ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。 ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。 如图，P 是直线B 是直线B 上一动点，连接P，取P 中点Q，当点P 在B 上运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线． 可以这样理解：分别过、Q 向B 作垂线，垂足分别为M、，在运动过程中，因为P=2Q，所以Q 始终为M 的一半，即Q 点到B 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线． 【引例】如图，△PQ 是等腰直角三角形，∠PQ=90°且P=Q，当点P 在直线B 上运动时，求Q

瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题 【专题说明】 动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中， （1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。 （2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最 值。 【知识精讲】 所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形 成的夹角以及主、 成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形 时，从动点轨迹必然也是． 【精典例题】 1、如图，在反比例函数 的图像上有一个动点，连接并延长交图像的另一支于点B，在第 一象限内有一点，满足=B，当点运动时，点始终在函数 的图像上运动，若t∠B=2，则k 的值为（ ） ．2 B．4 ．6 D．8 【分析】∠=90°且:=1:2，显然点的轨迹也是一条双曲线，分别作M、垂直x 和△B 的中位线 EM∥P ∴ ，FM∥P，EF∥，EF= ∠EF=180° ∴ －∠B=90° ∵为直径 ∠P=90° ∴ ，即P⊥P EM⊥MF ∴ ，即∠EMF=90° ∴点M 的运动轨迹为以EF 为直径的半圆上 取EF 的中点，连接，点即为半圆的圆心 当、M、共线时，M 最小，如图所示，M 最小为M1的长， ∵等腰直角B 中，斜边 B 的长度为 8， =B= ∴ = EF=

瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题 【专题说明】 动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和， 最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。 确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法: （1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。 （2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下; ** Expression is 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点． 考虑：当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】观察动图可知点Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆有什么关系？ 考虑到Q 点始终为P 中点，连接，取中点M，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是 P 一半，任意时刻，均有△MQ∽△P，QM:P=Q:P=1:2． 【小结】确定Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由、Q、P 始终共线可得：、M、三点共线， 中点可得：M=1/2． Q 点轨迹相当于是P 点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，作Q⊥P 且Q=P． 考虑：当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将P 绕点逆时针旋转90°得Q，故Q 点轨迹与P 点轨 迹都是圆．接下来确定圆心与半径．

专题29 最值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型解读】 。 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 模型1、运动轨迹为直线 1）如图，P 是直线B 上一动点，连接P，取P 中点Q，当点P 在B 上运动时，Q 点轨迹是？ P M 解析：当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线． 理由：分别过、Q 向B 作垂线，垂足分别为M、，在运动过程中，因为P=2Q，所以Q 始终为M 的一半，即Q 点到B 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线． 2）如图，在△PQ 中P=Q，∠PQ 为定值，当点P 在直线B 上运动时，求Q 点轨迹？ 解析：当P 与Q 夹角固定且P:Q 为定值的话，P、Q 轨迹是同一种图形。 理

最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型解读】 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点．Q 点轨迹是？ 如图，连接，取中点M，任意时刻，均有△MQ∽△P，QM:P=Q:P=1:2． 则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。 模型1-2 如图，△PQ 是直角三角形，∠PQ=90°且P=k Q，当P 在圆运动时，Q 点轨迹是？ 如图，连结，作M⊥，:M=k:1；任意时刻均有△P∽△QM，且相似比为k。 为圆心，MQ 为半径的圆。 模型1-3 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折 中） 如图，若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆， 则动点P 是以圆心，B 半径的圆或圆弧。 模型1-4 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P 为动点，B 为定值，∠PB=90°，则动点P

瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造 【专题说明】 近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。 很多考生碰到此类试题常常无所适从，不知该从何下手。 动点轨迹问题是中考的重要压轴点受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学 生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞掌握该压轴点的基本图形,构建问题 构建问题 解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述动点轨迹基本类 型为直线型和圆弧型 其实初中阶段如遇求轨迹长度仅有2 种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返 探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3 处以上的点来确定轨迹类型 进而求出答，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚。 ），当主动点 运动时，从动点的轨迹相同． 只要满足： 1. 两“动”，一“定”； 2. 两动点与定点的连线夹角是定角 3. 两动点到定点的距离比值是定值。 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹 长度的比和它们到定点的距离比相同。 【引例】（选讲） 如图，△PQ 是等腰直角三角形，∠PQ=90°且P=Q，当点P 在直线B 上运动时，求 Q 点轨迹？ 【分析】当P 与Q 夹角固定且P:Q

专题29 最值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型解读】 。 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 模型1、运动轨迹为直线 1）如图，P 是直线B 上一动点，连接P，取P 中点Q，当点P 在B 上运动时，Q 点轨迹是？ P M 解析：当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线． 理由：分别过、Q 向B 作垂线，垂足分别为M、，在运动过程中，因为P=2Q，所以Q 始终为M 的一半，即Q 点到B 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线． 2）如图，在△PQ 中P=Q，∠PQ 为定值，当点P 在直线B 上运动时，求Q 点轨迹？ 解析：当P 与Q 夹角固定且P:Q 为定值的话，P、Q 轨迹是同一种图形。 理

最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型解读】 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点．Q 点轨迹是？ 如图，连接，取中点M，任意时刻，均有△MQ∽△P，QM:P=Q:P=1:2． 则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。 模型1-2 如图，△PQ 是直角三角形，∠PQ=90°且P=k Q，当P 在圆运动时，Q 点轨迹是？ 如图，连结，作M⊥，:M=k:1；任意时刻均有△P∽△QM，且相似比为k。 为圆心，MQ 为半径的圆。 模型1-3 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折 中） 如图，若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆， 则动点P 是以圆心，B 半径的圆或圆弧。 模型1-4 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P 为动点，B 为定值，∠PB=90°，则动点P

2025 年六升七语文衔接期名著阅读人物成长轨迹分析试卷及答案 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. 《西游记》中，孙悟空最初的性格特点是？ A. 谦逊有礼B. 桀骜不驯C. 胆小懦弱D. 优柔寡断 2. 《童年》的主人公阿廖沙，在外祖母的影响下逐渐学会了？ A. 仇恨与报复B. 贪婪与自私C. 善良与坚韧D. 冷漠与逃避 A. 逃离农村B. 坚守土地与家庭责任C. 追求个人享乐D. 依赖他 人资助 二、多项选择题（共10 题，每题2 分） 1. 《西游记》中孙悟空的成长轨迹包括哪些阶段？（） A. 大闹天宫B. 拜师学艺C. 西天取经D. 占山为王 2. 《童年》中影响阿廖沙成长的人物有？（） A. 外祖母B

题型24 5 类圆锥曲线大题综合解题技巧 （标准方程、轨迹方程、定点、定值、最值及范围） 技法01 求圆锥曲线的标准方程 知识迁移 椭圆的标准方程 焦点在x 轴上的椭圆标准方程为： x2 a2 + y2 b2 =1 (a>b>0) 焦点在 y 轴上的椭圆标准方程为： y2 a2 + x2 b2=1 (a>b>0) 双曲线的标准方程 焦点在x 轴上的标准方程为： x2 a2−y2 b2 =1 (a>0,b>0) 焦点在y 轴上的标准方程为： y2 a2 −x2 b2=1 (a>0,b>0) 技法01 求圆锥曲线的标准方程 技法02 求圆锥曲线的轨迹方程 技法03 圆锥曲线中的定点问题 技法04 圆锥曲线中的定值问题 技法05 圆锥曲线中的最值及范围问题 求圆锥曲线的标准方程常常在解答题第一问考查，需要大家掌握圆锥曲线的几何性质及其标准方程的相关 同理 ， ， 所以 ，即 ， 所以得 . 技法02 求圆锥曲线的轨迹方程 知识迁移 求轨迹方程的5 种常用方法 1 直接法: 直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接 法。 2 定义法: 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹 方程的方法叫做定义法。 3 相关点法: 用动点 M 的坐标 x，y