更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型二特殊四边形证明（专题训练） 1．（2023·四川自贡·统考中考真题）在平行四边形 中，点E、F 分别在边 和 上，且 ． 求证： ． 2．（2023·山东·统考中考真题）如图，在 中， 平分 ，交 于点E； 平分 ，交 于点F．求证： ． 3 如图，点E，F 分别在菱形BD 的边B，D 是平行四边形． (2)若 的面积等于2，求 的面积． 10．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，矩形 中，过对角线 的中点 作 的垂线 ，分别交 ， 于点 ， ． (1)证明： ； (2)连接 、 ，证明：四边形 是菱形． 11 如图，在矩形BD 中，点E、F 分别是边B、D 的中点．求证：DE=BF． 12．（2023·新疆·统考中考真题）如图， 和 相交于点 ， ， ．点 、

截长补短模型证明问题 【专题说明】 截长补短法在初中几何学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿 着整个几何学的始终那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短截长就是在 较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段当条 件或结论中出现+b=时，用截长补短． 【知识总结】 1、补短法 一段相等的线段，在证明截剩部分与 线段中的另一段相等。 3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使 之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是 常用 如图1，若证明线段B,D,EF 之间存在EF=B+D,可以考虑截长补短法 截长法：如图2，在EF 上截取EG=B,在证明GF=D 即可； 补短法：如图3，延长B 至点，使B=D,再证明=EF 即可 【类型】一、截长 “截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。 方法一： 如图2 所示，在BF 上截取BM=DF， 易证△BM DF ≌△ （SS）， 则M=F=FG，∠BM= DF ∠ ， 可得△MF 为等腰直角三角形， 又可证∠FE=45°，∠FG=90°， FG= MF ∠ ∠

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型二特殊四边形证明（专题训练） 1．（2023·四川自贡·统考中考真题）在平行四边形 中，点E、F 分别在边 和 上，且 ． 求证： ． 【答】见解析 【分析】平行四边形的性质得到 ，进而推出 ，得到四边形 是平行四边形，即可得到 ． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， 于点F．求证： ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】证明见解析 【分析】由平行四边形的性质得 ， ， ，由平行线的性质和角 平分线的性质得出 ，可证 ，即可得出 ． 【详解】证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ， ， ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ∴ ． 【点睛】本题主 性质是解答本题的关键． 3 如图，点E，F 分别在菱形BD 的边B，D 上，且BE＝DF．求证：∠BE＝∠DF． 【分析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，B＝D，再证明△BE △DF ≌ ，即可得∠BE＝ ∠DF． 【解答】证明：四边形BD 是菱形， ∠B ∴ ＝∠D，B＝D， 在△BE 和△DF 中， { AB=AD ∠B=∠D BE=DF ， △BE △DF ∴ ≌ （SS），

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型二 与切线有关的证明与计算（专题训练） 1．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点，连接 ，且 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若直径 ，求 的长． 2 如图， 内接于 ， 是 的直径， 为 上一点， ，延长 交 于点 ， ．

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型二 与切线有关的证明与计算（专题训练） 1．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点，连接 ，且 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若直径 ，求 的长． 【答】(1)详见解析 (2) 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论； 的性质即可求得结论； (2)根据已知条件可知 ，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关 系即可求得线段 的长度． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ 是 的切线； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）解：∵ ， ∴ ， 的切线； （2）若 ， ，求 的长． 【答】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）根据 ，可得 ，根据对顶角相等可得 ，进而可得 ，根据 ，可得 ，结合 ，根据角度的转化 可得 ，进而即可证明 是 的切线； （2）根据 ，可得 ，设 ，则 ，分别求得 ，进而根据勾股定理列出方程解方程可得，进而根 据 即可求得． 【详解】 （1） ， ， ， ， ， ， 是直径， ，

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型一 圆的基本性质证明与计算（专题训练） 1．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在 中， ， 则 （ ） ．1 B．2 ． D．4 2 如图， 是 的外接圆， ，若 的半径 为2，则弦 的长为（ ） ．4 B． ．3 D． 3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型一 圆的基本性质证明与计算（专题训练） 1．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在 中， ， 则 （ ） ．1 B．2 ． D．4 【答】B 【分析】连接 ，由圆周角定理得 ，由 得， ， ，在 中，由 ，计算即可得到答． 【详解】解：连接 ，如图所示， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 【答】 【分析】 连接，，，交B 于E，先根据垂径定理求出E=3，然后证明三角形是等边三角形，从而可以 得到∠E=30°，再利用三线合一定理求解即可 【详解】 解：如图所示，连接，，，交B 于E， ∵是弧B 的中点，B=6， ⊥ ∴ B，E=BE=3， ∠ ∵ 且 ． （1）求证： 是 的切线； （2）求 的直径 的长度． 【答】（1）见解析；（2） 的直径 的长度为 【解析】 【分析】 (1)先用勾股定理的逆定理证明△EM 为直角三角形，且∠EM=90°，再根据M∥B 即可证明 ∠B=90°进而求解； (2)连接BM，由B 是直径得到∠MB=90°，再分别在Rt△MB 和Rt EM △ 中使用∠的余弦即可 求解． 【详解】 解：(1)

于点F． 【初步感知】（1）如图1，当＝1 时，兴趣小组探究得出结论： ， 请写出证明过程． 【深入探究】（2）①如图2，当＝2，且点F 在线段B 上时，试探究线段E、BF、B 之间的数量关系，请写出结论并证明； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段E、BF、B 之间数量关系的一般结论（直接 写出结论不必证明）． 【拓展运用】（3）如图3，连结EF，设EF 的中点为M．若B＝ ，求点E 从点运 顺时针旋转2α 得到线段DE． （1）如图1，当点E 在线段上时，求证：点D 是M 的中点； （2）若在线段BM 上存在点F（不与点B、M 重合）满足DF＝D，连结E、EF，直接 写出∠EF 的大小，并证明． 图1 图2 例 2023 年长春市中考第23 题 如图1，在矩形BD 中，B＝3，D＝5，点E 在边B 上，且BE＝2，动点P 落在△B 内部，并让 同学们提出新的问题． “ ①善思小组”提出问题：如图3，当∠BE＝∠B 时，过点作M⊥BE 交BE 的延长线于 点M，BM 与交于点．试猜想线段M 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； “ ②智慧小组”提出问题：如图4，当∠BE＝∠B 时，过点作⊥DE 于点，若B＝9，＝ 12，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 图3

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型五圆的相关证明与计算（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 考点01 圆的有关概念 1．与圆有关的概念和性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最 1 更多资料添加微信号：DEM2008 2．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）． （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线判定常用的证明方法： ①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； ②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 考点07 三角形与圆 1 三角形外接圆 外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型五圆的相关证明与计算（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 考点01 圆的有关概念 1．与圆有关的概念和性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最 1 更多资料添加微信号：DEM2008 2．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）． （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线判定常用的证明方法： ①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； ②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 考点07 三角形与圆 1 三角形外接圆 外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等． 1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图， 切 于点B，连接 交 于点， 交 于点D，连接 ，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】如图，连接 ，证明 ， ，可得 ， 从而可得 ． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ 切 于点B， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 故选： 【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角