3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题

32 几何计算及通过几何计算进行说理问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年南充市中考第24 题 如图1，正方形BD 中，点M 在边B 上，点E 是M 的中点，连结ED、E． （1）求证：ED＝E； （2）将BE 绕点E 逆时针旋转，使点B 的对应的B′落在上，连结MB′．当点M 在边B 上运动时（点M 不与点B、重合），判断△MB′的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，已知B＝1，当∠DEB′＝45°时，求BM 的长． 图1 例 2023 年衡阳市中考第25 题 问题探究 （1）如图1，在正方形BD 中，对角线、BD 相交于点．在线段上任取一点 P（端点除外），连结PD、PB． ①求证：PD＝PB； ②将线段DP 绕点P 逆时针旋转，使点D 落在B 的延长线上的点Q 处，当点P 在线段 上的位置发生变化时，∠DPQ 的大小是否发生变化？请说明理由； ③探究Q 与P 的数量关系，并说明理由． 迁移探究 （2）如图2，将正方形BD 换成菱形BD，且∠B＝60°，其他条件不变，试 探究Q 与P 的数量关系，并说明理由． 图1 图2 例 2023 年贵州省中考第25 题 如图1，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直 角三角形B 中，＝B，∠＝90°，过点B 作射线BD⊥B，垂足为点B，点P 在B 上． （1）【动手操作】如图2，若点P 在线段B 上，画出射线P，并将射线P 绕点P 逆时 针旋转90°与BD 交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE 的度数为_____度． （2）【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段P 与PE 的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，若点P 在射线B 上移动，将射线P 绕点P 逆时针旋转90° 与BD 交于点E，探究B、BP、BE 之间的数量关系，并说明理由． 图1 图2 图3 例 2023 年成都市中考第26 题 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在Rt△B 中，∠＝90°，＝B，D 是B 边上一点，且 （为正整数），E 是边上的 动点，过点D 作DE 的垂线交直线B 于点F． 【初步感知】（1）如图1，当＝1 时，兴趣小组探究得出结论： ， 请写出证明过程． 【深入探究】（2）①如图2，当＝2，且点F 在线段B 上时，试探究线段E、BF、B 之间的数量关系，请写出结论并证明； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段E、BF、B 之间数量关系的一般结论（直接 写出结论不必证明）． 【拓展运用】（3）如图3，连结EF，设EF 的中点为M．若B＝ ，求点E 从点运 动到点的过程中，点M 运动的路径长（用含的代数式表示）． 图1 图2 图3 例 2023 年武汉市中考第23 题 问题提出 如图1，E 是菱形BD 的边B 上一点，△EF 是等腰三角形，E＝EF，∠EF＝ ∠B＝α（α＞90°），F 交D 于点G，探究∠GF 与α 的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图2，当α＝90°时，直接写出∠GF 的大小； （2）再探究一般情形，如图1，求∠GF 与α 的数量关系； 问题拓展 （3）将图1 特殊化，如图3，当α＝120°时，若 ，求 的值． 图1 图2 图3 例 2023 年河北省中考第26 题 如图1，图2，在四边形BD 中，B＝8，B＝ ，D＝12，D＝6，∠＝90°，点M 在 D 上，且DM＝2．将线段M 绕点M 顺时针旋转°（0＜≤180）到M′，∠′M 的平分线MP 所 在直线交折线B-B 于点P，设点P 在折线上运动的路径长为x（x＞0），联结′P． （1）若点P 在B 上，求证：′P＝P； （2）如图2，联结BD． ①求∠BD 的度数，并直接写出当＝180 时，x 的值； ②若点P 到BD 的距离等于2，求t ′ ∠MP 的值； （3）当0＜x≤8 时，请直接写出点′到直线B 的距离（用含x 的式子表示）． 图1 图2 例 2023 年北京市中考第27 题 在△B 中，∠B＝∠＝α（0°＜α＜45°），M⊥B 于点M，D 是线段M 上的动点（不与点 M、重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α 得到线段DE． （1）如图1，当点E 在线段上时，求证：点D 是M 的中点； （2）若在线段BM 上存在点F（不与点B、M 重合）满足DF＝D，连结E、EF，直接 写出∠EF 的大小，并证明． 图1 图2 例 2023 年长春市中考第23 题 如图1，在矩形BD 中，B＝3，D＝5，点E 在边B 上，且BE＝2，动点P 从点E 出发， 沿折线EB-B-D 以每秒1 个单位长度的速度运动，作∠PEQ＝90°，EQ 交边D 或边D 于点 Q，连结PQ，当点Q 与点重合时，点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒（t＞0）． （1）当点P 和点B 重合时，线段PQ 的长为_______； （2）当点Q 和点D 重合时，求t∠PQE； （3）如图2，当点P 在边D 上运动时，△PQE 的形状始终是等腰直角三角形，请说明 理由； （4）作点E 关于直线PQ 的对称点F．连结PF、QF，当四边形EPFQ 和矩形BD 重叠 部分图形为轴对称四边形时，请直接写出t 的取值范围． 图1 图2 例 2023 年山西省中考第22 题 综合与实践 问题情境 “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1 中的矩形 纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△B 和△DFE，其中∠B＝∠DEF＝ 90°，∠＝∠D．将△B 和△DFE 按图2 所示方式摆放，其中点B 与点F 重合（标记为点B）． 当∠BE＝∠时，延长DE 交于点G．试判断四边形BGE 的形状，并说明理由． 图1 图2 数学思考 （1）请你解答老师提出的问题； 深入探究 （2）老师将图2 中的△DBE 绕点B 逆时针旋转，使点E 落在△B 内部，并让 同学们提出新的问题． “ ①善思小组”提出问题：如图3，当∠BE＝∠B 时，过点作M⊥BE 交BE 的延长线于 点M，BM 与交于点．试猜想线段M 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； “ ②智慧小组”提出问题：如图4，当∠BE＝∠B 时，过点作⊥DE 于点，若B＝9，＝ 12，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 图3 图4 例 2023 年广东省中考第22 题 综合探究 如图1，在矩形BD 中（B＞D），对角线、BD 相交于点，点关于BD 的对 称点为′，连结′交BD 于点E，连结′． （1）求证：′⊥′； （2）以点为圆心，E 为半径作圆． ①如图2，⊙与D 相切，求证：′＝ ′； ②如图3，⊙与′相切，D＝1，求⊙的面积． 图1 图2 图3 例 2023 年新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团中考第23 题 【建立模型】（1）如图1，点B 是线段D 上一点，⊥B，B⊥BE，ED⊥BD，垂足分别 为、B、D，B＝BE．求证：△B≌△BDE； 【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x＋3 的图像与y 轴交于点，与x 轴交于点 B，将线段B 绕点B 逆时针旋转90°得到B，直线交x 轴于点D． ①求点的坐标； ②求直线的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2－3x－4 与x 轴交于、B 两点（点在点B 的左 侧），与y 轴交于点，已知点Q(0,－1)，连结BQ．探究在抛物线上是否存在点M，使得 t∠MBQ＝ ，若存在，求出点M 的横坐标． 图1 图2 图3 例 2023 年通辽市中考第26 题 在平面直角坐标系中，已知抛物线 （≠0）与x 轴交于点(1, 0)和点B，与y 轴交于点(0,－4)． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）P 是抛物线上一动点（不与点、B、重合），作 PD⊥x 轴，垂足为点D，连结P． ①如图1，若点P 在第三象限内，且t∠PD＝2，求点 P 的坐标； ②直线PD 交直线B 于点E，当点E 关于直线P 的对称点E′落在y 轴上时，请直接写 出四边形PEE′的周长． 图1 例 2023 年包头市鄂尔多斯市中考第23 题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋3x＋1 交y 轴于点，直线 交抛物线于B、两点（点B 在点的左侧），交y 轴于点D，交x 轴于点E． （1）求点D、E、的坐标； （2）F 是线段E 上一点（F＜EF），连结F、DF、F，且F2＋EF2＝21． ①求证：△DF 是直角三角形； ②∠DF 的平分线FK 交线段D 于点K，点P 是直线B 上方抛物线上的一动点，当 3t∠PFK＝1 时，求点P 的坐标． 图1 例 2023 年河南省中考第23 题 李老师善于通过合适的主题整合学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光 看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你 解答． （1）观察发现 如图1，在平面直角坐标系中，过点M(4, 0)的直线l//y 轴，作△B 关于 y 轴的对称图形△1B11，再分别作△1B11关于x 轴和直线l 对称的图形△2B22和△3B33，则△2B22可 以看作是△B 绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；△3B33可以看作是△B 向右平 移得到的，平移距离为_____个单位长度． 图1 （2）探究迁移 如图2，平行四边形BD 中，∠BD＝α（0°＜α＜90°），P 为直线B 下 方一点，作点P 关于直线B 的对称点P1，再分别作点P1关于直线D 和直线D 的对称点P2 和P3，连结P、P2，请仅就图2 的情形解决以下问题： ①若∠PP2＝β，请判断β 与α 的数量关系，并说明理由； ②若D＝m，求P、P3两点间的距离． （3）拓展应用 在（2）的条件下，若α＝60°，D＝ ，∠PB＝15°，连结P2P3．当 P2P3与平行四边形BD 的边平行时，请直接写出P 的长． 图2 图3 例 2023 年兰州市中考第27 题 在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”． 例如：如图1，已知点(1, 2)、B(3, 2)，P(2, 2)在线段B 上，则点P 是直线EF：x 轴的 “伴随点”． （1）如图2，已知点(1, 0)、B(3, 0)，P 是线段B 上一点，直线EF 经过G(－1, 0)、T 两点，当P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标； 图1 图2 （2）如图3，x 轴上方有一等边三角形B，B⊥y 轴，顶点在y 轴上且在B 上方，＝ ， 点P 是△B 上一点，且点P 是直线EF：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求 等边三角形B 的边长； （3）如图4，以(1, 0)、B(2, 0)、(2, 1)为顶点的正方形BD 上始终存在点P，使得点P 是直线EF：y＝－x＋b 的“伴随点”，请直接写出b 的取值范围． 图3 图4 例 2023 年北京市中考第28 题 如图1，在平面直角坐标系中，⊙的半径为1．对于⊙的弦B 和⊙外一点给出如下定义： 若直线、B 中一条经过点，另一条是⊙的切线，则称点是弦B 的“关联点”． （1）如图1，点(－1, 0)，B1 ，B2 ． ①在点1(－1, 1)，2 ，3 中，弦B1的“关联点” 是______； ②若点是弦B2的“关联点”，直接写出的长； 图1 （2）已知点M(0, 3)、 ．对于线段M 上一点S，存在⊙的弦PQ，使得点S 是 弦PQ 的“关联点”．记PQ 的长为t，当点S 在线段M 上运动时，直接写出t 的取值范围． 例 2023 年沈阳市中考第25 题 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像经过点(0, 2)，与x 轴 交于点B 和点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）点E、G 在y 轴上，G＝2E，点D 在线段上，D＝ E．以线段D、E 为邻边作 矩形DFE，连结GD，设E＝． ①连结F，当△GD 与△FD 相似时，求的值； ②当点D 与点重合时，将线段GD 绕点G 按逆时针方向旋转60°后得到线段G，连结 F、FG，将△GF 绕点F 按顺时针方向旋转α（0°＜α≤180°）后得到△G′F′，点G、的对应点 分别为G′、′，连结DE．当△G′F′的边与线段DE 垂直时，请直接写出点′的横坐标． 图1 备用图 例27 2023 年济南市中考第26 题 在矩形BD 中，B＝2，D＝ ，点E 在边B 上，将射线E 绕点逆时针旋转90°，交D 的延长线于点G，以线段E、G 为邻边作矩形EFG． （1）如图1，连接BD，求∠BD 的度数和 的值； （2）如图2，当点F 在射线BD 上时，求线段BE 的长； （3）如图3，当E＝E 时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接P、P，求P＋P 的最小值． 图1 图2 图3 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》强化训练篇（黄皮书）中 （23 金华24）如图，直线 与x 轴、y 轴分别交于点、B，抛物线的顶点 P 在直线B 上，与x 轴的交点为、D，其中点的坐标为(2, 0)，直线B 与直线PD 交于点E． （1）如图2，若抛物线经过原点． ①求该抛物线的函数表达式； ②求 的值； （2）连结P，∠PE 与∠B 能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试 说明理由． 图1 图2 （23 宜宾25）如图，抛物线y＝x2＋bx＋与x 轴交于点(－4, 0)、B(2, 0)，且经过点(－ 2, 6)． （1）求抛物线的表达式； （2）在x 轴上方的抛物线上任取一点，射线、B 分别与抛物线的对称轴交于点P、 Q，点Q 关于x 轴的对称点为Q′，求△PQ′的面积； （3）点M 是y 轴上一动点，当∠M 最大时，求点M 的坐标． 备用图 备用图 （23 扬州27）【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的三 角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△DB 和△′D′，∠DB＝∠′D′， ∠B＝∠＝30°，设B＝2． 【探究操作】如图1，先将△DB 和△′D′的边D、′D′重合，再将△′D′绕着点按顺时针方 向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△DB 保持不动，联结B． （1）当α＝60°时，B＝_______；当B＝ 时，α＝_______°； （2）当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； （3）如图2，取B 的中点F，将△′D′绕着点旋转一周，点F 的运动路径长为_________． 图1 图2 备用图