重难点突破09 相似三角形8 种模型 （字、8 字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、 手拉手模型） 目 录 题型01 字模型 题型02 8 字模型 题型03 射影定理 题型04 一线三等角模型 题型05 线束模型 题型06 三角形内接矩形模型 题型07 三平行模型 题型08 手拉手模型（旋转模型） 相似三角形的判定方法： 1）平 相交于点P，PB=B，D=2❑ √2．则B 的长是 ． 4．（2020·上海浦东新·统考三模）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝60°，＝6，D 平分∠B，交边B 于点 D，过点D 作的平行线，交边B 于点E． 3 2 1 E D B C A (1)求线段DE 的长； (2)取线段D 的中点M，连接BM，交线段DE 于点F，延长线段BM 交边于点G，求EF DF 的值． 5．（2021 （1）若点是线段B 中点． ①求证：m+＝2； ②求m 的最大值； （2）若CO OB ＝k（k≠0）求m，之间的关系（用含k 的代数式表示）． 13．（2021·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，抛物线y=−1 2 x 2+2 x+6与x轴交于，B 两点（点在点B 的左 侧），与y轴交于点，直线y=x−2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线B 交于点F． （1）点F 的坐标是________；

重难点突破09 相似三角形8 种模型 （字、8 字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、 手拉手模型） 目 录 题型01 字模型 题型02 8 字模型 题型03 射影定理 题型04 一线三等角模型 题型05 线束模型 题型06 三角形内接矩形模型 题型07 三平行模型 题型08 手拉手模型（旋转模型） 相似三角形的判定方法： 1）平 又BG=8 3， ∴BE=BG× 3 2=4， ∴CE=6−4=2， 故答为：2． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做 出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答． 2．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图是一张矩形纸片，点E 在B 边上，把△BCE沿直线E 对折，使 点B 落在对角线上的点F 处，连接DF．若点E，F，D 【分析】连接，设⊙的半径为r，由D2=E•和∠D= DE ∠ ，可判断△D DE ∽△ ，得到∠D= DE ∠ ，再根据圆周角 定理得∠D= BD ∠ ，所以∠DB= BD ∠ ，利用等腰三角形的判定得B=D，证明∥D，利用平行线分线段成比例 定理得到PC CD = PO OA =2，则PC=2CD=4 ❑ √2，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到 4 ❑ √2 3r = r 6 ❑ √2 ，再利用比例的性质可计算出r

相交线与平行线 模型（三）——猪蹄模型 ◎结论1：若B∥D，则∠B0=∠B+∠ 【证明】过点 作E//B，如图 ∵B∥D,∴E∥D, ∴∠B=∠1,∠=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠，即∠B=∠B＋∠ ◎结论2：若∠B=∠B+∠，则B∥D 【证明】过点 作E∥B，如图，则 ∠P．以上结论正确的个数是 ( ) ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】①过点E 作直线 ，由平行线的性质即可得出结论；②过点E 作直线 ，由平行线的性质即 可得出结论；③过点E 作直线 ，由平行线的性质可得出∠+∠E- 1=180° ∠ ；④先过点P 作直线 ， 再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断． 【详解】解：①过点E 作直线 故选：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 2．（2022·江苏·苏州工业区景城学校七年级阶段练习）如图，B DE，B⊥D，则以下说法中正确的是（ ） ．α，β 的角度数之和为定值B．α，β 的角度数之积为定值．β 随α 增大而增大D．β 随α 增大而减小 【答】 【分析】过点作F B，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：过点作F

相交线与平行线 模型（五）——锯齿模型 ◎结论 如图所示，B∥EF，则∠B＋∠D=∠十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 【证明】如图，过点作M//B，过点D 作PQ//B ∵B//EF, ∴B//M// PQ//EF ∴∠B=∠B,∠DP=∠D,∠PDE=∠E, ∴∠B＋∠DP＋∠PDE=∠B+∠D+∠E， ∴B+∠DE=∠BD＋∠E，得证 1．（2022·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若B EF ∥ ，用含 、 、 的式子表示，应为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ，推出B D M EF ∥∥ ∥ ，根据平行线的性质得出 + BD=180° ∠ ，∠DM= M ∠ ，∠MF= ，求出∠BD=180°- ，∠DM= M= ∠ - ，即可得出答． 【详解】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ， B∥ EF 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 2．（2022·山东济宁·七年级阶段练习）如图所示，如果 B D ∥ ，则∠α、∠β、∠γ 之间的关系为（ ） ．∠α+ β+ γ ∠ ∠＝180° B．∠α－∠β+ γ ∠＝180° ．∠α+ β ∠－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 【答】 【分析】过E 作EF B ∥，由平行线的质可得EF D

相交线与平行线 模型（四）——铅笔头模型 ◎结论1：如图所示，B∥D，则∠B+∠B+∠=360° 【证明】如图，过点 作 E//B B∥D, E//B//D ∵ ∠B+∠1=180°,∠+∠2=180°, ∴ ∠B+∠1+∠2+∠=360° ∴ ，∴∠B＋∠B+∠=360° ◎结论2：如图所示，∠B+∠B+∠=360°，则B∥D ＝100°， 故选：． 【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键． 2．（2022·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若B EF ∥ ，用含 、 、 的式子表示，应为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ，推出B D M EF ∥∥ ∥ ，根据平行线的性质得出 + BD=180° ∠ ，∠DM= M ∠ ， ∴ + BD=180° ∠ ，∠DM= M ∠ ，∠MF= ， BD=180°- ∴∠ ，∠DM= M= ∠ - ， ∴= BD+ DM= ∠ ∠ ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 3．（2022·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3 的度数为( ) ．55° B．60° ．65°

相交线与平行线 模型（三）——猪蹄模型 ◎结论1：若B∥D，则∠B0=∠B+∠ 【证明】过点 作E//B，如图 ∵B∥D,∴E∥D, ∴∠B=∠1,∠=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠，即∠B=∠B＋∠ ◎结论2：若∠B=∠B+∠，则B∥D 【证明】过点 作E∥B，如图，则

相交线与平行线 模型（五）——锯齿模型 ◎结论 如图所示，B∥EF，则∠B＋∠D=∠十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 【证明】如图，过点作M//B，过点D 作PQ//B ∵B//EF, ∴B//M// PQ//EF ∴∠B=∠B,∠DP=∠D,∠PDE=∠E, ∴∠B＋∠DP＋∠PDE=∠B+∠D+∠E， ∴B+∠DE=∠BD＋∠E，得证

相交线与平行线 模型（四）——铅笔头模型 ◎结论1：如图所示，B∥D，则∠B+∠B+∠=360° 【证明】如图，过点 作 E//B B∥D, E//B//D ∵ ∠B+∠1=180°,∠+∠2=180°, ∴ ∠B+∠1+∠2+∠=360° ∴ ，∴∠B＋∠B+∠=360° ◎结论2：如图所示，∠B+∠B+∠=360°，则B∥D ．55° B．60° ．65° D．70° 1．（2022·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）①如图1， ，则 ；②如图2， ，则 ；③如图3， ，则 ；④如图4，直线 EF，点 在直 线 上，则 ．以上结论正确的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 2．（2021·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果B D，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．

第5 章 相交线与平行线章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（3 分）（2022·河北·威县第三中学七年级期末）下列选项中， 1 ∠和 2 ∠是对顶角的是 （ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个 角的反向延长线，逐项进行观察判断即可． ①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线； ②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④同旁内角相等，两直线平行． 正确的个数有（ ）个． ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】分别根据平行线的判定以及平行线定义和平行公理分析得出即可． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题正确； ②过直线外一点，有且 ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误； ④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误． 1 故选：． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行公理等知识，正确把握相关定理是 解题关键． 3．（3 分）（2022·辽宁·丹东市第十七中学七年级期末）两条平行线被第三条直线所截， 一对同旁内角的比为4：5，则这两个角中较小的角的度数为（ ） ．20° B．80° ．100° D．120°

第五章 相交线与平行线压轴题考点训练 1．如图，//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3 的度数是( ) ．115° B．110° ．105° D．100° 2．①如图1，B D，则∠＋∠E＋∠＝180°；②如图2，B D，则∠E＝∠＋∠；③如图3，B D，则∠＋∠E－∠1＝180°；④如图4，B D，则∠＝∠＋∠P．以上结论正确的个数是( ) ．①②③④ B．①②③ ，依此类推，作 ， 的平分线相交于点 ，请直接写出 的度数． 11．平面内有直线B 和直线D，点E 是平面内任意一点，连接E、E，∠E＝60°． (1)若直线B∥D； 如图1，当点E 在两条平行线之间时，直接写出∠BE 与∠DE 的数量关系 ； 如图2，当点E 在两条平行线外部时，直接写出∠BE 与∠DE 的数量关系 ； (2)若直线B 与D 相交于点，且∠＝60°，如图3，当点E