相交线与平行线 模型（三）——猪蹄模型 ◎结论1：若B∥D，则∠B0=∠B+∠ 【证明】过点 作E//B，如图 ∵B∥D,∴E∥D, ∴∠B=∠1,∠=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠，即∠B=∠B＋∠ ◎结论2：若∠B=∠B+∠，则B∥D 【证明】过点 作E∥B，如图，则 , ∴ , ∴ , ∴ , ∴ , 故答为： ． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能综合运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． 1．已知直线 ，直线EF 分别与直线，b 相交于点E，F，点，B 分别在直线，b 上，且在直线EF 的左侧，点P 是直线EF 上一动点（不与点E，F 重合），设∠PE＝∠1，∠PB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点 在线段 上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； 到对应的内错角是解决本题的关键． 2．如图： (1)如图1， ， ， ，直接写出 的度数． (2)如图2， ，点 为直线 ， 间的一点， 平分 ， 平分 ，写出 与 之间 的关系并说明理由． (3)如图3， 与 相交于点 ，点 为 内一点， 平分 ， 平分 ，若 ， ，直接写出 的度数． 【答】(1)∠BED=66°； (2)∠BED=2∠F，见解析； (3)∠BED 的度数为130°． 【分析】（1

相交线与平行线 模型（五）——锯齿模型 ◎结论 如图所示，B∥EF，则∠B＋∠D=∠十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 【证明】如图，过点作M//B，过点D 作PQ//B ∵B//EF, ∴B//M// PQ//EF ∴∠B=∠B,∠DP=∠D,∠PDE=∠E, ∴∠B＋∠DP＋∠PDE=∠B+∠D+∠E， ∴B+∠DE=∠BD＋∠E，得证

相交线与平行线 模型（四）——铅笔头模型 ◎结论1：如图所示，B∥D，则∠B+∠B+∠=360° 【证明】如图，过点 作 E//B B∥D, E//B//D ∵ ∠B+∠1=180°,∠+∠2=180°, ∴ ∠B+∠1+∠2+∠=360° ∴ ，∴∠B＋∠B+∠=360° ◎结论2：如图所示，∠B+∠B+∠=360°，则B∥D 故答为：150°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键． 4．（2022·江苏盐城·七年级期中）如图，直线与∠B 的一边射线相交，∠1＝130°，向下平移直线得到直线b，与∠B 的另一边射线B 相交，则∠2+ 3 ∠＝___． 【答】 【分析】过点作 ，利用平移的性质得到 ，可得判断 ，根据平行线的性质得 ， ，可得到 ，从而得出 的度数． 【详解】解：过点作

相交线与平行线 模型（三）——猪蹄模型 ◎结论1：若B∥D，则∠B0=∠B+∠ 【证明】过点 作E//B，如图 ∵B∥D,∴E∥D, ∴∠B=∠1,∠=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠，即∠B=∠B＋∠ ◎结论2：若∠B=∠B+∠，则B∥D 【证明】过点 作E∥B，如图，则 边上，若∠2＝25°，则∠1 的度数为___． 3．（2022·四川·泸州市梓橦路学校七年级期中）如图，直线 ， ， ＝ ， ＝ ，则 的度数为 ________． 1．已知直线 ，直线EF 分别与直线，b 相交于点E，F，点，B 分别在直线，b 上，且在直线EF 的左侧，点P 是直线EF 上一动点（不与点E，F 重合），设∠PE＝∠1，∠PB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点 在线段 上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； 之间的关系（不要求证明）． 2．如图： (1)如图1， ， ， ，直接写出 的度数． (2)如图2， ，点 为直线 ， 间的一点， 平分 ， 平分 ，写出 与 之间 的关系并说明理由． (3)如图3， 与 相交于点 ，点 为 内一点， 平分 ， 平分 ，若 ， ，直接写出 的度数．

相交线与平行线 模型（五）——锯齿模型 ◎结论 如图所示，B∥EF，则∠B＋∠D=∠十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 【证明】如图，过点作M//B，过点D 作PQ//B ∵B//EF, ∴B//M// PQ//EF ∴∠B=∠B,∠DP=∠D,∠PDE=∠E, ∴∠B＋∠DP＋∠PDE=∠B+∠D+∠E， ∴B+∠DE=∠BD＋∠E，得证

相交线与平行线 模型（四）——铅笔头模型 ◎结论1：如图所示，B∥D，则∠B+∠B+∠=360° 【证明】如图，过点 作 E//B B∥D, E//B//D ∵ ∠B+∠1=180°,∠+∠2=180°, ∴ ∠B+∠1+∠2+∠=360° ∴ ，∴∠B＋∠B+∠=360° ◎结论2：如图所示，∠B+∠B+∠=360°，则B∥D 3．（2022·全国·七年级）如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°则∠2 的度数为 ___． 4．（2022·江苏盐城·七年级期中）如图，直线与∠B 的一边射线相交，∠1＝130°，向下平移直线得到直线b，与∠B 的另一边射线B 相交，则∠2+ 3 ∠＝___． 1．（2022·江西赣州·七年级期中）根据下列叙述填依据． (1)已知如图1， ，求∠B+∠BFD+∠D 的度数． 解：过点F

第5 章 相交线与平行线章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（3 分）（2022·河北·威县第三中学七年级期末）下列选项中， 1 ∠和 2 ∠是对顶角的是 （ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个 角的反向延长线，逐项进行观察判断即可． 【详解】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的 两个角叫做对顶角，观察选项，只有D 选项符合， 故选D． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的两个判断依据（一是有公共顶点， 二是一个角的两边是另一个角的的两边的反向延长线）是解题的关键． 2．（3 分）（2022·天津市东丽中学七年级期末）下列说法： ①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线； ② ④同旁内角相等，两直线平行． 正确的个数有（ ）个． ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】分别根据平行线的判定以及平行线定义和平行公理分析得出即可． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题正确； ②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误； ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误； ④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误．

第五章 相交线与平行线压轴题考点训练 1．如图，//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3 的度数是( ) ．115° B．110° ．105° D．100° 2．①如图1，B D，则∠＋∠E＋∠＝180°；②如图2，B D，则∠E＝∠＋∠；③如图3，B D，则∠＋∠E－∠1＝180°；④如图4，B D，则∠＝∠＋∠P．以上结论正确的个数是( ) ．①②③④ B．①②③ 10．已知：如图1，直线B//D， 分别交 ， 于 ， 两点， ， 的平 分线相交于点 ． (1)求 的度数； (2)如图2， ， 的平分线相交于点 ，请写出 与 之间的等量关系， 并说明理由； (3)在图2 中作 ， 的平分线相交于点 ，作 ， 的平分线相 交于点 ，依此类推，作 ， 的平分线相交于点 ，请直接写出 的度数． 11．平面内有直线B 和直线D，点E 是平面内任意一点，连接E、E，∠E＝60°． 如图2，当点E 在两条平行线外部时，直接写出∠BE 与∠DE 的数量关系 ； (2)若直线B 与D 相交于点，且∠＝60°，如图3，当点E 在∠内部，且∠E＝45°，猜想∠BE 与∠DE 的数量关系，并证明； (3)我们小学学习过三角形的内角和等于180°，若直线B 与D 相交于点，且∠＝60°，如图 4，当点E 在∠外部，且∠E＝45°，分别作射线M 平分∠BE、作射线平分∠DE，反向延长M

第5 章 相交线与平行线章末题型过关卷 【人版】 考试时间：60 分钟；满分：100 分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23 题，单选10 题，填空6 题，解答7 题，满分100 分，限时60 分钟，本卷题型 针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共10 小题，满分30 分）（2022·河北·威县第三中学七年级期末）下列选项中， 1 ∠和 2 ∠是对顶角的是 （ ） ． B． ． D． 2．（3 分）（2022·天津市东丽中学七年级期末）下列说法： ①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线； ②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④同旁内角相等，两直线平行． 正确的个数有（ ）个． ．1 B．2 ．3 D．4 三条直线所截， 一对同旁内角的比为4：5，则这两个角中较小的角的度数为（ ） ．20° B．80° ．100° D．120° 4．（3 分）（2022·浙江台州·七年级期末）直线B，D 相交于点，E 是∠BOD的角平分线， 若∠AOE=3∠BOC，则∠EOC的度数为( ) 1 ．36° B．72° ．108° D．144° 5．（3 分）（2022·河南·项城市第一初级中学

第五章 相交线与平行线压轴题考点训练 1．如图，//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3 的度数是( ) ．115° B．110° ．105° D．100° 【答】 【详解】解：过 作 ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 2．①如图1，B D，则∠＋∠E＋∠＝180°；②如图2，B D，则∠E＝∠＋∠；③如图3，B D，则∠＋∠E－∠1＝180°；④如图4，B 10．已知：如图1，直线B//D， 分别交 ， 于 ， 两点， ， 的平 分线相交于点 ． (1)求 的度数； (2)如图2， ， 的平分线相交于点 ，请写出 与 之间的等量关系， 并说明理由； (3)在图2 中作 ， 的平分线相交于点 ，作 ， 的平分线相 交于点 ，依此类推，作 ， 的平分线相交于点 ，请直接写出 的度数． 【答】(1)90°；(2)∠M1= ∠M．证明见解析；(3)( ∵B∥D，∴∠EF+∠FE=180°， ∠ ∵ EF，∠FE 的平分线相交于点M，∴∠MEF= ∠EF，∠EFM= ∠FE， ∠ ∴ MEF+∠MFE= (∠EF+∠FE)=90°，∴∠M=180°-90°=90°； (2)结论：∠M1= ∠M．理由：如图2 中，过点M1作M1∥B． ∵B∥D，M1∥B，∴M1∥D， ∠ ∵ EM，∠FM 的平分线相交于点M1， ∠ ∴ EM1= ∠EM，∠FM1= ∠FM，