第19 讲 直角三角形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 直角三角形的性质与判定 题型01 利用直角三角形的性质求解 题型02 根据已知条件判定直角三角形 题型03 与直角三角形有关的面积计算 考点二 勾股定理 题型01 利用勾股定理求线段长 题型02 利用勾股定理求面积 题型03 已知两点坐标求两点距离 题型04 判断勾股数问题 题型05 利用勾股定理解决折叠问题 利用勾股定理解决折叠问题 题型06 勾股定理与格问题 题型07 勾股定理与无理数 题型08 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型09 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型10 利用勾股定理证明线段的平方关系 题型11 勾股定理的证明方法 题型12 以弦图为背景的计算题 题型13 利用勾股定理构造图形解决问题 题型14 利用勾股定理解决实际问题 类型一 求梯子滑落高度 类型二 求旗杆高度 图形上与已知两地构成直角三角形的点 题型02 在格中判定直角三角形 题型03 利用勾股定理逆定理求解 题型04 利用勾股定理解决实际生活问题 考点要求 新课标要求 命题预测 直角三角形的 性质与判定  理解直角三角形的概念  探索并掌握直角三角形的性质定理:直 角三角形的两个锐角互余，直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半掌握有两 个角互余的三角形是直角三角形 该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考

第19 讲 直角三角形 目 录 题型01 利用直角三角形的性质求解 题型02 根据已知条件判定直角三角形 题型03 与直角三角形有关的面积计算 题型04 利用勾股定理求线段长 题型05 利用勾股定理求面积 题型06 已知两点坐标求两点距离 题型07 判断勾股数问题 题型08 勾股定理与格问题 题型09 勾股定理与无理数 题型10 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型11 勾股定理与规律探究问题 题型17 在格中判定直角三角形 题型18 利用勾股定理逆定理求解 题型19 利用勾股定理解决实际生活问题 题型01 利用直角三角形的性质求解 1．（2023·广东梅州·统考一模）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C=40°，则∠1的度数是 （ ） ．30° B．40° ．50° D．60° 【答】 【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可． 故选：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 2．（2023·广东中山·校考一模）如图，在Rt △ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，点D为边AC的中 点，BD=2，则BC的长为（ ） ．❑ √3 B．2❑ √3 ．2 D．4 【答】 【分析】根据三角形内角和定理可得∠=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出=2BD=4，再利用含30

第19 讲 直角三角形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 直角三角形的性质与判定 题型01 利用直角三角形的性质求解 题型02 根据已知条件判定直角三角形 题型03 与直角三角形有关的面积计算 考点二 勾股定理 题型01 利用勾股定理求线段长 题型02 利用勾股定理求面积 题型03 已知两点坐标求两点距离 题型04 判断勾股数问题 题型05 利用勾股定理解决折叠问题 利用勾股定理解决折叠问题 题型06 勾股定理与格问题 题型07 勾股定理与无理数 题型08 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型09 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型10 利用勾股定理证明线段的平方关系 题型11 勾股定理的证明方法 题型12 以弦图为背景的计算题 题型13 利用勾股定理构造图形解决问题 题型14 利用勾股定理解决实际问题 类型一 求梯子滑落高度 类型二 求旗杆高度 图形上与已知两地构成直角三角形的点 题型02 在格中判定直角三角形 题型03 利用勾股定理逆定理求解 题型04 利用勾股定理解决实际生活问题 考点要求 新课标要求 命题预测 直角三角形的 性质与判定  理解直角三角形的概念  探索并掌握直角三角形的性质定理:直 角三角形的两个锐角互余，直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半掌握有两 个角互余的三角形是直角三角形 该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考

第19 讲 直角三角形 目 录 题型01 利用直角三角形的性质求解 题型02 根据已知条件判定直角三角形 题型03 与直角三角形有关的面积计算 题型04 利用勾股定理求线段长 题型05 利用勾股定理求面积 题型06 已知两点坐标求两点距离 题型07 判断勾股数问题 题型08 勾股定理与格问题 题型09 勾股定理与无理数 题型10 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型11 以弦图为背景的计算题 题型14 利用勾股定理构造图形解决问题 题型15 利用勾股定理解决实际问题 题型16 勾股定理与规律探究问题 题型17 在格中判定直角三角形 题型18 利用勾股定理逆定理求解 题型19 利用勾股定理解决实际生活问题 题型01 利用直角三角形的性质求解 1．（2023·广东梅州·统考一模）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C=40°，则∠1的度数是 （ ） 到点的最大距离是（ ） ．2❑ √5 B．2❑ √2+¿2 ．2❑ √2+¿4 D．2❑ √3+¿4 题型02 根据已知条件判定直角三角形 5．（2022·重庆·重庆市松树桥中学校校考模拟预测）已知△ABC的三条边分别是a、b、c，则下列条件 中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ） ．a:b:c=3:4:5 B．∠C=∠A+∠B ．∠A :∠B:∠C=1:5:6 D．∠A :∠B:∠C=3:4:5

13 因动点产生的直角三角形问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年黑龙江省龙东地区中考第28 题 如图1，在平面直角坐标系中，菱形B 的边在x 轴上，∠＝60°，的长是一元二次方程 x2－4x－12＝0 的根，过点作x 轴的垂线，交对角线B 于点D，直线D 分别交x 轴和y 轴于 点F 和点E，动点M 从点以每秒1 个单位长度的速度沿D 轴交于点，B＝4，抛物线的对 称轴x＝3 与经过点的直线y＝kx－1 交于点D，与x 轴交于点E． （1）求直线D 及抛物线的表达式； （2）在抛物线上是否存在点M，使得△DM 是以D 为直角边的直角三角形？若存在， 求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）以点B 为圆心，画半径为2 的圆，点P 为⊙B 上一个动点，请求出 的 最小值． 图1 轴，与抛物线L1交于、B 两点（B 在右侧）．将 抛物线L1沿直线l 翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y 轴于点，顶点为D． （1）当m＝1 时，求点D 的坐标； （2）连结B、D、DB，若△BD 为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式； （3）在（2）的条件下，若△BD 的面积为3，E、F 两点分别在边B、D 上运动，且EF ＝D，以EF 为一边作正方形EFG，连结G，写出G 长度的最小值，并简要说明理由．

反比例函数中的直角三角形问题 1、如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于、B 两点，过点作垂直x 轴于点，连 结B．若△B 的面积为2． （1）求k 的值； （2）x 轴上是否存在一点D，使△BD 为直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y= （m≠0）的图象交于、 B 两点，与x 两点，与x 轴交于点，点的坐标为（，6），点的坐标为（-2，0），且t =2 ∠ ． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点B 的坐标； （3）在x 轴上求点E，使△E 为直角三角形．（直接写出点E 的坐标） 【答】（1）y= ，y=2x+4；（2）B（-3，-2）；（3）E1（1，0），E2（13，0） 3、如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝ （≠0）的图象在第一象限交于，B （≠0）的图象在第一象限交于，B 两点，点的坐标 为（m，6），B 点的坐标为（2，3），连接，过B 作B⊥y 轴，垂足为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）在射线B 上是否存在一点D，使得△D 是直角三角形，求出所有可能的D 点坐标． 解：（1）∵点B（2，3）在反比例函数y＝ 的图象上， ∴＝3×2＝6， ∴反比例函数的表达式为y＝ ， ∵点的纵坐标为6， ∵点在反比例函数y＝ 图象上，

直角三角形存在性问题 一、方法突破 【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴 上找一点使得△B 是直角三角形，求点坐标． y x O A B 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠为直角，过点作B 的垂线，与x 轴的交点即为所求点； （2）若∠B 为直角，过点B 作B 的垂线，与x 轴的交点即为所求点； （3）若∠为直角，以B 为直径作圆，与x 、 两点，求直线 和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴 上找一点 ，使点 到点 的距离与到点 的距离之和最 小，求出点 的坐标； （3）设点 为抛物线的对称轴 上的一个动点，求使 为直角三角形的点 坐标． -1 A B C O x y 【分析】 （1）直线B： 抛物线： ； （2）将军饮马问题，考虑到M 点在对称轴上，且点关于对称轴的对称点为点B，故 M+M=MB+M，∴当B、M、三点共线时，M ，连接 ，设运动的时间为秒． （1）求二次函数 的表达式； （2）在直线 上存在一点 ，当 是以 为直角的等腰直角三角形时，求此 时点 的坐标． A B C D O M N x y 【分析】 （1） ； （2）本题直角顶点P 并不确定，以B 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P 点，再 过点P 作水平线，得三垂直全等． 设P=，PQ=b，则BQ=，=b， 由图可知：

动点引起的等腰直角三角形存在性问题 BP △ 为等腰直角三角形，黑色部分为P 点位置 【一题多解 · 典例剖析】 例题1．（2021·湖南衡阳市中考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相 等，则称该点为“雁点”．例如 ……都是“雁点”． （1）求函数 图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线 上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x 轴交于M、两点 （点M 在点的左侧）．当 时． 在y=x2+5x+ 中，当y=0 时， 得：x=－ ，x=－ 即M 点坐标为（－ ，0），点坐标为（－ ，0） 过E 点向x 轴作垂线，垂足为点， E= ，M= E=M ∴ 即△EM 为等腰直角三角形，∠EM=45° （3）存在，理由如下： ①如图所示：过P 作直线l 垂直于x 轴于点k，过作⊥PK 于点 方法一 设（m，m），P（x，y） ∵ △PB 为等腰三角形， ∴P=PB，∠PB=90°， 在第二象限时，如图所示 过点Q 作QL⊥x 轴于点L，过点作K⊥QL，交其延长线于点K， ∴KQ= QLR= L=90° ∠ ∠ ∠ ， ∴四边形LK 是矩形， ∴K=L， ∵QR 为等腰直角三角形， ∴Q=QR，∠QR=90°， ∴KQ= LQR ∠ ∠ KQ LQR ∴△ ≌△ RL=QK ∴ ，QL=K， 设R（m，0），Q（x，y） 则m－x=8－y －x=y 即－x=－x2+2x+8，解得：x=

固定边的直角三角形与二次函数问题 1、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板B 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点为 (－1， 0)．如图17 所示，B 点在抛物线 2 1 1 2 2 2 y x x    图象上，过点B 作BD⊥x 轴，垂足为D，且B 点横坐标 为－3． （1）求证：△BD≌△； （2）求B 所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△P P 是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答】（1）见解析；（2） 1 1 2 2 y x   （3）存在，P1（ 1 2  ， 1 4  ）、P2（ 1 2  ， 9 4 ） 【解析】 解：（1）证明：∵∠BD＋∠＝90°，∠＋∠＝90°， BD ∴∠ ＝∠。 B ∵△ 为等腰直角三角形 ，∴B＝。 在△BD 9 4 ）。 2．抛物线的顶点为（1，﹣4），与x 轴交于、B 两点，与y 轴负半轴交于（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 为对称轴右侧抛物线上一点，以BP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M 落在对称轴上，求P 点的坐标． 【答】（1）y＝x2 2x 3 ﹣ ﹣；（2）点P 的坐标为（2，﹣3）或（4，5）． 【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y＝（x 1 ﹣）2

专题22 解直角三角形模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际 问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注 意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造 直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 图1 图2 图3 【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高D，构造出两个直角三角形求解，其中公共 边（高）D 是解题的关键 【重要关系】如图1，D 为公共边，D+BD=B； 如图2，E=D，D=E，E+BD=B； 如图3，D=EF，E=DF，D+E+BF=B。 例1．（2023 的高度． 【详解】解：由题意可知， ， ， ， ， ， 米， 在 中， 米， 米，答：该建筑物B 的高度约为 米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角 函数，熟练掌握直角三角形的特征关键． 例2．（2023 湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们 在高空测量距离和高度．圆圆要测量学楼