29 二次函数与直角三角形存在性问题

直角三角形存在性问题 一、方法突破 【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴 上找一点使得△B 是直角三角形，求点坐标． y x O A B 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠为直角，过点作B 的垂线，与x 轴的交点即为所求点； （2）若∠B 为直角，过点B 作B 的垂线，与x 轴的交点即为所求点； （3）若∠为直角，以B 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点．（直径所对的圆周角为直 角） C4 C3 C2 C1 y x O A B 重点还是如何求得点坐标， 求法相同，以 为例： 【构造三垂直】 故C2坐标为（ 13 2 ，0） 代入得：BN= 3 2 AM BN = MB NC2 由A、B坐标得AM=2，BM=4，NC2=3 △ 易证AMB∽△BNC2 M N B A O x y C2 求法相同，以 为例： 故a=1或3 设MC3=a，C3N=b △ 易证AMC3∽△C3NB， 由A、B坐标得AM=1，BN=3， AM C3N = MC3 NB 代入得： 1 b = a 3 ，即ab=3，又a+b=4， 故C3坐标为（2,0），C4坐标为（4,0） M N B A O x y C3 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似． 【代数法】表示线段构勾股 还剩下 待求，不妨来求下 ： B A O x y C1 （1）表示点：设 坐标为（m，0），又（1，1）、B（5，3）； （2）表示线段： ， ， ； （3）分类讨论：当 为直角时， ； （4）代入得方程： ，解得： ． 二、典例精析 例一：如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ，且抛物线与 轴 交于 、 两点，与 轴交于 点，其中 ， ． （1）若直线 经过 、 两点，求直线 和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴 上找一点 ，使点 到点 的距离与到点 的距离之和最 小，求出点 的坐标； （3）设点 为抛物线的对称轴 上的一个动点，求使 为直角三角形的点 坐标． -1 A B C O x y 【分析】 （1）直线B： 抛物线： ； （2）将军饮马问题，考虑到M 点在对称轴上，且点关于对称轴的对称点为点B，故 M+M=MB+M，∴当B、M、三点共线时，M 到和的距离之后最小，此时M 点坐标为 （-1，2）； （3）两圆一线作点 P： P4 P3 P2 P1 -1 A B C O x y 以 为例，构造△PB∽△BM，考虑到BM=M=3， ∴B=P=2，故 点坐标为（-1，-2）． M N P1 y x O C B A -1 易求 坐标为（1,4）． y x O C B A -1 P2 、 求法类似，下求 ： 已知P=1，PM=2，设=，BM=b， 由相似得： ，即b=2，由图可知：b-=3， 故可解： ， （舍），对应 坐标为 ． M N N M P4 -1 A B C O x y y x O C B A -1 P3 类似可求 坐标为 ． 例二：通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】 如图，在Rt△B，∠B=90°，将斜边B 绕点顺时针旋转 得到D，过点D 作DE⊥于点 ， 可以推理得到△B≌△DE，进而得到=DE，B=E． 我们把这个数学模型成为“K 型”． 推理过程如下： A B C D E 3 2 1 AC=DE，BC=AE △ABC≌△DAE（AAS） BCA=AED=90° AB=AD 1=2 3+1=90° 2+3=90° ACB=90°，DEAC ACB=90° BAD=90° 斜边AB绕点A顺时针旋转90°，得到AD 【模型迁移】 二次函数 的图像交 轴于点（-1,0），B（4,0）两点，交 轴于点 ．动点 从点 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿 方向运动，过点 作 轴交直线 于点 ，交抛物线于点 ，连接 ，设运动的时间为秒． （1）求二次函数 的表达式； （2）在直线 上存在一点 ，当 是以 为直角的等腰直角三角形时，求此 时点 的坐标． A B C D O M N x y 【分析】 （1） ； （2）本题直角顶点P 并不确定，以B 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P 点，再 过点P 作水平线，得三垂直全等． 设P=，PQ=b，则BQ=，=b， 由图可知： ，解得： ． 故D 点坐标为（1,3）． H Q P y x N M O D C B A 同理可求此时D 点坐标为（3,2）． y x N M O D C B A H Q P 思路2：等腰直角的一半还是等腰直角． 如图，取B 中点M 点，以BM 为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P 点．根 据B 点和M 点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1 和2，故P 点坐标易求． P 点横坐标同D 点，故可求得D 点坐标． A B C O x y M P P M y x O C B A 还有个需要用到一个材上并没有出现但是大家都知道的算法： 互相垂直的两直线斜率之积为-1． 考虑到直线 与B 互相垂直， ，可得： ， 又直线 过点（1,1），可得解析式为：y=-2x+3， 所以与x 轴交点坐标为 ，即 坐标为 ． 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的材上~ 【小结】 几何法：（1）“两线一圆”作出点； （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数． 代数法：（1）表示点、B、坐标； （2）表示线段B、、B； （3）分类讨论①B²+²=B²、②B²+B²=²、③²+B²=B²； （4）代入列方程，求解． 三、中考真题对决 1（2018·怀化中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线 的解析式； （2）请在 轴上找一点 ，使 的周长最小，求出点 的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点 ，使以点 ， ， 为顶点， 为直角边的三 角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理 由． O y x D C B A 【分析】 （1）抛物线： ，直线：y=3x+3； （2）看图，M 点坐标为（0,3）与点重合了． B' A B C D M x y O （3）考虑到为直角边，故分别过、作的垂线，与抛物线交点即为所求P 点， 有如下两种情况， P N M M N A B C D x y O O y x D C B A P 先求过点所作垂线得到的点P： 设P 点坐标为 ， 则PM=m+1，M= ， 易证△PM∽△，且=3，=1， ∴ ，解得： ， （舍）， 故第1 个P 点坐标为 ； 再求过点所作垂线得到的点P： ，=m， ，解得： ， （舍）， 故第2 个P 点坐标为 ． 综上所述，P 点坐标为 或 ． 2．（2021•巴中）已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交 于点 ． （1）求抛物线的表达式； （2）点 在直线 下方的抛物线上，连接 交 于点 ，当 最大时，求点 的 坐标及 的最大值； （3）在（2）的条件下，过点 作 轴的垂线，在上是否存在点 ，使 是直角三 角形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）将点 、 、 代入 ， 得 ， 解得 ， ； （2）如图1，过点 作 轴交直线 于点 ，过 作 轴交直线 于点 ， ， ， 设直线 的解析式为 ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， 当 时， 有最大值 ， ； （3） ， 点在上， 如图2，当 时， 过点 作 轴，过点 作 轴， 与 交于点 ，过点 作 轴， 与 交于点 ， ， ， ， ， ，即 ， ， ； 如图3，当 时， 过点 作 轴交于点 ， ， ， ， ， ，即 ， ， ； 如图4，当 时， 线段 的中点 ， ， 设 ， ， ， 或 ， 或 ； 综上所述： 是直角三角形时， 点坐标为 或 或 或 ． 3．（2021•毕节市）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于 点 ，对称轴为直线 ，顶点为 ，点 的坐标为 ． （1）填空：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，抛物线的解析式为 ； （3） 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点 ，使 是以 为斜边的直角三角形？ 若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1） 对称轴为直线 ， ， ， 点 是抛物线与 轴的交点， ， ， ， 令 ， ， 或 ， ， 是抛物线的顶点， ， 故答为 ， ， ； （3）存在，理由如下： ， ， ， 的中点为 ， ， 设 ， 是以 为斜边的直角三角形， ， ， 或 ， 或 ， 使 是以 为斜边的直角三角形时， 点坐标为 或 ． 4（2019·鄂尔多斯中考）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，直线 与该抛物线交于 ， 两点． （1）求抛物线的解析式． （2） 是直线 下方抛物线上的一个动点，作 于点 ，求 的最大值． （3）以点 为圆心，1 为半径作圆， 上是否存在点 ，使得 是以 为直角 边的直角三角形？若存在，直接写出 点坐标；若不存在，说明理由． y x O C B A H A B C E F O x y P 【分析】 （1） ； （2）过点P 作x 轴的垂线交EF 于点Q，所谓P 最大，即PQ 最大，易解． Q P y x O F E C B A H （3）M 为直角边，故点可能为直角顶点，点M 也可能为直角顶点． ①当 为直角时，如图： 放大 E F E y O x C B M2 M1 B C x O y A B C O x y ：不难求得F=1，BF=2， ∴ ，又 ， 可得： ， ． 故 坐标为 ； 同理可求 坐标为 ． ②当∠BM 为直角时，如图： M4 M3 F y O x C B B C x O y E 放大 y x O C B A ：不难发现M=1，B= ，∴ ， 即△ME∽△BFM，且相似比为1：2， 设E=，EM=b，则FM=2，BF=2b， 由图可知： ，解得： ． 故点 的坐标为 ． 至于 坐标，显然 ． 综上所述，M 点坐标为 或 或 或 ． 5【2019 阜新中考】 如图，抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ． （1）求这个抛物线的函数表达式． （2）点 的坐标为 ，点 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形 面 积的最大值． （3）点 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点 ，使 为等腰直角 三角形，且 为直角？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理 由． y x O C B A 备用图 A B C D O P x y 【分析】 （1） ； （2）连接，将四边形面积拆为△P 和△D 面积，考虑△D 面积为定值，故只需△P 面积最大即 可，铅垂法可解； （3）过点作E⊥x 轴交x 轴于E 点， 如图1，过点M 向E 作垂线交E 延长线于F 点， 易证△E≌△FM，可得：E=FM． 设点坐标为 ，则 ， ， ∴ ，解得： （图1）， （图4） 对应点坐标分别为 、 ； ，解得： （图2）、 （图3） 对应点坐标分别为 、 ． E F E F E F E F 图4 图3 图2 图1 N M N M N M M N A B C O x y A B C O x y A B C O x y y x O C B A