第19讲 直角三角形（练习）（原卷版）

第19 讲 直角三角形 目 录 题型01 利用直角三角形的性质求解 题型02 根据已知条件判定直角三角形 题型03 与直角三角形有关的面积计算 题型04 利用勾股定理求线段长 题型05 利用勾股定理求面积 题型06 已知两点坐标求两点距离 题型07 判断勾股数问题 题型08 勾股定理与格问题 题型09 勾股定理与无理数 题型10 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型11 利用勾股定理证明线段的平方关系 题型12 勾股定理的证明方法 题型13 以弦图为背景的计算题 题型14 利用勾股定理构造图形解决问题 题型15 利用勾股定理解决实际问题 题型16 勾股定理与规律探究问题 题型17 在格中判定直角三角形 题型18 利用勾股定理逆定理求解 题型19 利用勾股定理解决实际生活问题 题型01 利用直角三角形的性质求解 1．（2023·广东梅州·统考一模）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C=40°，则∠1的度数是 （ ） ．30° B．40° ．50° D．60° 2．（2023·广东中山·校考一模）如图，在Rt △ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，点D为边AC的中 点，BD=2，则BC的长为（ ） ．❑ √3 B．2❑ √3 ．2 D．4 3．（2021·河南信阳·统考一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC 、BD相交于点O , H为BC中点， AC=6,BD=8．则线段OH的长为：（ ） ．12 5 B．5 2 ．3 D．5 4．（2022·广东广州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形BD 的顶点，B 分别在y 轴的正半轴和x 轴的正半轴上，当B 在x 轴的正半轴上运动时，随之在y 轴的正半轴上运动，矩形BD 的形状保持不变．若 ∠B＝30°时，点的纵坐标为2❑ √3，点的纵坐标为1，则点D 到点的最大距离是（ ） ．2❑ √5 B．2❑ √2+¿2 ．2❑ √2+¿4 D．2❑ √3+¿4 题型02 根据已知条件判定直角三角形 5．（2022·重庆·重庆市松树桥中学校校考模拟预测）已知△ABC的三条边分别是a、b、c，则下列条件 中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ） ．a:b:c=3:4:5 B．∠C=∠A+∠B ．∠A :∠B:∠C=1:5:6 D．∠A :∠B:∠C=3:4:5 6．（2022·云南昆明·统考二模）已知实数x，y，z 满足( x−5) 2+❑ √y−12+¿ z−13∨¿0，则以x，y，z 的 值为边长的三角形是（ ） ．锐角三角形 B．直角三角形 ．钝角三角形 D．无法判断 7．（2022·安徽合肥·合肥38 中校考一模）已知△B 的三边长分别为，b，，选择下列条件中的一个，能判 断△B 是直角三角形的是（ ） ∠ ① ＝∠B﹣∠；②2＝（b+）（b﹣）；③∠：∠B：∠＝3：4：5；④：b：＝3：4：5 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 题型03 与直角三角形有关的面积计算 8．（2023·广东佛山·统考二模）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4，以点A为圆 心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ） ．8 ❑ √3−4 π B．8 ❑ √3−2π ．16 ❑ √3−8 π D．16 ❑ √3−4 π 9．（2023·山东泰安·统考一模）如图，Rt △ABC中，∠A=30° ,∠ABC=90°，将Rt △ABC绕点B 逆时针方向旋转得到△A ' BC '．此时恰好点在A 'C '上，A ' B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之 比为（ ） ．1 3 B．9 16 ．2 3 D．3 4 10．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在 Rt △ABC 中， ∠B=90 ∘ ， ∠C=30 ∘ ，以点 A 为圆心， 任意长为半径作弧，分别交边 AB ， AC 于点 P ， Q ；再分别以点 P ， Q 为圆心，以大于 1 2 PQ 的长 为半径作弧，两弧交于点 E ，作射线 AE 交 BC 于点 F 设 △ABF ， △ABC 的面积分别为 S1 ， S2 ， 则 S1 S2 的值为（ ） ．1 2 B．1 3 ．1 ❑ √3 D．1 4 11．（2022·浙江金华·统考一模）把一副三角尺如图所示拼在一起，其中边长是2❑ √6，则△D 的面积是 （ ） ．4 ❑ √2 B．6 ．4 ❑ √3 D．6 ❑ √2 题型04 利用勾股定理求线段长 12．（2021·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示， 若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为（ ） ．8cm B．10cm ．16cm D．20cm 13．（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sin A=3 5 ，则AB 的长是（ ） ．500 3 B．503 5 ．60 D．80 14．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图1 是第七届国际数学育大会（ICME）的会徽，在其主体图中选择 两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2 所示的四边形OABC．若OC=❑ √5，BC=1， ∠AOB=30°，则OA的值为（ ） ．❑ √3 B．3 2 ．❑ √2 D．1 题型05 利用勾股定理求面积 15．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）若直角三角形的两边长分别是方程 x 2−7 x+12=0的两根，则该直角三角形的面积是（ ） ．6 B．12 ．12 或3 ❑ √7 2 D．6 或3 ❑ √7 2 16．（2023·河南南阳·统考三模）如图，在正方形ABCD中，AB=4 cm，在等腰直角三角形EFG中， ∠FEG=90°，EF=10cm．边BC与FG在同一直线上．CF=8cm．若正方形ABCD以2cm/s的速度 沿直线向右运动，经过 s，此三角形和正方形重叠部分的面积是4 cm 2． 17．（2023·广东潮州·统考模拟预测）如图，△BED是等腰直角三角形，AC经过点E，过点B 作 BA ⊥AC，过点D 作DC ∥BA，若AC=10，CD=8，求△BDE的面积． 题型06 已知两点坐标求两点距离 18．（2022·广东中山·校联考一模）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）到原点的距离是 ． 19．（2022·宁夏银川·银川市第三中学校考模拟预测）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平 面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1 P2= ❑ √( x1−x2) 2+( y1−y2) 2，同时，当两点所 在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． (1)已知（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求、B 两点间的距离； (2)已知、B 在平行于y 轴的直线上，点的纵坐标为4，点B 的纵坐标为﹣1，试求、B 两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说 明理由． 题型07 判断勾股数问题 20．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股 修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜 边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25 ；…，这类勾股数的特点是： 勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2 的一类勾股数，如： 6，8，10；8，15，17； …，若此类勾股数的勾为10 ，则其弦是 ． 21．（2022·河北石家庄·校联考三模）已知：整式A=n 2+1，B=2n，C=n 2−1，整式C>0． (1)当n=1999时，写出整式A+B的值______（用科学记数法表示结果）； (2)求整式A 2−B 2； (3)嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由． 22．（2019·安徽马鞍山·校联考二模）若正整数，b，（＜b＜）满足2+b2＝2，则称（，b，）为一组“勾股 数”． 观察下列两类“勾股数”： 第一类（是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；… 第二类（是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；… （1）请再写出两组勾股数，每类各写一组； （2）分别就为奇数、偶数两种情形，用表示b 和，并选择其中一种情形证明（，b，）是“勾股数”． 题型08 勾股定理与格问题 23．（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，在4×5的正方形格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）． ．3 ❑ √5 5 B． ❑ √17 5 ．3 5 D．4 5 24．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在9×5 的格中，每个小正方形的边长均为1，点， B，都在格点上，若BD 是∠B 的平分线，则BD 的长为（ ） ． ❑ √10 2 B．❑ √10 ．3 ❑ √10 2 D．3 ❑ √10 题型09 勾股定理与无理数 25．（2020·河南·模拟预测）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴， 原点为，在数轴上找到表示数2 的点，然后过点作B⊥，使B=3(如图)．以为圆心，B 的长为半径作弧，交 数轴正半轴于点P，则点P 所表示的数介于( ) ．1 和2 之间 B．2 和3 之间 ．3 和4 之间 D．4 和5 之间 26．（2022·广东佛山·西南中学校考三模）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自 乘，并而开方除之，即弦”．即c= ❑ √a 2+b 2 （为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则 “弦”最接近的整数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 27．（2019·浙江杭州·模拟预测）如图所示，数轴上点A表示的数是−1，O是原点，以AO为边作正方形 AOBC，以A为圆心、AB长为画弧交数轴于P1、P2两点，则点P1表示的数是 ，点P2表示的数是 （结果精确到01，参考数据：❑ √2≈1.41,❑ √3≈1.73）． 题型10 以直角三角形三边为边长的图形面积 28．（2020·浙江·一模）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三 个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB , AC，灰色部分面积记为S1，黑色部分面积 记为S2，白色部分面积记为S3，则（ ） ．S1=S2 B．S2=S3 ．S1=S3 D．S1=S2−¿❑S3¿ 29．（2019·内蒙古鄂尔多斯·校联考一模）如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半 圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有( ) ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 30．（2021·江苏无锡·校考二模）如图，Rt△B 中，∠B=90°，=8，B=6，分别以B、、B 为边在B 的同侧作 正方形BDE、FG、B，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于 ． 31．（2020·新疆·统考二模）图中是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形若最大的正方形E的边长为3,则正方形A 、B 、C 、D的面积之和为 ． 题型11 利用勾股定理证明线段的平方关系 32．（2021·广东深圳·明德学校校考一模）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示 的“垂美”四边形ABCD，对角线AC 、BD交于点O．若AD=2，BC=4，则A B 2+C D 2=¿ ． 33．（2022·山东济南·统考二模）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？ 请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：A B 2+C D 2与 A D 2+BC 2有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以Rt △ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形 ABDE，连结CE，BG，¿．已知AC=4，AB=5，求¿的长． 34．（2022·河北廊坊·统考模拟预测）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形， ∠AOB=∠MON=90°． (1)如图1，连接AM，BN，求证：△AOM ≌△BON： (2)如图2，将△MON绕点顺时针旋转，当点恰好在AB边上时，求证：B N 2+ A N 2=M N 2． 35．（2022·北京石景山·统考二模）在△ABC中，∠ACB=90° ,CA=CB，D 是AB的中点，E 为边AC 上一动点（不与点，重合），连接DE，将线段BA绕点B 逆时针旋转90°得到线段BF，过点F 作 FH ⊥DE于点，交射线BC于点G． (1)如图1，当AE<EC时，比较∠ADE与∠BFG的大小；用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证明； (2)如图2，当AE>EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE ,CG , AC之间的数量关系． 题型12 勾股定理的证明方法 36．（2023·北京大兴·统考一模）下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种， 完成证明． 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 已知：如图，直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c． 求证：a 2+b 2=c 2． 方法一 如图，大正方形的边长为(a+b)，小正方形的边长为 c． 方法二 如图，大正方形的边长为c，小正方形的边长为 (b−a)． 证明 证明 37．（2022·四川攀枝花·统考模拟预测）如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形， 直角三角形B 中，∠B＝90°，B＝，＝b，B＝，正方形EF 中，E＝E＝F＝F＝x （1）小明发明了求正方形边长的方法： 由题意可得BD＝BE＝﹣x，D＝F＝b﹣x 因为B＝BD+D，所以﹣x+b﹣x＝，解得x＝a+b−c 2 （2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法： 利用S△B＝S△B+S△+S△B 可以得到x 与、b、的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程： （3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理． 38．（2019·安徽滁州·校考二模）【思考题】 阅读下面的情景对话，然后解答问题： 老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2 倍的三角形叫做奇异三角形． 小华：等边三角形一定是奇异三角形； 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？ （1）①根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，请判断小红提 出的命题是否正确，并填空：命题 （填“正确”或“不正确”），不要说嘛理由． ②若某三角形的三边长分别是2、4、❑ √10，则△B 是奇异三角形吗？ （填“是”或“不是”），不要说 嘛理由． （2）在Rt△B 中，两边长分别是=5❑ √2、=10，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由． （3）在Rt△B 中，∠=90°，B=，=b，B=，且b＞，若Rt△B 是奇异三角形，求：b：的值． 题型13 以弦图为背景的计算题 39．（2020·浙江杭州·模拟预测）勾股定理相传在商代由商高发现，故又称“商高定理”．如图1，以直角 三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2 的方式放置在最大的正方形 内，三块阴影区域面积分别记为S1,S2,S3，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形PQMNHG）的面积 记为S4，则S1,S2,S3,S4的关系为（ ） ．S1+S2=S3+S4 B．S1+S3=S2+S4 ．S1+S2+S3=S4 D．S1+S2+S3<S4 40．（2022·重庆沙坪坝·统考一模）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形 拼出正方形BD 的方法证明了勾股定理（如图）．连结E，若CE=5，BE=4，则正方形BD 的边长为 ． 41．（2021·上海杨浦·统考三模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称 其为“赵爽弦图”（如图1）．图2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正 方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，如果S1+S2+S3=48，那么S2的 值是 ． 题型14 利用勾股定理构造图形解决问题 42．（2019·广西·统考三模）如图所示，圆柱的高B=3，底面直径B=3，现在有一只蚂蚁想要从处沿圆柱表 面爬到对角处捕食，则它爬行的最短距离是（ ） ．3 ❑ √1+π B．3 ❑ √2 ．3 ❑ √4+π 2 2 D．3 ❑ √1+π 2 43．（2019·山东枣庄·中考模拟）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分 割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾 股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若=3，b=4，则该矩形的面积为（ ） ．20 B．24 ．99 4 D．53 2 44．（2021·四川泸州·统考一模）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成 一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定 理，如图所示的就用了这种分割方法，若E=3，BF=2，则正方形DEF 的边长等于( ) ．3 2 B．1 ．4 5 D．3 4 45．（2021·江苏扬州·统考一模）如图，王老师将汽车停放放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高AB为 16dm，汽车轮胎的直径为80dm，请你计算直角顶点到轮胎与底面接触点BC长为（ ）． ．35dm B．32dm ．30dm D．33dm 题型15 利用勾股定理解决实际问题 46．（2022·江苏南通·统考一模）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方 一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水 面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一 边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设