第19讲 直角三角形（讲义）（原卷版）

第19 讲 直角三角形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 直角三角形的性质与判定 题型01 利用直角三角形的性质求解 题型02 根据已知条件判定直角三角形 题型03 与直角三角形有关的面积计算 考点二 勾股定理 题型01 利用勾股定理求线段长 题型02 利用勾股定理求面积 题型03 已知两点坐标求两点距离 题型04 判断勾股数问题 题型05 利用勾股定理解决折叠问题 题型06 勾股定理与格问题 题型07 勾股定理与无理数 题型08 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型09 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型10 利用勾股定理证明线段的平方关系 题型11 勾股定理的证明方法 题型12 以弦图为背景的计算题 题型13 利用勾股定理构造图形解决问题 题型14 利用勾股定理解决实际问题 类型一 求梯子滑落高度 类型二 求旗杆高度 类型三 大树折断前高度 类型四 解决水杯中的筷子问题 类型五 选址到两地距离相等 类型六 最短路径 类型七 航海问题 题型15 勾股定理与规律探究问题 考点三 勾股定理逆定理 题型01 图形上与已知两地构成直角三角形的点 题型02 在格中判定直角三角形 题型03 利用勾股定理逆定理求解 题型04 利用勾股定理解决实际生活问题 考点要求 新课标要求 命题预测 直角三角形的 性质与判定  理解直角三角形的概念  探索并掌握直角三角形的性质定理:直 角三角形的两个锐角互余，直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半掌握有两 个角互余的三角形是直角三角形 该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考 点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形 的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实 际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是 考察的重点出题类型可以是选择填空题这类小题， 也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中， 作为问题的几何背景进行拓展延伸结合以上考察形 式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直 角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三 角形常考的考察方向 勾股定理  探索勾股定理及其逆定理，并能运用它 们解决一些简单的实际问题 勾股定理逆定 理 考点一 直角三角形的性质与判定 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，b，有关系2+b2=2，那么这个三角形是直角三角形。 面积公式：S=1 2 ab=1 2 cm (其中：为斜边上的高，m 为斜边长) a b m c 题型01 利用直角三角形的性质求解 【例1】（2023·山东聊城·统考二模）如图，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠2=68°，那么∠1的度数是（ ） ．68° B．58° ．22° D．32° 【变式1-1】（2023·广东揭阳·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分 ∠ABC，P点是BD的中点，若CP=4，则AD的长为（ ） ．7 B．8 ．9 D．10 【变式1-2】（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建 筑屋檐下（如图 ），如图 ，是六角形风铎的平面示意图，其底部可抽象为正六边形 ① ② ABCDEF，连接 AC，CF，则∠ACF的度数为 °． 【变式1-3】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在Rt △ABC中，∠BAC=90°，AB=6，CD是 △ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 ． 题型02 根据已知条件判定直角三角形 【例2】（2023·福建漳州·统考一模）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A :∠B:∠C=1:5:6， ③∠A=90°−∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式2-1】（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）下列条件中不能判断△ABC是直角三 角形的是（ ） ．A B 2+BC 2=A C 2 B．A B 2−BC 2=A C 2 ．∠A+∠B=∠C D． ∠A :∠B:∠C=3:4:5 【变式2-2】（2020·浙江绍兴·模拟预测）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） ．a=5,b=12,c=13 B．∠A :∠B:∠C=3:4:5 ．∠A=∠B−∠C D．a=1,b=2,c=❑ √5 【变式2-3】（2022·河北保定·统考一模）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ） ．3，4，4 B．3，4，5 ．3，4，6 D．3，4，7 题型03 与直角三角形有关的面积计算 【例3】（2023·广西南宁·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点P 在反比例函数y= k x (x>0)的图象 上，点，B 在x 轴上，且PA ⊥PB，垂足为P，P 交y 轴于点，AO=BO=BP，△ABP的面积是2．则k 的值是（ ） ．1 B．3 2 ．❑ √3 D．2 【变式3-1】（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）如图，将两个全等的正方形ABCD与APQR重叠放置， 若∠BAP=30°，AB=6 ❑ √3，则图中阴影部分的面积是（ ） ．48 B．54 ．81−18 ❑ √3 D．108−36 ❑ √3 【变式3-2】（2023·云南曲靖·统考二模）如图，在▱ABCD中，AD⊥BD ,∠A=30° ,BD=3，则 ▱ABCD的面积等于 ． 【变式3-3】（2023·河北唐山·统考模拟预测）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若重叠部分的面积是 12cm 2，则AB的长是 cm． 考点二 勾股定理 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a 2+b 2=c 2 变式：a 2=c 2−b 2，b 2=c 2−a 2，c= ❑ √a 2+b 2,a= ❑ √c 2−b 2,b= ❑ √c 2−b 2 勾股定理的证明方法（常见）： 方法一（图一）：4 S Δ+S正方形EFGH=S正方形ABCD，4× 1 2 ab+(b−a) 2=c 2，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4× 1 2 ab+c 2=2ab+c 2 大正方形面积为S=(a+b) 2=a 2+2ab+b 2，所以a 2+b 2=c 2 方法三（图三）：S梯形=1 2 (a+b)⋅(a+b)，S梯形=2SΔ ADE+SΔ ABE=2⋅1 2 ab+ 1 2 c 2，化简得证a 2+b 2=c 2 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 图一 图二 图三 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a 2+b 2=c 2中，a，b，c为正整 数时，称a，b，c为一组勾股数 常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数，b，； 2）确定最大的数； 3）计算较小的两个数的平方a 2+b 2是否等于c 2 1 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股 定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 2 如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求 解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3 应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆2+b2=2时，斜边只能是．若b 为斜边，则关系式 是2+2=b2；若为斜边，则关系式是b2+2=2． 4 每组勾股数的相同整数倍也是勾股数 题型01 利用勾股定理求线段长 【例1】（2023·广东云浮·统考一模）如图，AB切⊙O于，点D 从出发，以每秒1cm的速度沿CB方向运 动，运动1 秒时OD=2cm，运动2 秒时OD长是（ ） ．❑ √5cm B．❑ √6cm ．❑ √7cm D．2❑ √2cm 【变式1-1】（2023·浙江·模拟预测）若直角三角形的三边的长是连续的正整数，则这样的直角三角形的个 数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式1-2】（2023·安徽·统考模拟预测）在△ABC中，AB=2，AC=2❑ √3，∠C=30°，则线段BC的 长为（ ） ．4 B．2❑ √2 ．4或2❑ √2 D．2或4 题型02 利用勾股定理求面积 【例2】（2023·河北石家庄·统考三模）若一个正三角形和一个正六边形的面积相等，则正三角形与正六边 形的边长比为（ ） ．❑ √6:1 B．1:❑ √6 ．❑ √3:1 D．2：1 【变式2-1】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与y 轴相切于点，与x 轴 相交于，B 两点，假设点P 的坐标为（5，3），点M 是⊙P 上的一动点，那么△ABM面积的最大值为（ ） ．64 B．48 ．32 D．24 【变式2-2】（2023·贵州遵义·统考三模）如图，大等边三角形中有个全等的等边三角形，若大等边三角形 的面积为S1，个小等边三角形的面积的和为S2，则S1与S2之间的关系为（ ） ．S1=n 2S2 B．S1=n S2 ．S1=4 ❑ √3n S2 D．S1=2n S2 【变式2-3】（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=BC=AC，D 是 BC的中点，DE⊥AB于点E，则△BDE的面积与△ABC的面积之比为（ ） ．1:8 B．1:4 ．1:2 D．2:5 题型03 已知两点坐标求两点距离 【例3】（2023·天津南开·统考一模）如图，矩形OABC的顶点B 的坐标为(2,3)，则AC长为（ ） ．❑ √13 B．❑ √7 ．❑ √5 D．4 【变式3-1】（2023·广东梅州·统考一模）已知抛物线y= 1 4 x 2与一次函数y=2 x+6交于A ，B两点，则 线段AB的长度为（ ） ．20 ❑ √2 B．20 ❑ √3 ．40 ❑ √3 D．20 【变式3-2】（2023·河北保定·统考二模）在平面直角坐标系中，点A (1,2),B (−3,b)，当线段AB最短时， b的值为（ ） ．2 B．3 ．4 D．0 【变式3-3】（2023·天津河西·天津市新华中学校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的 顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是(3,4 )，则点B的坐标为（ ） ．(5,4 ) B．(5,3) ．(8,3) D．(8,4 ) 题型04 判断勾股数问题 【例4】（2023·四川泸州·统考二模）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前 1世纪．《周髀算经》中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为 3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股 数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图 研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若某个此类勾股数的 勾为16，则其弦是 ． 【变式4-1】（2023·河北石家庄·统考二模）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股 数，如：3，4，5 都是正整数，且3 2+4 2=5 2，所以3，4，5 是勾股数． (1)当是大于1 的整数时，2n，n 2−1，n 2+1是否是勾股数，说明理由； (2)当是大于1 的奇数时，若，n 2−1 2 ，x 是勾股数，x>n，x> n 2−1 2 ，求x(用含的式子表示)． 【变式4-2】（2023·河北保定·统考二模）我们把满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，b，称为“勾股数”．若 a,b,c (a<b<c )是一组勾股数，为正整数： (1)当b=n+7，c=n+8时，请用含n的代数式表示a 2，并直接写出取何值时，为满足题意的最小整数； (2)当b=2n 2+2n，c=b+1时，用含的代数式表示a 2，再完成下列勾股数表． a b c 9 40 60 61 【变式4-3】（2019·山西吕梁·统考三模）阅读下列材料，解决所提的问题： 勾股定理² +b²=² 本身就是一个关于，b，的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解 （，b，）通常叫做勾股数组．关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据我国古代数学书 《周髀算经》记载，在约公元前1100 年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直 角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组（3，4，5）．类似地，还可以 得到下列勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）， 等等，这些数组 … 也叫做毕达哥拉斯勾股数组． 上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示： 观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点： 特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和； 特点2：____________________________________． … 学习任务： （1）请你再写出上述勾股数组的一个特点：________________； （2）如果表示比1 大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______） （3）请你证明（2）的结论． 题型05 利用勾股定理解决折叠问题 【例5】（2022·河北保定·校考一模）如图已知Rt △ABC中，∠C=90°，∠A=30°，将Rt △ABC沿 过点的直线折叠，使点落在斜边AB上的点E 处，tan∠ADC的值是（ ） ．2+❑ √3 B．2+❑ √3 2 ．❑ √3−1 D．2−❑ √3 【变式5-1】（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为 BC上一点，将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在AB边上，则折痕AD的长是（ ） ．5 B．❑ √34 ．3 ❑ √5 D．❑ √61 【变式5-2】（2022·广东茂名·统考二模）如图，将直角边AC=6cm，BC=8cm的直角△ABC纸片折叠， 使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于 ． 题型06 勾股定理与格问题 【例6】（2022·河南洛阳·统考一模）如图，边长为1 的正方形格图中，点A，B都在格点上，若 BC=2❑ √13 3 ，则AC的长为（ ） ．❑ √13 B．4 ❑ √13 3 ．2❑ √13 D．3 ❑ √13 【变式6-1】（2021·江苏苏州·统考一模）如图，在3×3 的格中，每个小正方形的边长均为1，点，B，都 在格点上，若BD 是△B 的高，则BD 的长为（ ） ．10 13 ❑ √13 B．9 13 ❑ √13 ．8 13 ❑ √13 D．7 13 ❑ √13 【变式6-2】（2021·陕西·统考二模）如图，在4×4的格中，每个小正方形的边长均为1，点，B，都在格 点上，AD⊥BC于点D，则D 的长为（ ） ．1 B．2 ．3 2 D．7 3 题型07 勾股定理与无理数 【例7】（2022·福建·模拟预测）如图，将含有30°角的直角三角板ABC放置在数轴上，点，B 表示的数分 别是1，2，以点B 为圆心，BC长为半径画弧与点B 右侧的数轴交于D，点D 所对应的实数为，则的取值 范围是（ ） ．2<a<3 B．3<a<4 ．4<a<5 D．5<a<6 【变式7-1】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，数轴上的点A表示的数为−1，以1为边长的正方形的一个 顶点在点A处，以点A为圆心，正方形对角线AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点P，则点P表示的数是 （ ） ．❑ √2 B．❑ √2+1 ．❑ √2−1 D．2−❑ √2 【变式7-2】（2022·辽宁大连·统考一模）如图，在数轴上找出表示−1的点、表示2 的点B，过点B 作直 线l⊥OB，在l上取点，使BC=2，以点为圆心，AC为半径作弧，弧与数轴交点为D，则点D 表示的数 是（ ） ．❑ √13 B．−❑ √13 ．−1−❑ √13 D．−4.5 【变式7-3】（2019·河北·模拟预测）为了比较❑ √5+1 与❑ √10的大小，可以构造如图所示的图形进行推算， 其中∠=90°，B=3，D 在B 上且BD==1．通过计算可得❑ √5+1 ❑ √10．（填“＞”或“＜”或“=”） 题型08 以直角三角形三边为边长的图形面积 【例8】（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图所示，在Rt △ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°， 分别以三条边BC ，AC ，AB为一边，在△ABC的外部作正五边形，三个五边形的面积分别记作S1，S2， S3，则下列结论不正确的是（ ） ．S1+S2=S3 B． S1 S2 =1 3 ． S1 S3 = 1 4 D．❑ √S3= ❑ √3 2 ❑ √S2 【变式8-1】（2019·广东佛山·佛山市南海石门实验中学校考一模）问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观， 从而可 以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直 观推 导和解释． (1)如图 1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式： (2)如图 2，在RtΔABC中，∠ACB=90 °,BC=a, AC=b, AB=c，以RtΔABC的三边长向外作正方形的 面积分别为S1,S2,S3，试猜想S1,S2,S3之间存在的等量关系